□ 郜舒竹 常 鑫

例談“數(shù)學素養(yǎng)”*

□ 郜舒竹 常 鑫

關(guān)于“數(shù)學素養(yǎng)”可以理解為：人能夠成功實施與數(shù)學相關(guān)的行動所具備的條件。在一節(jié)主題為“密碼中的規(guī)律”的展示課中，學生針對蘭福德問題的探索過程中，經(jīng)歷了在觀察過程中感受規(guī)律并描述規(guī)律的活動，面對復(fù)雜問題經(jīng)歷特殊化的思考活動，解決問題之后運用從特殊到一般的思維方式經(jīng)歷問題生問題的活動，遇到問題難以解決的困難時，經(jīng)歷運用直覺的思維方式進行猜想的活動，以及對于數(shù)學問題追求其完美解決的活動。凡此對相關(guān)數(shù)學素養(yǎng)的養(yǎng)成會有所裨益。

素養(yǎng) 數(shù)學素養(yǎng) 學習活動

如果把素養(yǎng)理解為“人之本身”的修養(yǎng)，那么“數(shù)學素養(yǎng)”就可以理解為數(shù)學專業(yè)工作者或數(shù)學家所擁有的專業(yè)修養(yǎng)。依據(jù)這樣的理解很難演繹出“數(shù)學素養(yǎng)”作為一個概念所包含的內(nèi)容（外延），當然也就無法將數(shù)學素養(yǎng)與學生學習數(shù)學的活動建立聯(lián)系，因此作為數(shù)學教師也就無法將其落實到日常的數(shù)學教學及其評價之中。究竟應(yīng)當如何理解數(shù)學素養(yǎng)？如何在數(shù)學教學中真正實現(xiàn)“素養(yǎng)導(dǎo)向”？這些就成為了亟待回答的問題。

一、如何理解“數(shù)學素養(yǎng)”

如果把對素養(yǎng)的理解指向“人之行動”，把“人的素養(yǎng)”與“人的行動”聯(lián)系在一起，也就是把素養(yǎng)看作是人能夠成功行動的先決條件，那么素養(yǎng)這一具有抽象性的概念就具體化并且行為化了。據(jù)此，數(shù)學素養(yǎng)就可以演繹為是人能夠成功實施與數(shù)學相關(guān)的行動所具備的條件。其中的行動可能是對事物的觀察，對概念的理解，可能是數(shù)學中的計算，對數(shù)學符號的使用，也可能是應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題，等等。這樣的素養(yǎng)不僅包括數(shù)學知識和技能，同時也包括諸如情感、態(tài)度以及經(jīng)驗、方法等。

在“經(jīng)濟合作與發(fā)展組織①英譯：Organization for Economic Co-operation and Development（以下簡稱OECD）所開展的“國際學生評價項目②英譯：The Programme for International StudentAssessment（以下簡稱PISA）”的數(shù)學素養(yǎng)測試中，明確指出：“所測試的數(shù)學素養(yǎng)是針對15歲學生在義務(wù)教育結(jié)束時，對于日常生活活動中使用數(shù)學的能力?！币虼?，PISA所說的數(shù)學素養(yǎng)實質(zhì)上是與“用數(shù)學”的行動聯(lián)系在一起的，其測試內(nèi)容并不是與數(shù)學相關(guān)的全部行動及其素養(yǎng)。

綜上，如果把數(shù)學教學的目標定位于素養(yǎng)導(dǎo)向，那么就應(yīng)當把數(shù)學素養(yǎng)理解為學生在學習數(shù)學過程中，經(jīng)歷各種與數(shù)學相關(guān)的學習活動中所能夠習得的素養(yǎng)。鑒于數(shù)學素養(yǎng)與數(shù)學學習活動的這種關(guān)系，那么素養(yǎng)導(dǎo)向數(shù)學教學的基本原理就應(yīng)當是創(chuàng)造機會和環(huán)境，讓學生“親身經(jīng)歷”與數(shù)學相關(guān)的學習活動。接下來的問題是學生在學習數(shù)學的過程中可能經(jīng)歷什么樣的活動。這樣的問題，很難作出全面、準確的回答，因此需要通過具體案例進行歸納并且積累。

