☉內(nèi)蒙古赤峰市赤峰二中 孫廣仁

例談分類討論在解題中的運(yùn)用

☉內(nèi)蒙古赤峰市赤峰二中 孫廣仁

分類討論的思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想方法之一，是歷年高考的重點(diǎn).函數(shù)試題中含有需討論的參數(shù)，是歷年高考的熱點(diǎn).然而在分類討論時(shí)，討論的標(biāo)準(zhǔn)是什么？怎樣進(jìn)行分類討論？如何在分類時(shí)，做到不重不漏？很多學(xué)生知道利用分類討論，但是不知道該如何進(jìn)行，往往很混亂.基于這些問題，本文以近幾年的高考題為例，談?wù)劮诸愑懻撛诮忸}中的運(yùn)用.

一、利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分類討論

正確、合理運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，因此要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，并會根據(jù)數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分類討論.

例1關(guān)于x的方程（x2-1）2-|x2-1|+k=0，給出下列四個(gè)命題：

①存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；

②存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；

③存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；

④存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根.

其中假命題的個(gè)數(shù)是（）.

A.0B.1C.2D.3

解：據(jù)題意可令|x2-1|=t（t≥0），①則方程化為t2-t+k=0.②作出函數(shù)y=|x2-1|的圖像，如圖1，結(jié)合函數(shù)的圖像可知，

圖1

（1）當(dāng)t=0或t＞1時(shí)，方程①有2個(gè)不等的根；

（2）當(dāng)0＜t＜1時(shí)，方程①有4個(gè)根；

（3）當(dāng)t=1時(shí)，方程①有3個(gè)根.

所以，當(dāng)t=0時(shí)，代入方程②，解得k=0，此時(shí)方程②有兩個(gè)不等根t=0或t=1，故此時(shí)原方程有5個(gè)根.

作出函數(shù)的圖像，要使函數(shù)與y=kx-2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則直線y=kx-2必須在陰影部分內(nèi)，如圖2，此時(shí)當(dāng)直線經(jīng)過右上區(qū)域時(shí)B（1，2），k滿足1＜k＜4；當(dāng)經(jīng)過左下區(qū)域時(shí)，k滿足0＜k＜1.

綜上實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0，1）∪（1，4）.

圖2

二、利用數(shù)軸標(biāo)根進(jìn)行分類討論

數(shù)軸標(biāo)根形象直觀，利用數(shù)軸標(biāo)根來進(jìn)行分類討論簡單明了，易于理解.

例3已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2，討論f（x）單調(diào)性.

解：因?yàn)閒′（x）=（x-1）（ex+2a），且對任意x∈R，ex＞0.

所以，（1）當(dāng)a≥0時(shí)，若x∈（-∞，1）時(shí)，f′（x）＜0；

若x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0.

（2）當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）=0，則x=1或x=ln（-2a）.

所以，當(dāng)x∈（-∞，1）或x∈（ln（-2a），+∞）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，ln（-2a））時(shí)，f（′x）＜0.

所以，當(dāng)x∈（-∞，ln（-2a））或x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（ln（-2a），1）時(shí)，f（′x）＜0.

所以，當(dāng)x∈（-∞，+∞）時(shí)，f（′x）≥0.

本題難點(diǎn)在于a＜0的情況，此時(shí)f′（x）=0有兩個(gè)根，1和ln（-2a）.需要分類討論，由數(shù)軸標(biāo)根法可知，根的大小是關(guān)鍵，為此，根據(jù)兩根的大小不確定為標(biāo)準(zhǔn)，這就是a以-為臨界進(jìn)行分類討論的原因.

圖3

圖4

圖5

從以上分析可知，數(shù)軸標(biāo)根法剛好為我們提供了分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)也為我們打開了解題思路.根據(jù)這種方法來分類討論，可以做到不重不漏.另外，在運(yùn)用數(shù)軸標(biāo)根法解不等式時(shí)要注意：不等式的首項(xiàng)系數(shù)要是正數(shù)；“奇穿過，偶彈回”的原則.

