劉友軍

【摘要】作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)之中的一個(gè)新增課程內(nèi)容，柯西不等式具有自身的特點(diǎn)，它是數(shù)學(xué)解題中十分重要的一個(gè)工具.在高考中，常利用柯西不等式考查學(xué)生能力，因此，應(yīng)當(dāng)針對(duì)其進(jìn)行充分研究.

【關(guān)鍵詞】柯西不等式；高中；數(shù)學(xué)

柯西不等式屬于高中階段進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)不可忽略的內(nèi)容.柯西不等式具有形式便捷、應(yīng)用性強(qiáng)等幾個(gè)方面的特點(diǎn).近些年以來(lái)，我國(guó)在高考以及數(shù)學(xué)競(jìng)賽方面均開始注意并應(yīng)用了越來(lái)越多的關(guān)于柯西不等式方面的知識(shí)點(diǎn).解答此類問題過(guò)程中，常會(huì)應(yīng)用到柯西不等式，形成假設(shè)條件，建立與結(jié)論之間的有效溝通.為此，采取何種方式或者手段利用柯西不等式，是我們需要探究的問題關(guān)鍵.

柯西不等式為著名數(shù)學(xué)家柯西在進(jìn)行數(shù)學(xué)分析過(guò)程中獲得的.基于歷史角度分析，這個(gè)不等式也可以被稱作是Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式.這是因?yàn)楹髢晌粩?shù)學(xué)家均已經(jīng)在積分學(xué)領(lǐng)域之中發(fā)揮出其作用和價(jià)值.柯西不等式屬于高中教學(xué)中的重要內(nèi)容，也是現(xiàn)代高中數(shù)學(xué)研究?jī)?nèi)容之中的關(guān)鍵部分.柯西不等式作為一個(gè)至關(guān)重要的不等式，本研究中采用了三種方式解析與說(shuō)明柯西不等式，同時(shí)，形成了部分柯西不等式在證明幾何、函數(shù)等方面的應(yīng)用.

下面列舉數(shù)例，分析柯西不等式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

案例1幾何題型中的應(yīng)用

例1（2008年高考試題）直線xa+yb=1通過(guò)點(diǎn)M（cosα，sinα），因此（）.

A.ax+bx≤1

B.ax+bx≥1

C.1a2+1b2≤1

D.1a2+1b2≥1

分析結(jié)合題意確定柯西不等式為

1=cosαa+sinαb2=cosα·1a+sinα·1b2

≤（cos2α+sin2α）1a2+1b2，

因此，可以知道1a2+1b2≥1，所以，正確答案為D.

本題在解題方法上可以選擇較多形式，但是通過(guò)柯西不等式進(jìn)行解答則效果最佳，讀者或可以嘗試其他方法進(jìn)行解答.

案例2柯西不等式應(yīng)用在數(shù)列與不等式中的應(yīng)用

在高考試題中柯西不等式通常應(yīng)用于數(shù)列與不等式證明中，如下例題所示.

例2已知數(shù)列{an}首項(xiàng)a1=35，an+1=3an2an+1，n=1，2，3，….

（1）求{an}通項(xiàng)公式；

（2）證明：x>0，an≥11+x-1（1+x）223n-x，n=1，2，3…；

（3）證明：a1+a2+a3+…+an>n2n+1.

該例題是高考中較常見的題型之一，也是壓軸問題.上述例題中（1）（2）較為簡(jiǎn)單，針對(duì)（3）的解題方法分析如下：

由已知任意的x>0，則

a1+a2+…+an≥11+xk-1（1+x）223-x+11+x-1（1+x）2232-x+…+11+x-1（1+x）2·23n-x=n1+x-1（1+x）223+232+…+23n-nx，

所以，取x=1n232+…+232=231-13nn1-13，

則得出

a1+a2+…+an≥n1+1n1-13n=n2n+1-13n>n2n+1.

所以，原不等式成立.

柯西不等式在教材中的應(yīng)用與實(shí)踐檢驗(yàn)時(shí)間不長(zhǎng)，但其已經(jīng)逐漸成為高考中的重點(diǎn)題型.通過(guò)靈活把握柯西不等式解題方法，能夠提高解題效率，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著重要作用.

結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，借助柯西不等式解答試題的核心就是依據(jù)題目特征，構(gòu)造符合題意的項(xiàng)，進(jìn)一步獲取關(guān)于柯西不等式方面的結(jié)構(gòu).針對(duì)相應(yīng)項(xiàng)目進(jìn)行構(gòu)建的過(guò)程中也應(yīng)當(dāng)結(jié)合實(shí)際情況，確保合理性.例如，分母應(yīng)當(dāng)為0，平方根非負(fù)等是基本條件.結(jié)合全文可知道，準(zhǔn)確運(yùn)用柯西不等式，以此，可以更好地證明數(shù)據(jù)各類問題.并將復(fù)雜數(shù)學(xué)問題進(jìn)行簡(jiǎn)化處理.

【參考文獻(xiàn)】

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