2016年11月在杭州舉辦的“第一屆西湖之秋全國小學數(shù)學課程與教學研討峰會”上，有一節(jié)由北京市朝陽區(qū)南磨房中心小學常鑫老師執(zhí)教的主題為“密碼中的規(guī)律”的展示課。本節(jié)課的核心內(nèi)容選用的是組合數(shù)學中一個著名的排列問題：將六個數(shù)字：1，1，2，2，3，3排成一排，使得兩個1之間有一個數(shù)字，兩個2之間有兩個數(shù)字，兩個3之間有三個數(shù)字。雖然這是專業(yè)的數(shù)學問題，其實是源于年幼兒童玩積木的游戲。

這一問題最早于1958年10月刊登于英國一個名為《Mathematical Gazette》的期刊上。提出問題的作者是蘇格蘭的一位名叫杜德利·蘭福德（Dudley Langford）的數(shù)學家，因此這個問題被后人稱為“蘭福德問題（Langford Problem）”。蘭福德發(fā)現(xiàn)這一問題的靈感來源于對年幼兒子玩弄彩色積木的觀察。（見圖1）

圖1 兒童搭積木示意圖

一共6個木塊，其中紅色、黃色和藍色各有2個，自下而上擺成一列后發(fā)現(xiàn)，2個紅色木塊之間有1個木塊，2個黃色木塊之間有2個木塊，2個藍色木塊之間有3個木塊。蘭福德改用數(shù)字1、2、3分別代表紅、黃、藍三種顏色的木塊，就得到了一個有規(guī)律排列的六位數(shù)：312132。

無論是6個木塊還是6個數(shù)字，排成一排可以有許多各式各樣的排法。能夠注意到其中的“312132”，實際上就是感知到了其中的某種規(guī)律，這一規(guī)律可以表述為：兩個幾之間就有幾個數(shù)。也就是1和1之間、2和2之間以及3和3之間數(shù)字個數(shù)的一種共性，正是這樣的共性溝通了不同對象之間的聯(lián)系，使得不同對象共同構(gòu)成有機的整體。這種不同對象之間的聯(lián)系就是通常所說的規(guī)律，因此可以說，“312132”是一個按照一定規(guī)律排列的六位數(shù)。

這樣“異中求同”的想法可以應(yīng)用于對許多事物的認識，比如幾何中對圓形的認識，如果在圓周上隨便選取兩個不同位置的點，其共同的屬性是，到圓心的距離都一樣。正是這樣的“異中之同”溝通了圓周上不同位置點之間的聯(lián)系，進而決定了圓形的形狀，使得圓形成為了一個有規(guī)律的圖形。

學生在學習數(shù)學的過程中，經(jīng)常經(jīng)歷這樣“異中求同”以及“動中求靜”的觀察與思考，對于逐步養(yǎng)成與“觀察”以及“理解”行動相關(guān)的素養(yǎng)，無疑會有所裨益。

二、從特殊到一般

在發(fā)現(xiàn)了有規(guī)律排列的六位數(shù)“312132”后，接下來要思考的問題是，符合規(guī)律的排列方法是不是唯一的？如果不是唯一的，如何找到所有符合這樣規(guī)律的答案？回答這樣的問題具有一定的復(fù)雜性，數(shù)學家通常的思路是采用“特殊化（Specialization）”的方法，也就是選擇一個相對容易的地方入手，這種相對容易的地方往往處于“極端情況”。

