陽育德， 李 雨,2， 袁 輝， 吳忠標(biāo)， 楊 健

(1. 廣西電力系統(tǒng)最優(yōu)化與節(jié)能技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗室， 廣西大學(xué)， 廣西 南寧 530004;2. 廣西電網(wǎng)有限責(zé)任公司枊州供電局， 廣西 柳州 545005)

電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定的時域計算及波形分析

陽育德1， 李 雨1,2， 袁 輝1， 吳忠標(biāo)1， 楊 健1

(1. 廣西電力系統(tǒng)最優(yōu)化與節(jié)能技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗室， 廣西大學(xué)， 廣西 南寧 530004;2. 廣西電網(wǎng)有限責(zé)任公司枊州供電局， 廣西 柳州 545005)

電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析的實(shí)質(zhì)是系統(tǒng)近似線性化后所得的定常時不變系統(tǒng)的分析，系統(tǒng)的時域解特性使得仿真曲線的阻尼表征了系統(tǒng)的振蕩模態(tài)?；谶@一特性，本文提出一種基于時域仿真的小干擾穩(wěn)定分析方法。該方法通過直觀分析系統(tǒng)的時域仿真曲線的收斂程度，快速判定系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性，無需對系統(tǒng)狀態(tài)矩陣進(jìn)行特征值求解，進(jìn)而避免了特征值求解方法存在的各種不足，為電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定在線分析提供了一種新的依據(jù)。并對系統(tǒng)的仿真曲線采用HHT方法進(jìn)行波形分析，得到系統(tǒng)的最小阻尼比來體現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定裕度。最后，分別對WSCC3機(jī)9節(jié)點(diǎn)小系統(tǒng)及某地區(qū)實(shí)際大電網(wǎng)的某個時間點(diǎn)的典型運(yùn)行方式下的算例進(jìn)行仿真實(shí)驗，驗證所提方法的有效性。

電力系統(tǒng)； 振蕩模態(tài)； 時域仿真； 小干擾穩(wěn)定； 阻尼比； HHT

1 引言

隨著現(xiàn)代電力系統(tǒng)大區(qū)域互聯(lián)[1,2]、特高壓交直流電網(wǎng)跨區(qū)網(wǎng)架的形成[3,4]，電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定成為影響互聯(lián)系統(tǒng)運(yùn)行、限制區(qū)域間傳輸功率的主要因素。同時清潔能源的接入和電動汽車新市場的開發(fā)也給系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定帶來很大的影響，大量風(fēng)電并網(wǎng)后的風(fēng)機(jī)類型、并網(wǎng)接入點(diǎn)數(shù)目、接入方式、并網(wǎng)容量比例等因素都對系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定特性產(chǎn)生不同的影響[5]；電動汽車需要大規(guī)模充電站，充電站的充電容量會對小干擾穩(wěn)定的阻尼比產(chǎn)生影響[6]。電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定問題[7]的研究越來越具有重要意義，也備受研究人員的關(guān)注。

目前，特征值計算是最為成熟的小干擾穩(wěn)定分析方法，其包括全部特征值算法和部分特征值算法。全部特征值算法是一類以實(shí)現(xiàn)實(shí)Schur分解為任務(wù)的GR算法，包括基于LU分解的LR迭代算法[8]、含帶狀上Hessenberg約化的BR迭代的BR算法[9]和QR算法等。QR法具有最穩(wěn)定的數(shù)值性能，魯棒性強(qiáng)，收斂速度快，但不能稀疏實(shí)現(xiàn)，容易產(chǎn)生維數(shù)災(zāi)，不能在大規(guī)模電力系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用[10]。而針對大規(guī)模系統(tǒng)的特征值計算多采用部分特征值算法，文獻(xiàn)[11,12]應(yīng)用非Krylov子空間Jacobi-Davidson方法獲取子空間的最佳正交修正來逼近關(guān)鍵特征子集所對應(yīng)的特征空間，實(shí)現(xiàn)對特征值的自動搜索，求取系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的關(guān)鍵特征子集。另一類Krylov子空間的Arnoldi方法也是有效的特征值求解方法，隱式重啟Arnoldi 方法已被嵌入實(shí)用的小干擾穩(wěn)定分析工具中，但其收縮困難、收斂性差。文獻(xiàn)[13]應(yīng)用了擴(kuò)維重啟技術(shù)，既能鎖定已收斂的特征值，又可在此基礎(chǔ)上把特征值個數(shù)轉(zhuǎn)化成搜索半徑逐步擴(kuò)大搜索范圍，實(shí)現(xiàn)了不依賴設(shè)置參數(shù)自動不漏根搜索，但是該方法在多次擴(kuò)維后殘差有增大的可能，需要多次非擴(kuò)維重啟才能在設(shè)定殘差之內(nèi)，增加了計算量，同時可能獲得多余特征值。文獻(xiàn)[11-13]的方法只求解影響穩(wěn)定性的關(guān)鍵特征值，以確保滿足大規(guī)模電力系統(tǒng)的計算效率的要求，但不能保證準(zhǔn)確地獲得系統(tǒng)所有的負(fù)阻尼和弱阻尼。