三、利用用構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行分類討論

例4在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，任取6個(gè)格點(diǎn)Pi（xi，yi）（i= 1，2，3，4，5，6）滿足：（1）|xi|≤2，|yi|≤2，（i=1，2，3，4，5，6），（2）任何三點(diǎn)不在同一條直線上.試證：在以Pi（i= 1，2，3，4，5，6）為頂點(diǎn)的所有三角形中，必有一個(gè)三角形，它的面積不大于2.

證明：用反證法，假設(shè)在以Pi（i=1，2，3，4，5，6）為頂點(diǎn)的所有三角形面積都大于2.

可知若某相鄰兩條平行線上有三個(gè)點(diǎn)，則它們構(gòu)成的三角形的面積不大于2.

（1）x軸上無點(diǎn)或恰有一點(diǎn)，則至少有三個(gè)點(diǎn)在x軸上方（或下方），則這三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積不大于2，矛盾.

圖6

（2）x軸上二點(diǎn)，若y=±1上有點(diǎn)，出現(xiàn)矛盾，則只能是y=±2上各有兩點(diǎn).

（3）同樣討論y軸，知y軸上有兩點(diǎn)，則x=±1上無點(diǎn).

則只能如圖6中9點(diǎn)中放6點(diǎn).

若取到原點(diǎn)，則x軸上（-2，0）和（2，0）中任取一點(diǎn)，在y=±2上任一點(diǎn)構(gòu)成三角形，即得矛盾.

若不取原點(diǎn)，則必取x軸上（±2，0），y軸上（0，±2），則在余下的四點(diǎn)（±2，±2）中任取一點(diǎn)均可得矛盾.

從而命題得證.

四、利用描述分析進(jìn)行分類討論

（2）當(dāng)a=1時(shí)，（fx）=1∈［-2，2］.

（3）當(dāng)a＞1時(shí)，1-a＜0，

例6已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2ax2+2x-3-a，如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［-1，1］上有零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解：若a=0，則f（x）=2x-3，當(dāng)f（x）=2x-3=0時(shí)，解得x= 1.5?［-1，1］，所以a≠0.

當(dāng)a≠0時(shí)，若Δ=0，即拋物線與x軸有唯一的一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)：

當(dāng)拋物線與x軸在［-1，1］上有唯一的一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)a滿足下列條件：

f（-1）·f（1）≤0，即（a-1）（a-5）≤0，解得1≤a≤5.

當(dāng)a=5時(shí)，Δ=22-8×5×（-3-5）=324＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，1≤a＜5符合要求.

當(dāng)拋物線與x軸在［-1，1］上有2個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)a滿足下列條件：

例7設(shè)函數(shù)fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）.

（2）設(shè)n=2，若對任意x1，x2∈［-1，1］，有|f2（x1）-f2（x2）|≤ 4，求b的取值范圍；

解：（1）證明：b=1，c=-1，n≥2時(shí)，fn（x）=xn+x-1.

（2）當(dāng)n=2時(shí)，f2（x）=x2+bx+c.

對任意x1，x2∈［-1，1］都有|f2（x1）-f2（x2）|≤4等價(jià)于f2（x）在［-1，1］上最大值與最小值之差M≤4，據(jù)此分類討論如下：

綜上所述，b的取值范圍為-2≤b≤2.

所以xn＜xn+1（n≥2），

所以數(shù)列x2，x3，…，xn…是遞增數(shù)列.

由此可見，分類討論是培養(yǎng)學(xué)生思維方式的極好素材，用分類討論思想來解題，關(guān)鍵是要把握好三關(guān)：一是分類的對象要確定，標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，做到不遺漏、不重復(fù)，分清主次，不越級討論，即把好“分類關(guān)”；二是要保證條理分明，層次清晰，把好“邏輯關(guān)”；三是要對照題中的限制條件或隱含信息，合理取舍，把好“檢驗(yàn)關(guān)”.