江蘇省淮安市淮陰區(qū)開明中學(xué)(223300) 馬先龍 ●

特殊位置作用大

江蘇省淮安市淮陰區(qū)開明中學(xué)(223300) 馬先龍 ●

解幾何最值問(wèn)題時(shí)，若能捕捉圖形的特殊位置，利用特殊位置時(shí)的圖形解題，往往能化難為易，事半功倍．

一、與三角形有關(guān)的問(wèn)題

例1 如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC= 30°，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α(0°＜α＜180°)，得到△A'CB'．設(shè)AC中點(diǎn)為M，A'B'中點(diǎn)為N，AC= 2，連接MN，則線段MN 的最大值為___．

分析 如圖2，當(dāng)△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到M、C、N三點(diǎn)共線時(shí)，即是本題的特殊位置圖形．此時(shí)，CM+ CN就是MN的最大值．

解 如圖1，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC= 30°，AC=2，∴AB=4．連結(jié) CN，在 Rt△A'B'C中，∵∠A'CB'=90°，N為A'B'中點(diǎn)，∴此時(shí)CM、CN不共線，有MN＜CM+CN;如圖2，當(dāng)CM、CN共線時(shí)，有MN=CM+CN，∴MN≤CM+CN．∵M(jìn)為AC的中點(diǎn)，∴3，∴MN的最大值為3．

二、與四邊形有關(guān)的問(wèn)題

例2 如圖3，正方形ABCD中，AB=2，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)它們到各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中AF與DE相交于點(diǎn)M，P是邊CD上任意一點(diǎn)，則PB+PM 的最小值為___．

分析 如圖4，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，動(dòng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，即是本題的特殊位置圖形．此時(shí)，作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'M交CD于點(diǎn)P，則B'M就是PB+PM的最小值．

解 如圖4，當(dāng)點(diǎn)E、F分別運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B、C時(shí)，M是正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'M與CD相交于點(diǎn)P，則B'M就是PB+ PM的最小值．過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BC于點(diǎn)N，在Rt△B'MN中，∵∠B'NM=90°，MN=1，B'N=2+1=3，∴B'M=PB+PM的最小值為

三、與圓有關(guān)的問(wèn)題

分析 如圖6，當(dāng)OP與⊙A相切時(shí)，即是本題的特殊位置圖形．此時(shí)，∠POA最大，從而tan∠POA最大，而tan∠POA，故此時(shí)最大，據(jù)此即可求出的最大值．，故此時(shí)最大．連接AP，∵OP是⊙A的切線，∴∠OPA=90°．∵A(2，0)，∴OA=2．在Rt△AOP中，∠OPA=90°，OA=2，AP=

解 如圖6，連接OP，當(dāng)OP與⊙A相切時(shí)，∠POA最大，從而tan∠POA最大．∵的最大值為的最大值為

例4 如圖7，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，M是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AM為直徑畫⊙O分別交AB，AC于點(diǎn)P，Q，連結(jié)PQ，則線段PQ 的最小值為____．

解 如圖7，作直徑PR，連接QR，則∠PQR=90°，∠PRQ=∠BAC=60°．在Rt△PRQ中，∠PQR=90°，．過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，則AH就是AM的最小值．在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH=60°，AB的最小值為線段PQ的最小值為線段PQ的最小值為

例5 如圖8，已知A是⊙O外一點(diǎn)，P是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，線段AP的中點(diǎn)為Q，連接AO，OQ．若⊙O的半徑為2，OA=5，則線段OQ 的最大值是___．

分析 如圖8，取OA的中點(diǎn)B，連接BQ，OP，易知BQ =1，點(diǎn)Q是半徑為1的⊙B上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)AO與⊙B相交于M、N，則OM就是OQ的特殊位置圖形，據(jù)此可求出OQ的最大值．

解 如圖8，取OA的中點(diǎn)B，連接BQ，OP．∵Q、B分別為AP、AO的中點(diǎn)，∴BQ為△AOP的中位線OP．∵OP=2，∴BQ=1．以點(diǎn)B為圓心，作半徑為1的⊙B，則點(diǎn)Q是⊙B上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)AO與⊙B分別相交于點(diǎn)M、 N，則當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，OQ最大線段OQ的最大值是

從以上幾例可以看出，認(rèn)真審題，把握?qǐng)D形本質(zhì)，弄清運(yùn)動(dòng)對(duì)象的路徑并捕捉到圖形的特殊位置是解題成功的關(guān)鍵．一旦捕捉到圖形的特殊位置并畫出特殊位置時(shí)的圖形，問(wèn)題則立刻變得簡(jiǎn)單了．

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