上面問題中兩個“1”之間只能擺放一個數(shù)字，因此就是一個相對容易的極端情況。這個數(shù)字只有2和3兩種可能性，可以逐一進行試驗。如果兩個1之間是2，就可以排出三個數(shù)字：121，這時左右兩邊只能是兩個3，即排出了五個數(shù)字：31213，還剩下一個2，放在左右兩邊都可以滿足要求：231213、312132，因此就得到了本題的兩個答案。另外一種可能性是兩個1之間是3，排出三個數(shù)字為：131，這時在右邊只能排2，即1312，這樣另一個2就無處可放了，說明兩個1之間不能是3。所以本題的答案只能是：231213和312132。

解決這一問題還有一個思路，是從最大的極端情況入手，即從兩個3之間進行思考。（見圖2）

圖2 六位數(shù)排列第一步示意圖

雖然兩個3之間需要擺放三個數(shù)字，較為復(fù)雜，但兩個3所處的位置的可能性較少，只有圖2中（a）和（b）兩種可能，因此也相對容易入手。如果兩個3按圖2（a）方式擺放，那么左數(shù)第二個位置不能是2（否則另一個2與右數(shù)第二個位置的3重疊），因此只能放1。因此得到如圖3的排列。

圖3 六位數(shù)排列第二步示意圖

剩下兩個空位恰好放置兩個2，因此得到答案為：312132。對于圖2（b）的情況也可以用完全相同的方法得到答案為：231213。

312132和231213這兩個答案從形式上看是不一樣的，但在數(shù)學家眼里兩者沒有區(qū)別，因為無論哪一個，如果從右向左看與另外一個答案就完全相同，因此兩者僅是觀看順序的不同，而沒有本質(zhì)的差別。所以問題的答案可以認為是唯一的。

像上面這樣面對復(fù)雜問題所采用的“特殊化”的方法，實際上就是辯證唯物主義方法論中“化繁為簡、化難為易”的具體體現(xiàn)。自然應(yīng)當是學生學習數(shù)學過程中應(yīng)當習得的數(shù)學素養(yǎng)。

至此，對于有規(guī)律地排列六位數(shù)的蘭福德問題可以說已經(jīng)得到解決。但對于問題的思考并沒有停止，自然而然地應(yīng)當進一步去想有沒有類似的問題，或者具有更廣泛意義的問題。這種思維方式通常叫作“一般化（Generalization）”，一個相對具體的問題解決后，總要設(shè)法將其推廣到更大的范圍，使其具有更廣泛的意義。

如果把本題的六個數(shù)改為八個數(shù)：1，1，2，2，3，3，4，4，將這八個數(shù)排一排，使得兩個幾之間就有幾個數(shù)。用前面的方法不難得到答案為：23421314和41312432。如果不考慮觀看順序的差別，那么這兩個答案同樣也可以看作是一樣的，也就是對于有規(guī)律地排列八位數(shù)的蘭福德問題，答案也是唯一的。

從舊的問題去發(fā)現(xiàn)并提出新的問題，如此反復(fù)進而形成“問題鏈”，應(yīng)當說是數(shù)學發(fā)展歷史中常見的現(xiàn)象。當然也應(yīng)當成為學生在學習數(shù)學過程中應(yīng)當經(jīng)歷的重要活動。進而逐步形成“問題生問題”的意識，應(yīng)當說也是數(shù)學素養(yǎng)的一個方面。

三、直覺的力量

在前面問題解決的基礎(chǔ)上，進一步需要思考的問題是：如果最大數(shù)改為兩個5的十個數(shù)字：1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，怎樣排出滿足要求的十位數(shù)？這樣的敘述，是延續(xù)了前面的思維方式，是在排法“存在”的前提下提出來的。但是經(jīng)過反復(fù)試驗，怎么也排不出來。面對這種“排不出來”的困境，應(yīng)當想到會有兩種可能性。

●第一是排法存在，還沒找到；

●第二是排法根本不存在。

究竟哪一種可能性比較大，目前并沒有足夠的理由作出準確的判斷，如果相信“排法存在”，下一步的工作將是繼續(xù)努力尋找；如果相信“排法不存在”，那么下一步努力的方向就不再是尋找排法，而是設(shè)法說明“不存在”的理由，也就是證明不存在。

