安徽省樅陽縣會(huì)宮中學(xué)(246740)
朱賢良● 付朝華●
把握分類討論標(biāo)準(zhǔn) 破解導(dǎo)數(shù)應(yīng)用困局
安徽省樅陽縣會(huì)宮中學(xué)(246740)
朱賢良● 付朝華●
導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要概念之一,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來求解函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題是高考數(shù)學(xué)命題的常見角度,但含參的導(dǎo)數(shù)問題也是考生公認(rèn)的難點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn)之一.究其根源,伴隨著參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題往往需要分類討論,而如何進(jìn)行分類討論、如何把握分類討論的標(biāo)準(zhǔn)就成為破解導(dǎo)數(shù)應(yīng)用困局的關(guān)鍵.
我們知道,利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題一般流程如下:
在涉及含參函數(shù)的單調(diào)性等相關(guān)問題中,往往在第二、三、四、五步可能需要就參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論,主要是要考慮到導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在與否(有沒有、有幾個(gè))、導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)如何劃分定義域(是否在定義域內(nèi)、多個(gè)零點(diǎn)孰大孰小)、導(dǎo)函數(shù)符號(hào)是否確定、函數(shù)最值點(diǎn)是否確定(極值點(diǎn)還是區(qū)間端點(diǎn))等.以下結(jié)合具體例題,一一說明之.
在上述流程的第二步中,需要考慮到導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)存在與否:是否存在?存在又有幾個(gè)?這往往是第一個(gè)分類討論的標(biāo)準(zhǔn).
例1 (2014年高考安徽卷·理18文20改編)設(shè)函數(shù)f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a∈R.試討論f(x)的單調(diào)性.
分析 由題知,f′(x)=-3x2-2x+1+a.
x(-∞,x1)(x1,x2)(x2,+∞)f′(x)-+-f(x)↘↗↘
評(píng)注 本題中的導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù),在考慮導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否存在時(shí),一般先考慮導(dǎo)函數(shù)能否進(jìn)行因式分解(提公因式或十字相乘),若可以,則必存在零點(diǎn);若不可以,則選擇判別式進(jìn)行判斷.特別需要注意的是,當(dāng)判別式等于0時(shí),導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn),此零點(diǎn)并非函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),此時(shí)函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào).
在上述流程的第三步中,需要考慮到導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)是否分布在定義域內(nèi)、零點(diǎn)將定義域劃分成哪幾個(gè)區(qū)間.若不確定,則需分類討論之.
分析 由題可得,f′(x)=x2-(2a+1)x+a2+a=(x-a)[x-(a+1)].
由f′(x)=0得,x=a或x=a+1.
接下來需要就兩個(gè)零點(diǎn)a與a+1是否分布在定義域[0,2]內(nèi)展開討論:
①當(dāng)a ②當(dāng)0 x(0,a+1)(a+1,2)f′(x)-+f(x)↘↗ ③當(dāng)0 x(0,a)(a,a+1)(a+1,2)f′(x)+-+f(x)↗↘↗ ④當(dāng)0 x(0,a)(a,2)f′(x)+-f(x)↗↘ ⑤當(dāng)2≤a 綜上所述,當(dāng)a≤-1或a≥2時(shí),f(x)的遞增區(qū)間為[0,2]; 當(dāng)-1