針對特征值計算存在的不足，文獻(xiàn)[14]避開了對特征值的直接求解，通過狀態(tài)矩陣指數(shù)函數(shù)的跡曲線的振蕩信息反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性。其應(yīng)用精細(xì)積分法計算矩陣指數(shù)函數(shù)，獲得系統(tǒng)線性化高階狀態(tài)矩陣的跡的數(shù)值曲線，通過西伯爾特-黃變換 (Hilbert-Huang Transform，HHT)方法分析曲線，獲取分析小干擾穩(wěn)定的阻尼比等模態(tài)參數(shù)。但精細(xì)積分方法在所求矩陣是滿陣、維數(shù)非常大的情況下，矩陣相乘計算量及存儲量隨維數(shù)迅速增長；而且它的迭代次數(shù)對計算效率有著很大的影響，次數(shù)越高效率越低。

為了便于獲取表征系統(tǒng)振蕩的曲線，本文采用了時域仿真的方法。本文基于數(shù)值分析求解系統(tǒng)在小的擾動后各狀態(tài)變量的時間響應(yīng)曲線，通過HHT方法對曲線分析計算出系統(tǒng)關(guān)鍵模態(tài)參數(shù)，如阻尼比、振蕩頻率等。

2 小干擾穩(wěn)定時域仿真模型

電力系統(tǒng)動態(tài)特性都被描述為如下的微分-代數(shù)方程[10]：

(1)

式中，x為描述系統(tǒng)動態(tài)特性的狀態(tài)變量；y為系統(tǒng)的運(yùn)行參量。本文選擇發(fā)電機(jī)六階模型，根據(jù)李雅普諾夫線性化理論，在系統(tǒng)平衡點(diǎn)(x0,y0)進(jìn)行線性化：

(2)

應(yīng)用隱式梯形積分公式：

(3)

對微分方程式(2)進(jìn)行差分化：

(4)

式中，dt表示仿真步長；下標(biāo)n表示時段，n為當(dāng)前時段，則n+1則表示下一個時段。

3 HHT在小干擾穩(wěn)定分析中的應(yīng)用

HHT方法具有很強(qiáng)的自適應(yīng)性[15]，由兩部分組成[16，17]：經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸?Empirical Mode Decomposition，EMD)和Hilbert變換。對輸入信號進(jìn)行EMD分解獲得固有模式函數(shù)分量(Intrinsic Mode Function，IMF)，對每個IMF經(jīng)過Hilbert變化得到瞬時幅值、相角和頻率。

由EMD分解的具體步驟可知，對原始輸入信號s(t)可以分解為第一階IMF，記作c1(t)，第二階IMFc2(t)，第三階IMFc3(t)，……，繼而得到原始信號的IMF組成表達(dá)式：

(5)

式中，m為分解得到的IMF個數(shù)；r(t)為剩余量。

對任一經(jīng)EMD分解得到的IMF信號ci(t)，Hilbert變換為：

(6)

即可獲得解析信號：

(7)

從而得到信號的瞬時幅值a(t)、瞬時相位φ(t)和瞬時頻率f(t)的計算公式：

(8)

當(dāng)電力系統(tǒng)中的一個振蕩模式λ=σ±jω具有式(9)的表達(dá)形式：

(9)

則，一個振蕩信號是多個(如m個)不同頻率的振蕩模式的線性和，系統(tǒng)振蕩曲線即可表達(dá)為：

(10)