人在遇到困難或者身處困境的時候，既不應(yīng)當氣餒而退縮，也不應(yīng)當盲目而蠻干。智慧的表現(xiàn)應(yīng)當是能夠全面地列舉有可能擺脫困境的各種可能性，并對各種可能性的大小作出判斷。像這樣對可能性的思考，以及在沒有足夠證據(jù)的情況下所作出判斷的思維過程，就是數(shù)學家經(jīng)常使用的“直覺（Intuition）”思維，由此獲得的判斷叫作“猜想（Con?jecture）”。

如果猜想排法不存在。接下來就要去說明“排法”不存在的道理。可以采用“填格”的辦法，將五個方格和五個圓圈相間地排一排。（見圖4）

圖4 十位數(shù)圖形排列示意圖

對兩個相同的偶數(shù)，比如“2，2”來說，因為兩者之間間隔偶數(shù)個數(shù)字，因此無論怎樣排，必然是一個放在□中，另一個放在○中，一共有兩對偶數(shù)“2，2”和“4，4”，所以這四個數(shù)字就占據(jù)了兩個□和兩個○，還剩下三個□和三個○。

對于兩個相同奇數(shù)來說，無論怎樣排，必然放在同樣的圖形內(nèi)，要么都是□，要么都是○。而現(xiàn)在還剩下三對奇數(shù)：“1，1”“3，3”“5，5”，如果兩個1占據(jù)兩個□，兩個3占據(jù)兩個○，剩下一個□和一個○，兩個5就無法放置在相同圖形內(nèi)了。

因此可以得出結(jié)論，對最大數(shù)為兩個5的十個數(shù)來說，這樣的排法是不存在的。用同樣的方法也可以說明對于最大數(shù)為兩個6的12位數(shù)，滿足要求的排法也是不存在的。證明了“不存在”，在數(shù)學研究中也被認為是解決了問題。現(xiàn)在可以說針對蘭福德問題，已經(jīng)解決了最大數(shù)分別為3、4、5、6的情況。

排法有時存在，有時不存在，數(shù)學家通常就會敘述出涵蓋特殊情況的一般問題。對于2n個數(shù)：

1，1，2，2，3，3，……，n，n

前面問題的結(jié)果說明，當n=3和n=4時，滿足要求的排法存在，而且在不考慮觀看順序的情況下，排法是唯一的。當n=5和n=6時，滿足要求的排法不存在。進一步需要研究的問題是：當n滿足什么條件時，這樣的排法存在？對于排法存在的情況，一共有多少種不同的排法？

用與前面類似的方法可以得到結(jié)論為：如果n是4的倍數(shù)或者是被4除余數(shù)為3的整數(shù)，那么排法存在。如果n是被4除余數(shù)為1或2的整數(shù)，那么排法不存在。

比如，如果n=5，被4除的余數(shù)為1，排法不存在。如果n=6，被4除的余數(shù)為2，排法也不存在。如果n=7，被4除的余數(shù)為3，排法存在，比如73161345726425就是其中的一種排法。同樣n=8是4的倍數(shù)，排法存在，一種排法為：627425864375 1318。

四、真實的問題帶來真實的學習

蘭福德問題自1958年出現(xiàn)后，吸引了許多人的關(guān)注。已故美國著名的數(shù)學游戲?qū)＜荫R丁·加德納（Martin Gardner，1914年10月21日—2010年5月 22日）分別在1967年11月、12月以及1968年3月的《科學美國人（Scientific American）》期刊上，三次討論過這個問題。這一問題目前已經(jīng)成為一些“組合數(shù)學”和“數(shù)論”教科書中的經(jīng)典例題。由中國數(shù)學會普及工作委員會1986年舉辦的“第一屆全國數(shù)學冬令營數(shù)學競賽”中，也采用了這一問題對于“n=1986”的情況作為試題之一。

