山東省昌邑市柳疃初中(261302) 姜強(qiáng)柱 ●

構(gòu)造一元二次方程 巧求代數(shù)式的最值

山東省昌邑市柳疃初中(261302) 姜強(qiáng)柱 ●

在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，我們經(jīng)常會(huì)遇到求代數(shù)式的最值(最大值或最小值)問(wèn)題，但被求最值的代數(shù)式又不是一般代數(shù)式，因而同學(xué)們都感到困難，覺(jué)的無(wú)從下手．對(duì)于這類問(wèn)題，如果我們通過(guò)設(shè)元構(gòu)造一元二次方程，或者根據(jù)題設(shè)條件利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造一元二次方程，利用一元二次方程的判別式便能巧妙的獲解．下面舉例說(shuō)明．

(1993年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

整理，得y2－10y+24=0，即(y－4)(y－6)≤0．

由題設(shè)知y≠6，所以解得4≤y＜6．

∵x為實(shí)數(shù)，∴Δ=(－y)2－4ay=y2－4ay≥0．

由于y＞0，所以y≥4a．

∴所求分式的最小值為4a．

例3 設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，那么a2+ab+b2－a－2b的最小值是___．(1998年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

解 設(shè)a2+ab+b2－a－2b=y，將其整理成關(guān)于a的二次方程，得

a2+(b－1)a+(b2－2b－y)=0．

∵a為實(shí)數(shù)．

∴ Δ=(b－1)2－4(b2－2b－y)≥0．

∴4y≥3b2－6b－1=3(b－1)2－4≥－4，∴y≥－1．

故所求代數(shù)式的最小值是－1．

例4 已知x、y、z為實(shí)數(shù)，且x+y+z=5，xy+yz+zx =3．試求z的最大值與最小值．(2004年全國(guó)希望杯初中數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽競(jìng)賽試題)

解 由x+y+z=5，得y=5－x－z，代入xy+yz+zx =3，得x(5－x－z)+(5－x－z)z+zx=3．

將上式整理成關(guān)于x的二次方程，得x2+(z－5)x+ z2－5z+3=0．∵x為實(shí)數(shù)，

∴Δ=(z－5)2－4(z2－5z+3)≥0，即3z2－10z－13≤0．

例5 已知a、b均為實(shí)數(shù)，且滿足a2+ab+b2=1①，則代數(shù)式的最大值與最小值的和___．

解 設(shè)a2－ab+b2=y②．

①+②，得2a2+2b2=1+y，即

由③、④可知a2、b2是二次方程(1－y)2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

整理，得3y2－10y+3≤0，即(3y－1)(y－3)≤0．

∴代數(shù)式a2－ab+b2的最大值是3，最小值是

故代數(shù)式a2－ab+b2的最大值與最小值的和是1

例6 已知p3+q3=2，其中p、q是實(shí)數(shù)，則p+q的最大值為___．(1987年江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)

解 由p3+q3=2，得(p+q)(p2+q2－pq)=2．

(p+q)［(p+q)2－3pq］=2．

(p+q)3－3pq(p+q)=2．

化簡(jiǎn)整理，得m3≤8，故m≤2，即p+q的最大值為2．

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