李 斌， 董 川， 金世鑫

(1. 天津大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院， 天津 300072；2. 國網(wǎng)遼寧省電力有限公司電力科學(xué)研究院， 遼寧 沈陽 110006)

基于子域疊加模型的表貼式永磁電機電樞反應(yīng)磁場分析

李 斌1， 董 川1， 金世鑫2

(1. 天津大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院， 天津 300072；2. 國網(wǎng)遼寧省電力有限公司電力科學(xué)研究院， 遼寧 沈陽 110006)

準(zhǔn)確計算表貼式永磁電機的磁場分布是進行電機設(shè)計和電機優(yōu)化的關(guān)鍵。本文建立了表貼式永磁電機的子域疊加模型，通過解析法計算了電機的電樞反應(yīng)磁場的分布，將電機槽子域分為通電槽和非通電槽，求解單槽通電下的泊松方程和拉普拉斯方程得到其電樞反應(yīng)磁場，再疊加計算出三相電流下的電樞反應(yīng)磁場。子域疊加模型簡化了激勵方式，減少了求解變量的數(shù)目，降低了求解的難度。以一臺12槽表貼式永磁電機為例進行計算，并將解析法結(jié)果與有限元分析的結(jié)果進行比較，驗證了本文提出方法的可行性和正確性。

永磁電機； 電樞反應(yīng)； 磁場分析； 子域模型； 解析法

1 引言

永磁電機[1]由永磁體替代了轉(zhuǎn)子的勵磁繞組，結(jié)構(gòu)簡單，體積小，轉(zhuǎn)矩密度高，魯棒性強。獲得永磁電機氣隙磁場的分布，是計算轉(zhuǎn)矩特性、渦流損耗、噪聲和振動等的關(guān)鍵。在氣隙磁場的求解方法中，有限元法[2,3]適用于多種結(jié)構(gòu)復(fù)雜的電機，但速度較慢，在電機的優(yōu)化設(shè)計中不便使用；解析法計算量小，速度快，使用價值高，便于對電機進行優(yōu)化計算。

表貼式永磁電機的解析法主要有鏡像法、保角變換法和子域分析法。鏡像法[4]將介質(zhì)的效應(yīng)通過鏡像電流進行等效，適用范圍較窄。保角變換法[5]通過許克變換簡化邊界，從而求得復(fù)雜邊界下的磁場分布。子域分析法將電機的橫截面分割為若干區(qū)域，以矢量磁位為求解變量，結(jié)合約束條件建立偏微分方程并求得矢量磁位解。Z. J. Liu等提出了單極單槽模型[6]，單極單槽模型設(shè)槽為無限深，僅在一個極距周期范圍內(nèi)進行處理，未考慮槽間相互影響以及槽內(nèi)磁場分布狀況；諸自強等人提出了考慮開槽效應(yīng)的精確子域模型[7]，又依此提出了半開口槽子域模型，對解析計算進行了優(yōu)化[8,9]；T. Lubin等人利用P函數(shù)和E函數(shù)使方程的解在表達上更加清晰[10]，并將多種子域交界面進行歸類，得到了多種類型電機的方程通解表達式[11]。在求解過程中，上述研究需對整個電機域進行建模，各次諧波系數(shù)由所有槽電流密度確定，方程中的常數(shù)項變量多。

本文基于子域分析方法，以單層繞組表貼式永磁電機為研究對象，建立了表貼式永磁電機的電樞反應(yīng)磁場子域疊加模型。子域疊加模型將電機槽子域分為通電槽和非通電槽，通過求解不同激勵下的泊松方程和拉普拉斯方程，得到單槽激勵下的電樞反應(yīng)磁場表達式。然后，根據(jù)三相電流下各個槽的電流值，利用疊加關(guān)系得到總的電樞反應(yīng)磁場。子域疊加模型簡化了激勵方式，減少了求解變量的數(shù)目，降低了求解的難度。本文將有限元法計算結(jié)果與利用子域疊加模型得到的單槽磁場和整體磁場解析解進行了對比，證明了本文方法的可行性和正確性。

2 解析模型

2.1 模型概述

本文以內(nèi)轉(zhuǎn)子單層繞組表貼式永磁電機為例進行電樞反應(yīng)磁場解析，其橫截面結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 表貼式永磁電機橫截面結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Cross section of surface mounted PM machine

電樞反應(yīng)磁場以定子槽電流為激勵，分析所有定子槽以及氣隙中的磁場，故將求解區(qū)域分解成定子槽子域和氣隙子域。該電機的子域示意圖如圖2所示。R1為轉(zhuǎn)子軛外表面半徑，R2為定子內(nèi)表面半徑，R3為定子槽底面半徑，顯然R3>R2>R1。為突出表示求解的問題，圖2中永磁體和轉(zhuǎn)軸略去未畫。