當(dāng)對該曲線進(jìn)行EMD分解，則可獲得由多個IMF線性和組成的表達(dá)形式：

(11)

由式(10)和式(11)的對應(yīng)關(guān)系，可得到每個IMF對應(yīng)的振蕩模態(tài)參數(shù)的計算公式：

(12)

即

(13)

式中，fi,σi,ζi分別為原信號的第i個模態(tài)分量的頻率、衰減系數(shù)和阻尼比；fj,aj分別為對應(yīng)的IMF的瞬時頻率和瞬時幅值；Δt為時間間隔；p為選擇的時間間隔數(shù)。

4 算例分析

本文采用WSCC3機(jī)9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)[18]算例和某電網(wǎng)某個時刻的實(shí)際運(yùn)行方式(95臺發(fā)電機(jī)、615節(jié)點(diǎn)大系統(tǒng))算例進(jìn)行時域仿真。

4.1 WSCC3機(jī)9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

該系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框架如圖1所示。電力系統(tǒng)運(yùn)行中，當(dāng)前的平衡點(diǎn)對于下一個運(yùn)行點(diǎn)來說算是一個小的擾動，本文設(shè)置這一擾動為初始擾動。仿真時間設(shè)為10s，針對系統(tǒng)三種情況：特征值都為負(fù)、有兩對實(shí)部為正的共軛特征值和兩個正特征值，分別進(jìn)行仿真計算。

圖1 WSCC3機(jī)9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)框架Fig.1 Framework of WSCC system with 3 machines and 9 buses

(1)系統(tǒng)的特征值都為負(fù)數(shù)的情況下，對系統(tǒng)的仿真結(jié)果與時域解的波形進(jìn)行比較，步長為0.01s時，結(jié)果如圖2所示。三臺發(fā)電機(jī)的兩類波形的最大誤差點(diǎn)的誤差分別只有0.092°、0.244°、0.270°，都比較小，換算成誤差比分別為1.577%、0.3855%、0.4661%。

圖2 步長為0.01s，仿真曲線與時域解波形比較Fig.2 Comparison of simulation curve and time domain solution wave in step of 0.01s

當(dāng)步長取值為0.05s時，系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖3所示。可以看出，兩類波形有著非同步性，但曲線的整體趨勢一致。

圖3 步長為0.05s，仿真曲線與時域解波形比較Fig.3 Comparison of simulation curve and time domain solution wave in step of 0.05s

具體誤差值分析表明，隨著仿真步長的增大，誤差疊加效果比較明顯，兩類曲線的誤差也隨之增加。通過比較分析可知，在步長為0.01s時產(chǎn)生的誤差只有2%，比較小，在可以接受范圍內(nèi)。因此后文中采用0.01s的步長，對0.05s步長的波形不再給予展示。

(2)對發(fā)電機(jī)參數(shù)進(jìn)行修改，三臺發(fā)電機(jī)的x″d參數(shù)的數(shù)值分別改為0.4pu、0.89pu、1.07pu，此時的特征值計算結(jié)果存在兩對實(shí)部為正的共軛特征值：λ1,2=0.7762±i10.183，λ3,4=0.905±i7.1001，此時的系統(tǒng)時域曲線如圖4所示?？梢钥闯觯瑑深惽€都是振蕩發(fā)散的。

圖4 振蕩發(fā)散時仿真曲線與時域解波形比較Fig.4 Comparison of simulation curve and waveform of time domain solutions for oscillating divergence

(3)分析x″d參數(shù)設(shè)置過大的情況。x″d數(shù)值分別改為4pu、89pu、107pu，系統(tǒng)會出現(xiàn)兩個正的特征值：λ1=4.999，λ2=0.6801。存在兩個正特征值時系統(tǒng)仿真曲線及時域解波形如圖5所示。可以看出，仿真波形能較好地接近時域解波形，同時可以反映系統(tǒng)的不穩(wěn)定狀態(tài)。

圖5 直接發(fā)散時仿真曲線與時域解波形比較Fig.5 Comparison between simulation curve and waveform of time domain solutions when system is divergent

