☉江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué) 樊 亞

從一道解幾試題談數(shù)感培養(yǎng)

☉江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué) 樊 亞

一、給出問(wèn)題

分析：本題考查的是直線和橢圓位置關(guān)系，對(duì)于求解面積可從三種不同的直線方程入手，但是計(jì)算量有不小區(qū)別，我們先來(lái)看看解答.

（2）當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，由題意可設(shè)直線AB∶y=k（x-1），O到AB的距離為d，A（x1，y1），B（x2，y2）.

解法2：由題意可知，斜率為0的直線無(wú)法構(gòu)成三角形，故可設(shè)直線AB：x=my+1.

二、尋根究底

1.預(yù)算——簡(jiǎn)化計(jì)算的法寶

思考1：那么對(duì)于問(wèn)題中的解法1和解法2，解題思路是一樣的，都是利用S△OAB=|AB·|d公式進(jìn)行計(jì)算的，只是所設(shè)直線方程的形式不同，解法1設(shè)為y=k（x-1），解法2設(shè)為x=my+1，那么計(jì)算繁簡(jiǎn)程度為何有所不同？

思考2：既然設(shè)的方式不同會(huì)影響計(jì)算繁簡(jiǎn)程度，那么做題前如何選定所設(shè)直線的形式呢？

分析：由思考1的分析可知，面積公式的繁簡(jiǎn)程度問(wèn)題主要在于O到直線AB的距離，因此我們可以在做題之前先對(duì)兩種情況分別預(yù)算，那么就可以大致看出哪種形式的直線方程更便于計(jì)算.例如：

（2）若直線設(shè)為x=my+1，則S△OAB=|AB|·d=·

顯然第二種方法三角形面積公式分子最高次數(shù)相對(duì)較低，而我們?cè)谟?jì)算之前如果能掌握這種預(yù)算的方法，那么就會(huì)大大加快計(jì)算的速度及準(zhǔn)確率，因此預(yù)算能降低圓錐曲線的計(jì)算難度，是解圓錐曲線中不可缺少式的，但是解法1：O到直線AB的距離的方法之一.

2“.動(dòng)”中找“定”簡(jiǎn)化計(jì)算

對(duì)于定點(diǎn)直線系三角形面積的求解中，可以利用直線的“定”的因素，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程.例如問(wèn)題的解法3，將面積劃分為幾個(gè)三角形的面積之和（差），而這些小三角形是同底或等高的，因而面積則可變?yōu)楦咧停ú睿┗虻字停ú睿┑男问?

3.實(shí)例驗(yàn)證

思考3：?jiǎn)栴}中的定點(diǎn)是在x軸上，那么若將定點(diǎn)改為y軸，以上方法是否也可行？

為解決這一問(wèn)題，筆者將題改為：

解法1：用S△OAB=|AB·|d計(jì)算.

分析：用預(yù)算法，可以確定將直線設(shè)為y=kx+3計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單.然而設(shè)直線時(shí)無(wú)論用哪種形式都需要考慮特殊情況，即斜率不存在或者是平行于x軸的情況，即要分類討論.

解法2：S△OAB=S△OPB-S△OPA=|OP（||x2|-|x1|），由于A、B必在y軸同側(cè)，因此S△OAB=|OP·||x2-x1|=|x2-x1|.

分析：在動(dòng)直線中找定量，能簡(jiǎn)化計(jì)算，提高效率，因此我們可以在解題過(guò)程中培養(yǎng)動(dòng)中找定的思維方式，以提高解題的效率與成功率.

三、解題思考

在研究這個(gè)題組的過(guò)程中，筆者緊緊圍繞學(xué)生出現(xiàn)的困惑及難點(diǎn)分析和反思，在尋找解決方法的過(guò)程中，不僅解決學(xué)生解題中遺留下來(lái)的困難，同時(shí)分析困難的歸因、解決的方法以及是否可以通過(guò)其他方式避免或替代這些困難，從而達(dá)到簡(jiǎn)化、優(yōu)化算法提高解題效率的目的.這就需要教師具有以下幾個(gè)要求：

1.教師要善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

學(xué)生的習(xí)題錯(cuò)誤是一個(gè)非常好的資源來(lái)源處，作為教師批改作業(yè)不僅僅要檢測(cè)學(xué)生的掌握程度，更要從中挖掘?qū)W生錯(cuò)誤的緣由，從學(xué)生的角度去思考問(wèn)題，這樣教師才能真正意義上了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況.學(xué)生的錯(cuò)誤常見(jiàn)為：計(jì)算錯(cuò)誤、題意理解錯(cuò)誤、知識(shí)沒(méi)掌握引起的錯(cuò)誤、過(guò)程舍近求遠(yuǎn)造成計(jì)算復(fù)雜化而無(wú)法求解等情況.教師要對(duì)學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤原因進(jìn)行分類，將錯(cuò)誤作業(yè)根據(jù)錯(cuò)誤人數(shù)以及錯(cuò)誤原因分為課堂講評(píng)型和個(gè)別講評(píng)型，根據(jù)不同的錯(cuò)誤原因，對(duì)癥下藥，這樣才能達(dá)到事半功倍的效果.因此，本題組從學(xué)生錯(cuò)誤的原因可歸為過(guò)程復(fù)雜化導(dǎo)致增加計(jì)算難度的類型.針對(duì)這一困難，筆者采取的方法是：第一，將計(jì)算進(jìn)行到底，讓學(xué)生明白自己的解法也是正確的，但是需要較高的計(jì)算能力；第二，通過(guò)對(duì)不同解法的分析比較，教導(dǎo)學(xué)生尋找簡(jiǎn)化、優(yōu)化的算法，以提高學(xué)生解題的效率和正確率.

