☉江蘇省常熟市尚湖高級(jí)中學(xué) 馬晉華

一道課本例題的研究與拓展

☉江蘇省常熟市尚湖高級(jí)中學(xué) 馬晉華

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家奧加涅相說(shuō)過：“很多例習(xí)題潛在著進(jìn)一步擴(kuò)展其數(shù)學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可行性.”教材中的習(xí)題凝聚了許多專家、學(xué)者的心血和經(jīng)驗(yàn).在教學(xué)過程中，應(yīng)該充分利用教材上的經(jīng)典例習(xí)題，采用多層次處理、多角度分析、深挖隱藏于習(xí)題背后的豐富內(nèi)容，發(fā)揮其潛在的教學(xué)價(jià)值，無(wú)論從方法上還是內(nèi)容上都起著“固體拓新”之用，可收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，同時(shí)可培養(yǎng)學(xué)生提出問題和解決問題的能力，并使學(xué)生探究能力和創(chuàng)新能力得到發(fā)展.下面就一道課本習(xí)題談其教學(xué)價(jià)值，整理成文，不揣冒昧，奉獻(xiàn)出來(lái)，供讀者參考.

一、題目再現(xiàn)

題目：如圖1，過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，通過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，求證：直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸.

在以往的教學(xué)中筆者都是直接講解此例，但是發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)學(xué)生難以掌握，不知其所以然.我對(duì)此進(jìn)行了反思，并改變了教學(xué)方式，先將此例具體化為特殊的拋物線y2=4x進(jìn)行研究，然后推向一般即得例題結(jié)論，再進(jìn)一步進(jìn)行變式探究收到了良好的效果.

圖1

二、改編、變式與拓展

改編例題：過拋物線y2=4x焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，通過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，求證：直線BD∥x軸.

在證明此例之前，先給出引例：

過拋物線y2=2px焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A（x1，y）1，B（x2，y2）兩點(diǎn)，求證：y1y2=-p2.下面先給出引例的證明.

證明：顯然直線AB斜率不為0，故令A(yù)B方程為x= my+，代入y2=2px并整理得y2-2pmy-p2=0.

因?yàn)棣?4p2m2+4p2＞0，所以y1y2=-p2.

再給出漢編例題的證明.

證明：如圖1，因?yàn)锳，O，D三點(diǎn)共線，

所以kOA=kOD（直線OA與OD斜率相等）.

再讓學(xué)生把結(jié)論推向一般式y(tǒng)2=2px，學(xué)生很快解決了問題.我緊接著對(duì)例題進(jìn)行變式，并讓學(xué)生證明，然后把結(jié)論推向一般.

變式1過拋物線y2=4x焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，過B點(diǎn)作x軸平行線交準(zhǔn)線于點(diǎn)D.求證：A，O，D三點(diǎn)共線.

所以kOA=kOD.所以A，O，D三點(diǎn)共線.

變式2過拋物線y2=4x焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，過B點(diǎn)作x軸平行線與AO延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)D.求證：D點(diǎn)在一條定直線上.

證明：如圖1，令D（xD，y2）.

因?yàn)锳，O，D三點(diǎn)共線，所以kOA=kOD，

又由引例知，y1y2=-4.

所以xD=-1，即D點(diǎn)在定直線x=-1上.

拓展1過點(diǎn)M（2，0）的直線交拋物線y2=4x于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作x軸平行線與AO延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D.求證：D點(diǎn)在一條定直線上.

圖2

證明：如圖2，顯然直線AB斜率不為0，故令A(yù)B方程為x=my+ 2，A（x1，y1），B（x2，y2），D（xD，y2）.

代入y2=4x并整理得y2-4my-8=0.

因?yàn)棣?16m2+32＞0，

所以y1y2=-8.

因?yàn)锳，O，D三點(diǎn)共線，所以kOA=kOD，

所以xD=-2，即D點(diǎn)在一條定直線x=-2上.

拓展2過點(diǎn)M（a，0）（a＞0）的直線交拋物線y2=4x于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作x軸平行線與AO延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D.求證：D點(diǎn)在一條定直線上.

同理可證定直線為x=-a.