通過比較仿真曲線與時域解波形可知，曲線發(fā)散的趨勢是一致，同時仿真步長足夠小時，兩收斂曲線能夠基本重合，誤差比較小，可以忽略不計，因此時域仿真可以應(yīng)用于電力系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定分析。同時表明，對系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)起主要作用的特征值與仿真曲線的收斂程度是相互對應(yīng)的，存在正的共軛特征值時曲線振蕩失穩(wěn)；存在正數(shù)特征值時曲線持續(xù)增大而發(fā)散。反之，通過曲線的收斂程度亦可以判定系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定，當(dāng)曲線發(fā)散，系統(tǒng)是小干擾不穩(wěn)定的；當(dāng)曲線收斂，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

4.2 某電網(wǎng)615節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

獲得某實(shí)際電網(wǎng)在某個時間點(diǎn)的運(yùn)行方式下的運(yùn)行數(shù)據(jù)及發(fā)電機(jī)參數(shù)，在發(fā)電機(jī)六階模型下的仿真結(jié)果如下：

(1)在特征值都為負(fù)值的情況下，仿真曲線與時域解波形比較如圖6所示。曲線收斂未發(fā)生發(fā)散現(xiàn)象，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

(2)當(dāng)改變運(yùn)行參數(shù)或發(fā)電機(jī)參數(shù)時，會使得特征值的正負(fù)情況發(fā)生改變。改變發(fā)電機(jī)參數(shù)后使得系統(tǒng)有一對實(shí)部為正的共軛特征值：λ1,2=0.3804±i14.388，獲得的仿真曲線與時域解波形如圖7所示?？梢钥闯?，波形振蕩失穩(wěn)。

圖6 系統(tǒng)特征值為負(fù)的仿真曲線 與時域解波形圖Fig.6 Time domain simulation curve of angle and waveforms of time domain solution with negative system’s eigenvalues

圖7 系統(tǒng)存在一對實(shí)部為正的共軛特征值 時仿真及時域解波形Fig.7 Time domain simulation curve of angle and waveforms of time domain solution when there are one couple of conjugate eigenvalues with positive real part

(3)改變發(fā)電機(jī)參數(shù)后使得系統(tǒng)存在兩個正特征值，分別是17.057，0.29062，獲得的仿真曲線與時域解波形如圖8所示?？梢钥闯?，在1s內(nèi)系統(tǒng)出現(xiàn)機(jī)組功角超過±180°，說明存在正的特征值時，仿真曲線是發(fā)散的，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

圖8 系統(tǒng)存在正特征值的時域仿真及時域解波形Fig.8 Time domain simulation curve of angle and waveforms of time domain solution with positive system’s eigenvalues

仿真結(jié)果表明，不論小系統(tǒng)還是實(shí)際大電網(wǎng)，當(dāng)步長足夠小時，時域仿真波形都能很好地逼近時域解的波形，通過時域仿真曲線與特征值計算結(jié)果判定系統(tǒng)穩(wěn)定性所得結(jié)論一致。

4.3 算例的波形分析

4.1節(jié)和4.2節(jié)仿真了9節(jié)點(diǎn)和615節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)下的功角曲線，但是應(yīng)用曲線的收斂性來表達(dá)系統(tǒng)的穩(wěn)定時，并不能給出系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。為了克服這一不足，本文應(yīng)用HHT方法對曲線進(jìn)行分析獲得表征系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的曲線阻尼參數(shù)。

(1)9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

對9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)G1的功角仿真曲線進(jìn)行EMD分解，分解結(jié)果如圖9所示。

圖9 發(fā)電機(jī)G1的功角仿真曲線的經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸釬ig.9 EMD of simulation curves of power angle of generator1

圖9顯示發(fā)電機(jī)G1功角曲線被分解為1個IMF分量IMF1和剩余分量r。應(yīng)用式(8)求解IMF1的瞬時幅值、瞬時相位、瞬時頻率，并根據(jù)式(13)計算曲線的關(guān)鍵振蕩模態(tài)的頻率f、衰減系數(shù)σ和阻尼比ξ，結(jié)果見表1。

表1 各IMF分量參數(shù)Tab.1 Parameters of each IMF

對9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中G2、G3兩臺機(jī)組的功角仿真曲線進(jìn)行EMD分解，對每個IMF分量進(jìn)行幅值、頻率、相角的計算，并換算為曲線的阻尼參數(shù)，結(jié)果如圖10和圖11所示，其中展示了表征曲線振蕩模式的參數(shù)。

圖10 發(fā)電機(jī)G2的功角仿真曲線及其參數(shù)Fig.10 Modal parameters of simulation curves of power angle of generator 2

