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        把握分類討論標準 破解導數應用困局

        2017-04-15 01:26:52安徽省樅陽縣會宮中學246740
        數理化解題研究 2017年7期
        關鍵詞:定義域極值零點

        安徽省樅陽縣會宮中學(246740)

        朱賢良● 付朝華●

        把握分類討論標準 破解導數應用困局

        安徽省樅陽縣會宮中學(246740)

        朱賢良● 付朝華●

        導數是高中數學中的重要概念之一,運用導數來求解函數的單調性、極值與最值問題是高考數學命題的常見角度,但含參的導數問題也是考生公認的難點與易錯點之一.究其根源,伴隨著參數的導數問題往往需要分類討論,而如何進行分類討論、如何把握分類討論的標準就成為破解導數應用困局的關鍵.

        我們知道,利用導數來研究函數的單調性、極值與最值問題一般流程如下:

        在涉及含參函數的單調性等相關問題中,往往在第二、三、四、五步可能需要就參數的取值進行分類討論,主要是要考慮到導函數零點的存在與否(有沒有、有幾個)、導函數的零點如何劃分定義域(是否在定義域內、多個零點孰大孰小)、導函數符號是否確定、函數最值點是否確定(極值點還是區(qū)間端點)等.以下結合具體例題,一一說明之.

        一、考慮導函數零點的存在與否

        在上述流程的第二步中,需要考慮到導函數f′(x)的零點存在與否:是否存在?存在又有幾個?這往往是第一個分類討論的標準.

        例1 (2014年高考安徽卷·理18文20改編)設函數f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a∈R.試討論f(x)的單調性.

        分析 由題知,f′(x)=-3x2-2x+1+a.

        x(-∞,x1)(x1,x2)(x2,+∞)f′(x)-+-f(x)↘↗↘

        評注 本題中的導函數為二次函數,在考慮導函數的零點是否存在時,一般先考慮導函數能否進行因式分解(提公因式或十字相乘),若可以,則必存在零點;若不可以,則選擇判別式進行判斷.特別需要注意的是,當判別式等于0時,導函數有唯一零點,此零點并非函數f(x)的極值點,此時函數f(x)在定義域上單調.

        二、考慮導函數的零點是否分布在定義域內

        在上述流程的第三步中,需要考慮到導函數f′(x)的零點是否分布在定義域內、零點將定義域劃分成哪幾個區(qū)間.若不確定,則需分類討論之.

        分析 由題可得,f′(x)=x2-(2a+1)x+a2+a=(x-a)[x-(a+1)].

        由f′(x)=0得,x=a或x=a+1.

        接下來需要就兩個零點a與a+1是否分布在定義域[0,2]內展開討論:

        ①當a

        ②當0

        x(0,a+1)(a+1,2)f′(x)-+f(x)↘↗

        ③當0

        x(0,a)(a,a+1)(a+1,2)f′(x)+-+f(x)↗↘↗

        ④當0

        x(0,a)(a,2)f′(x)+-f(x)↗↘

        ⑤當2≤a

        綜上所述,當a≤-1或a≥2時,f(x)的遞增區(qū)間為[0,2];

        當-1

        當0

        當1≤a<2時,f(x)的遞增區(qū)間為(0,a),遞減區(qū)間為(a,2).

        評注 本題中的分類討論是源于導函數f′(x)的兩個零點a與a+1是否在定義域[0,2]內,這也正是分類的標準.

        三、考慮導函數多個零點的大小是否確定

        在就導函數f′(x)的零點劃分定義域時,既要考慮到導函數的零點是否在定義域內,還要考慮到多個零點的大小問題.倘若多個零點的大小關系不確定,也需要進行分類討論.

        例3 設函數f(x)=x2-(a+2)x+alnx+2a+2,其中a∈R.試判斷函數f(x)的單調性.

        x(0,1)(1,+∞)f′(x)-+f(x)↘↗

        x(0,a2)(a2,1)(1,+∞)f′(x)+-+f(x)↗↘↗

        x(0,1)(1,a2)(a2,+∞)f′(x)+-+f(x)↗↘↗

        綜上所述,當a≤0時,f(x)的遞增區(qū)間為(1,+∞),遞減區(qū)間為(0,1);

        當a=2時,f(x)的遞增區(qū)間為(0,+∞);

        評注 本題在分類討論求解時,既考慮到了導函數的零點是否在定義域內,又考慮到了兩個零點孰大孰小,分類標準清晰.

        四、考慮導函數的符號是否確定

        導函數f′(x)的正負情況,決定了函數的單調性.而有些時候,f′(x)的正負情況并不確定,則需要分類討論之.

        ②若a>1,則在定義域[1,+∞)上,y=(1-a)x2-x+a≥0,f′(x)≤0,即f(x)在[1,+∞)上遞減.

        x(1,a1-a)(a1-a,+∞)f′(x)-+f(x)↘↗

        當a>1時,f(x)在[1,+∞)上遞減;

        五、考慮函數最值點是否確定

        在判斷函數的單調性之后,還需要確定函數的最值點是某一極值點還是區(qū)間的端點,這就需要判斷函數的極值與端點處函數值的大?。舨淮_定,則分類討論處理.

        x0(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,2)2f′(x)+0f′(x)0f′(x)f(x)3-3a>0↗f(x1)>0↘f(x2)↗3a-1

        最大值是哪個?如何判斷?

        綜上所述,

        分類討論思想是中學數學中的重要思想方法,在歷年高考試題中都有所考查.應用導數處理含參函數的單調性等問題時,要注意思維的嚴密性與邏輯性,弄清楚分類討論的原因與標準,確保不重不漏、準確合理.

        G632

        B

        1008-0333(2017)07-0006-03

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