2.教師要善于刨根問(wèn)底

教學(xué)不僅僅要將知識(shí)點(diǎn)的來(lái)龍去脈講清楚，更重要的是要了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度，因此教師要善于對(duì)知識(shí)刨根問(wèn)底.首先，教師要具備對(duì)教材進(jìn)行刨根問(wèn)底式的反思技能.隨著課改的不斷更新，教師要時(shí)刻關(guān)注教學(xué)內(nèi)容以及教學(xué)范圍、知識(shí)的教學(xué)深度等，在把握住重難點(diǎn)的同時(shí)，要時(shí)刻反思所教內(nèi)容的教學(xué)功能，這樣才能從根本上傳遞教材想要培養(yǎng)的學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和能力.其次，教師要具備對(duì)學(xué)生知識(shí)的掌握情況進(jìn)行刨根問(wèn)底式的反思技能.教師要弄清以下幾方面：（1）學(xué)生錯(cuò)誤的原因是什么；（2）錯(cuò)誤是屬于知識(shí)性錯(cuò)誤還是技能性錯(cuò)誤；（3）如何能避免這些錯(cuò)誤；（4）為什么改善后的解題方式可以避免錯(cuò)誤.反思這些問(wèn)題，就能讓學(xué)生明白錯(cuò)誤的緣由，從理解的層面上糾正錯(cuò)誤.同時(shí)刨根問(wèn)底式的反思也能反過(guò)來(lái)促進(jìn)教師的教學(xué)技能，在不斷地自問(wèn)自答過(guò)程中，剖析教材、剖析錯(cuò)誤，以揭示知識(shí)的本質(zhì)，為教學(xué)指明方向.

3.教師要善于培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)感”

“數(shù)感”如同“語(yǔ)感”，不是一朝一夕就能練就的，需要老師在教學(xué)過(guò)程中不斷培養(yǎng).“數(shù)感”是學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)得到感受和體驗(yàn)而積累下來(lái)的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).“數(shù)感”能力的強(qiáng)弱直接影響學(xué)生解題思路的開(kāi)闊程度和解題能力的高低程度，因此培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)感”至關(guān)重要，如何培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)感”就成為教師研究探討的重要方向.

第一，運(yùn)用類比培養(yǎng)“數(shù)感”.

通過(guò)類比可以達(dá)到知識(shí)、解題技巧、學(xué)習(xí)方法的遷移，使新知能在既熟悉又陌生的環(huán)境中被學(xué)生理解和接受.在類比的過(guò)程中，學(xué)生掌握類比的方法，這就是“數(shù)感”培養(yǎng)的方法之一.例如平面向量與空間向量的類比，等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比，平面幾何與立體幾何的類比等等，通過(guò)類比較大程度地降低了對(duì)新知的理解難度，加快了對(duì)新知的接受速度，實(shí)現(xiàn)了提高效率的教學(xué)目標(biāo).

第二，運(yùn)用聯(lián)想培養(yǎng)“數(shù)感”.

所謂聯(lián)想就是尋找新事物與舊事物相類似或有關(guān)聯(lián)之處，通過(guò)聯(lián)想、對(duì)比、區(qū)別等方式，運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的方法找到解決途徑.聯(lián)想可以是知識(shí)之間關(guān)系的聯(lián)想，可以是解題方法的聯(lián)想，也可以是學(xué)習(xí)手段的聯(lián)想等等，聯(lián)想能夠幫助轉(zhuǎn)化與化歸思想落到實(shí)處.例如：已知定點(diǎn)A（2，1），F(xiàn)（1，0）是橢圓=1的一個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，求|PA|+|PF|的最值.

分析：學(xué)生第一次做這題時(shí)是毫無(wú)頭緒的，因此筆者把橢圓聯(lián)想成直線，即問(wèn)題可改為：在直線l上找一點(diǎn)P，求點(diǎn)P到定點(diǎn)F、A的距離之和（差）的最值.

我們已學(xué)過(guò)，當(dāng)兩定點(diǎn)在直線異側(cè)時(shí)，可以通過(guò)對(duì)稱來(lái)求|PA|+|PF|的最小值；當(dāng)兩定點(diǎn)在直線同側(cè)時(shí)，可以求|PA|-|PF|的最大值.但此題是橢圓，因此較難實(shí)現(xiàn)對(duì)稱，因此A、F同時(shí)在橢圓內(nèi)部可以聯(lián)想成A、F在直線同側(cè)，因此可以求差的最大值，這就易于想到用橢圓定義，即|PF|+|PF′|=2a，將|PA|+|PF|轉(zhuǎn)化為求2a+|PA|-|PF′|的最值問(wèn)題，從而得出P、A、F′三點(diǎn)共線時(shí)2a+|PA|-|PF′|就有最值.這樣的聯(lián)想自然，而且能讓學(xué)生豁然開(kāi)朗，解決了“直接灌輸給學(xué)生利用橢圓定義化歸為求2a+|PA|-|PF′|最值問(wèn)題”的生硬和牽強(qiáng)，也讓學(xué)生體會(huì)聯(lián)想的奇妙之處，從而實(shí)現(xiàn)“數(shù)感”的培養(yǎng).

1.黃嚴(yán)生，束從武.例談“問(wèn)思”教學(xué)法［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2013（1）.

2.周立志.巧用課堂教學(xué)中的典型錯(cuò)誤提升課堂效率的若干策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教研，2013（4）.

3.殷偉康.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中追問(wèn)的特征與時(shí)機(jī)［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2013（1）.