圖2 表貼式永磁電機子域示意圖Fig.2 Subdomains of surface mounted PM machine

本文對模型中的電機做出如下假設(shè)：

(1)定子電流密度僅存在軸向分量，且在槽中均勻分布。

(2)設(shè)軸向長度為無窮大，不計端部效應(yīng)，電機在軸向各處的磁場具有相同的分布形式，因此可將電機的橫截面作為分析對象，在極坐標(biāo)系下進行二維磁場分析。

(3)定子和轉(zhuǎn)子鐵心磁導(dǎo)率為無窮大，鐵心磁阻產(chǎn)生的影響忽略不計。

電機中定子槽寬角為β；定子槽數(shù)為NS；在電機的橫截面上建立平面極坐標(biāo)系，極軸(圖中θ=0處)位于一個槽的中心，將該槽編為0號槽，逆時針將其余槽依次編號為1，2，…，NS-1號槽。

編號為i的槽中心所處的角度為：

(1)

本文模型中的表貼式永磁電機可劃分為定子槽子域和氣隙子域，在定子槽子域中又分為通電槽子域和非通電槽子域，在本文的模型中選定0號槽為通電槽，其余槽為非通電槽。

2.2 通電槽子域通解

通電槽子域中的泊松方程為：

(2)

邊界條件為：

(3)

根據(jù)分離變量法并代入邊界條件可得通電槽子域的通解為：

(4)

式中

(5)

D0m為積分常數(shù)；m對應(yīng)通解中諧波的階數(shù)。

2.3 非通電槽子域通解

本文利用非通電槽的拉普拉斯方程求解，可以省去其電流密度，減少常數(shù)項，優(yōu)化求解過程。

非通電槽即編號為1,2,3,…,NS-1的槽，其子域中的拉普拉斯方程為：

(6)

邊界條件為：

(7)

根據(jù)分離變量法并代入邊界條件可得非通電槽子域的通解為：

(8)

式中，Dim為積分常數(shù)；i為對應(yīng)槽的編號，取1,2,3,…,NS-1。

2.4 氣隙子域通解

氣隙中的拉普拉斯方程為：

(9)

邊界條件為：

(10)

根據(jù)分離變量法并代入邊界條件可得氣隙子域的通解：

(11)

式中，C1n和C2n為積分常數(shù)；n為氣隙子域解的諧波次數(shù)。

2.5 氣隙子域徑向磁感應(yīng)強度求解

在平面極坐標(biāo)系中，氣隙子域內(nèi)磁感應(yīng)強度的徑向分量可表示為：

(12)

2.6 諧波系數(shù)求解

氣隙子域與通電定子槽子域交界面，有

(13)

由式(4)和式(11)，直流分量部分有如下關(guān)系：

(14)

即

(15)

式中

(16)

(17)

各次諧波分量有如下關(guān)系：

(18)

即

(19)

式中

(20)

(21)

在氣隙子域與非通電定子槽子域交界面，邊界條件為：

(22)

結(jié)合式(8)和式(11)，直流分量部分關(guān)系如下：

(23)

即

(24)

各次諧波分量有如下關(guān)系：

(25)

即

(26)

氣隙子域與所有定子槽子域交界面均滿足如下關(guān)系：

(27)

對于所有定子槽均有：

(28)

(29)

將所有槽子域和氣隙子域中的諧波系數(shù)取為有限次，由式(15)、式(19)、式(24)、式(26)、式(28)和式(29)聯(lián)立可求得各個子域中的所有諧波系數(shù)。

3 所有槽通電下解的疊加

本節(jié)以氣隙徑向磁場為例，說明用單槽磁感應(yīng)強度解計算所有槽通電下的磁感應(yīng)強度解的過程。

令編號為0的槽中通單位電流，該情況下的氣隙徑向磁感應(yīng)強度為：

(30)

式中，I0為0號槽所通的電流值。

編號為i的槽通以單位電流下氣隙徑向磁感應(yīng)強度為：

(31)

故在所有槽均通電的情況下，氣隙徑向磁感應(yīng)強度為：

(32)

式中，Ii為編號為i的槽的電流值。

4 磁場解析模型的有限元驗證

4.1 電機參數(shù)

