安徽省樅陽縣會宮中學(246740)

朱賢良● 付朝華●

把握分類討論標準 破解導數應用困局

安徽省樅陽縣會宮中學(246740)

朱賢良● 付朝華●

導數是高中數學中的重要概念之一，運用導數來求解函數的單調性、極值與最值問題是高考數學命題的常見角度，但含參的導數問題也是考生公認的難點與易錯點之一．究其根源，伴隨著參數的導數問題往往需要分類討論，而如何進行分類討論、如何把握分類討論的標準就成為破解導數應用困局的關鍵．

我們知道，利用導數來研究函數的單調性、極值與最值問題一般流程如下：

在涉及含參函數的單調性等相關問題中，往往在第二、三、四、五步可能需要就參數的取值進行分類討論，主要是要考慮到導函數零點的存在與否(有沒有、有幾個)、導函數的零點如何劃分定義域(是否在定義域內、多個零點孰大孰小)、導函數符號是否確定、函數最值點是否確定(極值點還是區(qū)間端點)等．以下結合具體例題，一一說明之．

一、考慮導函數零點的存在與否

在上述流程的第二步中，需要考慮到導函數f′(x)的零點存在與否：是否存在？存在又有幾個？這往往是第一個分類討論的標準．

例1 (2014年高考安徽卷·理18文20改編)設函數f(x)=1+(1+a)x-x2-x3，其中a∈R．試討論f(x)的單調性．

分析 由題知，f′(x)=-3x2-2x+1+a.

x(-∞，x1)(x1，x2)(x2，+∞)f′(x)-+-f(x)↘↗↘

評注 本題中的導函數為二次函數，在考慮導函數的零點是否存在時，一般先考慮導函數能否進行因式分解(提公因式或十字相乘)，若可以，則必存在零點；若不可以，則選擇判別式進行判斷．特別需要注意的是，當判別式等于0時，導函數有唯一零點，此零點并非函數f(x)的極值點，此時函數f(x)在定義域上單調．

二、考慮導函數的零點是否分布在定義域內

在上述流程的第三步中，需要考慮到導函數f′(x)的零點是否分布在定義域內、零點將定義域劃分成哪幾個區(qū)間．若不確定，則需分類討論之．

分析 由題可得，f′(x)=x2-(2a+1)x+a2+a=(x-a)[x-(a+1)].

由f′(x)=0得，x=a或x=a+1．

接下來需要就兩個零點a與a+1是否分布在定義域[0,2]內展開討論：

①當a

②當0

x(0，a+1)(a+1，2)f′(x)-+f(x)↘↗

③當0

x(0，a)(a，a+1)(a+1，2)f′(x)+-+f(x)↗↘↗

④當0

x(0，a)(a，2)f′(x)+-f(x)↗↘

⑤當2≤a

綜上所述，當a≤-1或a≥2時，f(x)的遞增區(qū)間為[0,2]；

當-1

當0

當1≤a<2時，f(x)的遞增區(qū)間為(0,a)，遞減區(qū)間為(a,2)．

評注 本題中的分類討論是源于導函數f′(x)的兩個零點a與a+1是否在定義域[0,2]內，這也正是分類的標準．

三、考慮導函數多個零點的大小是否確定

在就導函數f′(x)的零點劃分定義域時，既要考慮到導函數的零點是否在定義域內，還要考慮到多個零點的大小問題．倘若多個零點的大小關系不確定，也需要進行分類討論．

例3 設函數f(x)=x2-(a+2)x+alnx+2a+2，其中a∈R．試判斷函數f(x)的單調性．

x(0，1)(1，+∞)f′(x)-+f(x)↘↗

x(0，a2)(a2，1)(1，+∞)f′(x)+-+f(x)↗↘↗

x(0，1)(1，a2)(a2，+∞)f′(x)+-+f(x)↗↘↗

綜上所述，當a≤0時，f(x)的遞增區(qū)間為(1,+∞)，遞減區(qū)間為(0,1)；

當a=2時，f(x)的遞增區(qū)間為(0,+∞)；

評注 本題在分類討論求解時，既考慮到了導函數的零點是否在定義域內，又考慮到了兩個零點孰大孰小，分類標準清晰．

四、考慮導函數的符號是否確定

導函數f′(x)的正負情況，決定了函數的單調性．而有些時候，f′(x)的正負情況并不確定，則需要分類討論之．

②若a>1，則在定義域[1,+∞)上，y=(1-a)x2-x+a≥0，f′(x)≤0，即f(x)在[1,+∞)上遞減．

x(1，a1-a)(a1-a，+∞)f′(x)-+f(x)↘↗

當a>1時，f(x)在[1,+∞)上遞減；

五、考慮函數最值點是否確定

在判斷函數的單調性之后，還需要確定函數的最值點是某一極值點還是區(qū)間的端點，這就需要判斷函數的極值與端點處函數值的大?。舨淮_定，則分類討論處理．

x0(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，2)2f′(x)+0f′(x)0f′(x)f(x)3-3a>0↗f(x1)>0↘f(x2)↗3a-1

最大值是哪個？如何判斷？

綜上所述，

分類討論思想是中學數學中的重要思想方法，在歷年高考試題中都有所考查．應用導數處理含參函數的單調性等問題時，要注意思維的嚴密性與邏輯性，弄清楚分類討論的原因與標準，確保不重不漏、準確合理．

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