圖11 發(fā)電機(jī)G3的功角仿真曲線及其參數(shù)Fig.11 Modal parameters of simulation curves of power angle of generator 3

分析結(jié)果表明，發(fā)電機(jī)G1、G2的仿真功角曲線只分解出一個IMF，該IMF的阻尼比則表征了仿真曲線的阻尼比。發(fā)電機(jī)G3的曲線分解得到IMF1和IMF2，說明G3機(jī)組的功角曲線有兩個關(guān)鍵模態(tài)，其中最小阻尼比為0.0430。G2機(jī)組功角仿真曲線振蕩最為厲害，計算得到的阻尼比最小為0.0391，即為9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的最小阻尼比，與穩(wěn)定狀態(tài)特征值計算得到的最小阻尼比0.04221比較接近。

(2)615節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

對于615節(jié)點(diǎn)大系統(tǒng)來說，對每一臺發(fā)電機(jī)的功角曲線進(jìn)行分析的計算量很大，并且沒有必要，只需對其中振蕩最厲害的曲線進(jìn)行分析就可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度情況。因此，對615節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的仿真曲線進(jìn)行判斷計算，得到振蕩最大的一條曲線為46號機(jī)組對應(yīng)的功角曲線，如圖12所示。對該曲線進(jìn)行分析和阻尼計算，結(jié)果如圖13所示，最小阻尼比為0.04380。

圖12 46號機(jī)組的時域仿真曲線Fig.12 Time domain simulation curve of generator 46

圖13 46號機(jī)組的時域仿真曲線的阻尼計算Fig.13 Damping calculation of time domain simulation curve of generator 46

兩個算例的波形分析說明，通過曲線分析可獲得系統(tǒng)仿真曲線的關(guān)鍵振蕩模態(tài)的阻尼參數(shù)，即得到系統(tǒng)的最小阻尼比，從而表征系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。

5 結(jié)論

本文基于時域仿真方法獲取系統(tǒng)在初始擾動下的狀態(tài)變量的時域曲線，通過曲線的收斂程度，判斷系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性，并通過HHT方法分析曲線獲得系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。該方法的優(yōu)點(diǎn)如下：

(1)無需進(jìn)行特征值計算，通過波形直觀判斷系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性；通過對波形分析可獲得系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。

(2)對模型及規(guī)模沒有要求，適合任意模型下的大小系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定計算。

(3)線性化的計算能夠保證計算量和計算時間達(dá)到在線計算的要求，為小干擾穩(wěn)定在線分析提供了新的思路。

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Time domain computation and waveform analysis of small signal stability of power system

YANG Yu-de1, LI Yu1,2, YUAN Hui1, WU Zhong-biao1, YANG Jian1

(1. Guangxi Key Laboratory of Power System Optimization and Energy Technology,Guangxi University, Nanning 530004, China;2. Liuzhou Power Supply Bureau, Guangxi Power Grid Co. Ltd., Liuzhou 545005, China)

The small signal stability analysis is the analysis of a linear time-invariant system that is based on the approximate linearization of the original system. According to the characteristic of time-domain solutions which illustrates the embodiment of the system oscillation mode by the damping characteristics of the simulation curve, this paper proposes a method of small signal stability analysis based on time domain simulation. The proposed method rapidly determines the small signal stability by analysis of the degree of convergence of the time domain simulation curve of the system without the need of system state matrix eigenvalue calculation. So this method can avoid all the shortcomings of the method of eigenvalue solution, which provides a new way for the online analysis of power system small signal stability. Then, the HHT method is employed to analyze the waveforms of the simulation to obtain the minimum damping ratio which can reflect the system’s stability margin. Finally, the validity of the proposed method is illustrated by simulation of a WSCC3 system with 9 buses and a calculation example of a typical operating mode on a certain time point of a large grid.

power system; oscillation mode; time domain simulation; small signal stability; damping ratio; HHT

2016-04-29

國家自然科學(xué)基金項目(51541707)

陽育德(1971-)， 男， 廣西籍， 副教授， 博士， 研究方向為電力系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行與控制； 李 雨(1989-)， 女， 廣西籍， 助理工程師， 碩士， 研究方向為電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析與控制。

TM71

A

1003-3076(2017)01-0044-08