安徽省樅陽縣會宮中學(246740)
朱賢良● 付朝華●
把握分類討論標準 破解導數(shù)應用困局
安徽省樅陽縣會宮中學(246740)
朱賢良● 付朝華●
導數(shù)是高中數(shù)學中的重要概念之一,運用導數(shù)來求解函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題是高考數(shù)學命題的常見角度,但含參的導數(shù)問題也是考生公認的難點與易錯點之一.究其根源,伴隨著參數(shù)的導數(shù)問題往往需要分類討論,而如何進行分類討論、如何把握分類討論的標準就成為破解導數(shù)應用困局的關鍵.
我們知道,利用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題一般流程如下:
在涉及含參函數(shù)的單調(diào)性等相關問題中,往往在第二、三、四、五步可能需要就參數(shù)的取值進行分類討論,主要是要考慮到導函數(shù)零點的存在與否(有沒有、有幾個)、導函數(shù)的零點如何劃分定義域(是否在定義域內(nèi)、多個零點孰大孰小)、導函數(shù)符號是否確定、函數(shù)最值點是否確定(極值點還是區(qū)間端點)等.以下結合具體例題,一一說明之.
在上述流程的第二步中,需要考慮到導函數(shù)f′(x)的零點存在與否:是否存在?存在又有幾個?這往往是第一個分類討論的標準.
例1 (2014年高考安徽卷·理18文20改編)設函數(shù)f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a∈R.試討論f(x)的單調(diào)性.
分析 由題知,f′(x)=-3x2-2x+1+a.
x(-∞,x1)(x1,x2)(x2,+∞)f′(x)-+-f(x)↘↗↘
評注 本題中的導函數(shù)為二次函數(shù),在考慮導函數(shù)的零點是否存在時,一般先考慮導函數(shù)能否進行因式分解(提公因式或十字相乘),若可以,則必存在零點;若不可以,則選擇判別式進行判斷.特別需要注意的是,當判別式等于0時,導函數(shù)有唯一零點,此零點并非函數(shù)f(x)的極值點,此時函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào).
在上述流程的第三步中,需要考慮到導函數(shù)f′(x)的零點是否分布在定義域內(nèi)、零點將定義域劃分成哪幾個區(qū)間.若不確定,則需分類討論之.
分析 由題可得,f′(x)=x2-(2a+1)x+a2+a=(x-a)[x-(a+1)].
由f′(x)=0得,x=a或x=a+1.
接下來需要就兩個零點a與a+1是否分布在定義域[0,2]內(nèi)展開討論:
①當a ②當0 x(0,a+1)(a+1,2)f′(x)-+f(x)↘↗ ③當0 x(0,a)(a,a+1)(a+1,2)f′(x)+-+f(x)↗↘↗ ④當0 x(0,a)(a,2)f′(x)+-f(x)↗↘ ⑤當2≤a 綜上所述,當a≤-1或a≥2時,f(x)的遞增區(qū)間為[0,2]; 當-1