本文選取一臺12槽表貼式永磁電機為樣機，分析其電樞反應(yīng)磁場。樣機的參數(shù)見表1，其繞組分布如圖3所示。

表1 表貼式永磁電機樣機參數(shù)Tab.1 Parameters of surface mounted PM machine

圖3 表貼式永磁電機樣機繞組分布圖Fig.3 Winding distribution of surface mounted PM machine

4.2 氣隙磁感應(yīng)強度分布

樣機在單槽通電時(電流大小為5A)電樞反應(yīng)下的磁感線分布如圖4所示。

圖4 單槽通電電樞反應(yīng)下磁感線分布Fig.4 Distribution of magnetic induction lines generated by single slot

單槽通電時(電流大小為5A)用解析法求得的氣隙內(nèi)半徑為29mm處的電樞反應(yīng)徑向磁感應(yīng)強度計算結(jié)果與有限元法的對比如圖5所示。解析法和有限元法計算得到的徑向磁感線強度的各次諧波分量比較如圖6所示，其中解析法的磁感應(yīng)強度的基波分量較有限元結(jié)果偏離3.13%。

圖5 單槽通電下徑向磁感應(yīng)強度Fig.5 Radial components of armature reaction magnetic flux density generated by single slot

圖6 單槽通電下各次諧波分量Fig.6 Harmonic spectra of flux densities in airgap of armature reaction generated by single slot

圖7和圖8分別為兩種不同情況下多槽通電時用解析法求得的氣隙內(nèi)半徑為29mm處電樞反應(yīng)徑向磁感應(yīng)強度計算結(jié)果與有限元法所得結(jié)果的對比。

其中，圖7為三相電流瞬態(tài)情況為：Ia=5A，Ib=Ic=-2.5A，在氣隙內(nèi)半徑為29mm處的電樞反應(yīng)下徑向磁感應(yīng)強度計算結(jié)果。圖8為三相電流瞬態(tài)情況為：Ia=0，Ib=-4.33A，Ic=4.33A，在氣隙內(nèi)半徑為29mm處的電樞反應(yīng)下徑向磁感應(yīng)強度計算結(jié)果。

圖7 所有槽通電下徑向磁感應(yīng)強度1Fig.7 Radial components of armature reaction magnetic flux density of condition 1

圖8 所有槽通電下徑向磁感應(yīng)強度2Fig.8 Radial components of armature reaction magnetic flux density of condition 2

分析圖7可得，解析法的磁感應(yīng)強度基波分量較有限元結(jié)果偏離約為3.07%，而圖8中偏離約為3.05%，兩種方法得到的結(jié)果總體上吻合。由于本文僅取氣隙區(qū)域磁感應(yīng)強度的前1～15次諧波進行線性方程組求解，因此實際結(jié)果中的一些不平滑的點在解析解中體現(xiàn)得不夠明顯，造成了解析解與有限元解的差異。

5 結(jié)論

針對表貼式永磁電機的電樞反應(yīng)磁場解析方法，本文建立了子域疊加模型，提出了一種比較簡便的子域計算方法。本文先計算出較為簡單的單槽激勵磁場，再通過疊加關(guān)系獲得較為復(fù)雜的總的定子槽磁場和氣隙磁場。本文利用二維有限元分析法對氣隙磁感應(yīng)強度進行驗證，進一步證明了結(jié)果的正確性。本文模型和方法為分析表貼式永磁電機的電磁性能和渦流損耗等奠定了基礎(chǔ)。

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Subdomain superposition model of armature reaction magnetic field of surface mounted permanent-magnent machine

LI Bin1, DONG Chuan1, JIN Shi-xin2

(1. School of Electrical Engineering and Automation, Tianjin University, Tianjin 300072, China;2. Liaoning Electric Power Research Institute, Shenyang 110006, China)

Accurate calculation of the magnetic field of surface mounted PM machine is the key for designing and optimizing the machine. A subdomain superposition model is proposed to calculate the distribution of armature reaction magnetic field of surface mounted PM machine. In the proposed method, only one slot is excited and distinguished from other slots, so the different excitation method is applied to the Maxwell equations. Then the magnetic field generated by single slot can be calculated, and the total magnetic field of all three-phase current excitation is superposed. Subdomain superposition model facilitates the mode of excitation, reducing the amount of the variables and the difficulty of calculating. Taking a 12 slot surface-mounted permanent magnet machine as an example, the results computed by the analytical method are compared with finite-element method, which prove the feasibility of the method.

permanent magnet machine; armature reaction; magnetic field analysis; subdomain model; analytic method

2016-04-06

李 斌(1976-)， 男， 山東籍， 副教授， 博士， 研究方向為新型電機的設(shè)計與控制(通訊作者)； 董 川(1991-)， 男， 北京籍， 碩士研究生， 研究方向為電機電磁場分析。

TM351

A

1003-3076(2017)01-0010-06