變式3如圖1，已知D為拋物線y2=4x準(zhǔn)線上一點(diǎn)，拋物線焦點(diǎn)為F，過D作x軸平行線與拋物線交于一點(diǎn)B（x2，y2），直線BF與DO延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)A（x1，y1），求證：點(diǎn)A在拋物線上.

證明：令A(yù)（x1，y1），D（-1，y2）.

當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，

故點(diǎn)A在拋物線上.

所以點(diǎn)A在拋物線上.

變式4如圖1，已知D為拋物線度y2=4x準(zhǔn)線上一點(diǎn)，拋物線焦點(diǎn)為F，連接DO并延長(zhǎng)與拋物線交于一點(diǎn)A（x1，y）1，過點(diǎn)D作x軸平行線與直線AF交于一點(diǎn)B（x2，y2）.求證：點(diǎn)B在拋物線上（.證明略）

變式5如圖1，已知D為拋物線y2=4x準(zhǔn)線上一點(diǎn)，拋物線焦點(diǎn)為F，連接DO并延長(zhǎng)與拋物線交于一點(diǎn)A（x1，y）1，過點(diǎn)D作x軸平行線與拋物線交于一點(diǎn)B（x2， y2）.求證：A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.（證明略）

三、幾點(diǎn)思考

1.學(xué)生的主觀能動(dòng)性得到發(fā)揮

讓學(xué)生自己去研究問題，獲得對(duì)知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)，這本身就是獲取知識(shí)的心路歷程，要讓學(xué)生知曉探究知識(shí)的過程是艱辛的，但是獲取知識(shí)的結(jié)果是一件令人興奮的事，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生的教不一定非要在課堂講授，也可以是課外，教學(xué)和研究是相輔相成的，雙方是充滿互動(dòng)的.教師在教學(xué)中可以在這方面多研究，多下工夫，這對(duì)學(xué)生的成長(zhǎng)歷程都是有幫助的.正如日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏所說(shuō)：“學(xué)生在學(xué)校所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會(huì)去用，一兩年后就會(huì)忘掉.然而，不管他從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神，數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終生.”通過這次研究性學(xué)習(xí)，使我深深意識(shí)到除了做好日常教學(xué)外，可以多開展這樣的研究性學(xué)習(xí)，使學(xué)生學(xué)中樂、樂中學(xué)，真正做到教學(xué)相長(zhǎng).

2.利于學(xué)生解題經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)與反思

縱觀幾十年的高考試題，許多高考試題也來(lái)源于課本教材.教材中的例題習(xí)題具有典型性、示范性，同時(shí)也滲透著一些數(shù)學(xué)思想方法或提供某些結(jié)論.因此，以本為本，重視對(duì)教材中的例題習(xí)題的深入探究，發(fā)現(xiàn)新的東西，是提高高考復(fù)習(xí)效率的最佳捷徑.

3.引導(dǎo)學(xué)生重視回歸課本

挖掘課本習(xí)題的教學(xué)價(jià)值，可引起師生對(duì)高三復(fù)習(xí)回歸課本的重視，更有利于將學(xué)生從“題?！敝小罢取背鰜?lái)，對(duì)于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，養(yǎng)成用新視角審視課本習(xí)題的習(xí)慣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)大有裨益.教師在高三的教學(xué)過程中不要舍本逐末，拿著一本資料教到底，而應(yīng)就地取材，注重應(yīng)用新課程理念，對(duì)教材經(jīng)典的例題和習(xí)題進(jìn)行“再創(chuàng)造”，推陳出新，有效地幫助學(xué)生提高復(fù)習(xí)效率.人們常說(shuō)“一種習(xí)慣會(huì)孕育一種思維方式”，如果教師能長(zhǎng)期在引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生思考和提出問題上形成一種習(xí)慣和模式，學(xué)生就會(huì)養(yǎng)成遇事自己開動(dòng)腦筋，自己尋找解決問題的途徑和方法，不依賴他人的好習(xí)慣，那么課堂就會(huì)成為研究問題的課堂.數(shù)學(xué)家克萊因曾說(shuō)過：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨(dú)特的創(chuàng)作，音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上一切.”

正如美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞所說(shuō)：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個(gè)方面，使得通過這道題，就像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域”.教師要研究教學(xué)，將課本上數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，讓“冰冷的美麗”引起學(xué)生“火熱的思考”.