安徽省樅陽縣會(huì)宮中學(xué)(246740)

朱賢良● 付朝華●

把握分類討論標(biāo)準(zhǔn) 破解導(dǎo)數(shù)應(yīng)用困局

安徽省樅陽縣會(huì)宮中學(xué)(246740)

朱賢良● 付朝華●

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要概念之一，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來求解函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題是高考數(shù)學(xué)命題的常見角度，但含參的導(dǎo)數(shù)問題也是考生公認(rèn)的難點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn)之一．究其根源，伴隨著參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題往往需要分類討論，而如何進(jìn)行分類討論、如何把握分類討論的標(biāo)準(zhǔn)就成為破解導(dǎo)數(shù)應(yīng)用困局的關(guān)鍵．

我們知道，利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題一般流程如下：

在涉及含參函數(shù)的單調(diào)性等相關(guān)問題中，往往在第二、三、四、五步可能需要就參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，主要是要考慮到導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在與否(有沒有、有幾個(gè))、導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)如何劃分定義域(是否在定義域內(nèi)、多個(gè)零點(diǎn)孰大孰小)、導(dǎo)函數(shù)符號(hào)是否確定、函數(shù)最值點(diǎn)是否確定(極值點(diǎn)還是區(qū)間端點(diǎn))等．以下結(jié)合具體例題，一一說明之．

一、考慮導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在與否

在上述流程的第二步中，需要考慮到導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)存在與否：是否存在？存在又有幾個(gè)？這往往是第一個(gè)分類討論的標(biāo)準(zhǔn)．

例1 (2014年高考安徽卷·理18文20改編)設(shè)函數(shù)f(x)=1+(1+a)x-x2-x3，其中a∈R．試討論f(x)的單調(diào)性．

分析 由題知，f′(x)=-3x2-2x+1+a.

x(-∞，x1)(x1，x2)(x2，+∞)f′(x)-+-f(x)↘↗↘

評(píng)注 本題中的導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，在考慮導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否存在時(shí)，一般先考慮導(dǎo)函數(shù)能否進(jìn)行因式分解(提公因式或十字相乘)，若可以，則必存在零點(diǎn)；若不可以，則選擇判別式進(jìn)行判斷．特別需要注意的是，當(dāng)判別式等于0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，此零點(diǎn)并非函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)．

二、考慮導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否分布在定義域內(nèi)

在上述流程的第三步中，需要考慮到導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)是否分布在定義域內(nèi)、零點(diǎn)將定義域劃分成哪幾個(gè)區(qū)間．若不確定，則需分類討論之．

分析 由題可得，f′(x)=x2-(2a+1)x+a2+a=(x-a)[x-(a+1)].

由f′(x)=0得，x=a或x=a+1．

接下來需要就兩個(gè)零點(diǎn)a與a+1是否分布在定義域[0,2]內(nèi)展開討論：

①當(dāng)a

②當(dāng)0

x(0，a+1)(a+1，2)f′(x)-+f(x)↘↗

③當(dāng)0

x(0，a)(a，a+1)(a+1，2)f′(x)+-+f(x)↗↘↗

④當(dāng)0

x(0，a)(a，2)f′(x)+-f(x)↗↘

⑤當(dāng)2≤a

綜上所述，當(dāng)a≤-1或a≥2時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間為[0,2]；

當(dāng)-1

當(dāng)0

當(dāng)1≤a<2時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間為(0,a)，遞減區(qū)間為(a,2)．

評(píng)注 本題中的分類討論是源于導(dǎo)函數(shù)f′(x)的兩個(gè)零點(diǎn)a與a+1是否在定義域[0,2]內(nèi)，這也正是分類的標(biāo)準(zhǔn)．

三、考慮導(dǎo)函數(shù)多個(gè)零點(diǎn)的大小是否確定

在就導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)劃分定義域時(shí)，既要考慮到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否在定義域內(nèi)，還要考慮到多個(gè)零點(diǎn)的大小問題．倘若多個(gè)零點(diǎn)的大小關(guān)系不確定，也需要進(jìn)行分類討論．

例3 設(shè)函數(shù)f(x)=x2-(a+2)x+alnx+2a+2，其中a∈R．試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性．

x(0，1)(1，+∞)f′(x)-+f(x)↘↗

x(0，a2)(a2，1)(1，+∞)f′(x)+-+f(x)↗↘↗

x(0，1)(1，a2)(a2，+∞)f′(x)+-+f(x)↗↘↗

綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間為(1,+∞)，遞減區(qū)間為(0,1)；

當(dāng)a=2時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間為(0,+∞)；

評(píng)注 本題在分類討論求解時(shí)，既考慮到了導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否在定義域內(nèi)，又考慮到了兩個(gè)零點(diǎn)孰大孰小，分類標(biāo)準(zhǔn)清晰．

四、考慮導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)是否確定

導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)情況，決定了函數(shù)的單調(diào)性．而有些時(shí)候，f′(x)的正負(fù)情況并不確定，則需要分類討論之．

②若a>1，則在定義域[1,+∞)上，y=(1-a)x2-x+a≥0，f′(x)≤0，即f(x)在[1,+∞)上遞減．

x(1，a1-a)(a1-a，+∞)f′(x)-+f(x)↘↗

當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在[1,+∞)上遞減；

五、考慮函數(shù)最值點(diǎn)是否確定

在判斷函數(shù)的單調(diào)性之后，還需要確定函數(shù)的最值點(diǎn)是某一極值點(diǎn)還是區(qū)間的端點(diǎn)，這就需要判斷函數(shù)的極值與端點(diǎn)處函數(shù)值的大?。舨淮_定，則分類討論處理．

x0(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，2)2f′(x)+0f′(x)0f′(x)f(x)3-3a>0↗f(x1)>0↘f(x2)↗3a-1

最大值是哪個(gè)？如何判斷？

綜上所述，

分類討論思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要思想方法，在歷年高考試題中都有所考查．應(yīng)用導(dǎo)數(shù)處理含參函數(shù)的單調(diào)性等問題時(shí)，要注意思維的嚴(yán)密性與邏輯性，弄清楚分類討論的原因與標(biāo)準(zhǔn)，確保不重不漏、準(zhǔn)確合理．

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