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        從三角形重心定理到“共點(diǎn)三線通式”探索

        2017-04-14 11:34:06安徽省黃山旅游管理學(xué)校245700
        數(shù)理化解題研究 2017年8期
        關(guān)鍵詞:通式交點(diǎn)開口

        安徽省黃山旅游管理學(xué)校(245700)

        吳靈捷●

        從三角形重心定理到“共點(diǎn)三線通式”探索

        安徽省黃山旅游管理學(xué)校(245700)

        吳靈捷●

        筆者在講授三角形的重心定理時(shí),無意間發(fā)現(xiàn)了重心、內(nèi)心之間具有一條共同性質(zhì),下面就是這個(gè)通式發(fā)現(xiàn)過程.

        重心定理 三角形的三條中線交于一點(diǎn),這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)距離的2倍.

        將重心定理公式變形為:

        故可以得:

        證 ∵點(diǎn)I是內(nèi)心,

        猜想:既然三角形的重心、內(nèi)心具有這樣的性質(zhì),那么三角形的垂心、外心是否具有這個(gè)性質(zhì)呢?如果再推廣到一般的形態(tài),會(huì)是什么情況.

        證明 如圖3,令S△ABC=S;S△BOC=S1;S△COA=S2;S△AOB=S3.

        令△ABC中BC邊上的高為ha;△ABC中AC邊上的高為hb;△ABC中AB邊上的高為hc;△BOC中BC邊上的高為h1;△COA中AC邊上的高為h2;△AOB中AB邊上的高為h3.

        由相似三角形的知識(shí)可知:

        ∵S△ABC=S△BOC+S△COA+S△AOB

        上述證明就給了三角形內(nèi)任意一點(diǎn)都滿足該性質(zhì),因此三角形的垂心、內(nèi)心也具有該性質(zhì).

        ?開口向上,對稱軸為x=0.則當(dāng)x<0時(shí)函數(shù)值y隨x的增大而減小.當(dāng)m=2時(shí),原函數(shù)y=x2-2x-3的圖象開口向上,對稱軸為x=1.則當(dāng)x<1時(shí)函數(shù)值y隨x的增大而減小.

        此題解答過程看似復(fù)雜,但是只要捋清思路,逐步地分情況討論,實(shí)際題目難度并不是很高,并且通過對圖象的想象,可以幫助我們更快地解決問題.此題第一問是對于函數(shù)圖象開口方向、坐標(biāo)位置導(dǎo)致其與x軸存在交點(diǎn)的問題,這種題目無論如何變化只有三種情況:①頂點(diǎn)在x軸上,無論開口方向如何函數(shù)與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn);②頂點(diǎn)在x軸上方,開口向下才與x軸有交點(diǎn);③頂點(diǎn)在x軸下方,開口向上才與x軸有交點(diǎn).第二問是對函數(shù)單調(diào)性的討論,在目前階段的二次函數(shù)學(xué)習(xí)中函數(shù)的單調(diào)性只有在頂點(diǎn)處會(huì)發(fā)生改變,在今后還會(huì)接觸到帶有絕對值符號的二次函數(shù),目前暫不討論.

        在做此題的時(shí)候?qū)W生們經(jīng)常在m值的討論以及B點(diǎn)坐標(biāo)的確認(rèn)方面出錯(cuò)誤,對于這種解答結(jié)果偏多,需要同學(xué)們根據(jù)條件篩選結(jié)果,或者根據(jù)不同條件分組討論的時(shí)候,我建議同學(xué)們畫出解析式的示意圖幫助自己理解,對于分情況討論的時(shí)候可以畫出多組圖形,以免混淆.往往這種分情況討論的題目,每種情況的難度并不大,但是需要同學(xué)們一定要思路清晰邏輯縝密,不要遺漏.

        由于篇幅有限,二次函數(shù)教學(xué)中的難點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn)先為大家介紹到這里,二次函數(shù)的教學(xué)中仍有很多難點(diǎn)在此雖未介紹,但是依然很重要,希望廣大的師生朋友們在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中加以重視,多學(xué)多練.

        [1]王禮兒.一元二次函數(shù)教學(xué)過程中的難點(diǎn)分析[J].讀書文摘,2015(12).

        [2]張文彬.二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系案例與反思[J].科技咨詢:教育科技,2015(2).

        G632

        B

        1008-0333(2017)08-0033-01

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