迄今為止，蘭福德問題并沒有得以徹底解決，目前對于排法存在的情況，如何找到全部排法仍然是個難題。一些數(shù)學家為了追求完美的結(jié)論，仍然在探索著。比如對于n=7的情況，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)有26種不同的排法。（見圖5）

圖5 n=7蘭福德問題排法

蘭福德問題是數(shù)學界真實出現(xiàn)的問題，將這種真實的問題引入數(shù)學課程，自然會給學生帶來真實的學習活動。選用蘭福德問題作為數(shù)學課程內(nèi)容主要基于三點理由。

第一是對國家課程中所規(guī)定的相關(guān)內(nèi)容進行補充和完善。在國家課程“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中有“探索規(guī)律”的內(nèi)容，而教科書中所出現(xiàn)的相關(guān)內(nèi)容多為觀察方向單一或者循環(huán)排列的數(shù)列。而蘭福德問題中的規(guī)律更傾向于“圖案（Pattern）”的特征，觀察的著眼點在于相同數(shù)字之間數(shù)字的個數(shù)與這兩個相同數(shù)字之間的相等關(guān)系，與諸如“112233”這種從左到右有規(guī)律的排列，或者“123123”這種從左至右同時具有循環(huán)規(guī)律的排列，都是不一樣的。因此讓學生經(jīng)歷這樣內(nèi)容的學習，有益于拓展學生對于探索規(guī)律這一課程內(nèi)容的視野。

第二個理由是蘭福德問題的思考與解決過程中，蘊含著豐富并且真實的與數(shù)學研究相關(guān)的活動。比如在觀察過程中感受規(guī)律并描述規(guī)律的活動，面對復(fù)雜問題經(jīng)歷特殊化的思考活動，解決問題之后運用從特殊到一般的思維方式經(jīng)歷問題生問題的活動，遇到問題難以解決的困難時，經(jīng)歷運用直覺的思維方式進行猜想的活動，以及對于數(shù)學問題追求其完美解決的活動。學生經(jīng)歷如此豐富的活動，自然有益于數(shù)學素養(yǎng)的養(yǎng)成。

第三個理由是蘭福德問題認知起點較低，富于趣味性和操作性。馬丁·加德納曾經(jīng)在《科學美國人》期刊中提及，可以用撲克牌直觀操作探索蘭福德問題。比如對于“312132”的排列，可以用撲克牌表示為圖6的形式（圖中“A”代表數(shù)字“1”）。

圖6 撲克牌排列示意圖

在實際教學中，為了讓學生感受到此類問題的實際意義，還可以針對現(xiàn)實生活中，人們在使用諸如支付寶、微信錢包、網(wǎng)上銀行等活動中，需要編制既私密又易記的密碼的需求，讓學生感受到這一內(nèi)容的實際應(yīng)用，進而產(chǎn)生探索的動機。

整個問題的探索過程可以分為問題提出、問題解決、問題推廣以及總結(jié)反思幾個階段，教師可以針對學生的年齡特點進行更有針對性的教學設(shè)計。

[1]郜舒竹.用歸納的方法理解“素養(yǎng)”[J].教學月刊·小學版（數(shù)學），2017，1/2.

[2]César Sáenz.The Role of Contextual，Conceptual and Procedural Knowledge in Activating Mathematical Competencies（PISA）[J]Educational Studies in Mathematics，Vol.71，No.2（Jun.，2009），pp.123～143.

[3]Langford，C.D.Problem[J].Mathematical Gazette，Vol.42，No.228（Oct.，1958），p.228.

[4]Gardner，M.Mathematical Magic Show：More Puzzles，Games，Diversions，Illusions and Other Mathematical Sleight-of-Mind from Scientific American[M].New York：Vintage，pp.70 and 77～78，1978.

[5]P.R.Lloyd.Letter to editor[J].The Mathematical Gazette，Vol.55，No.391（Feb.，1971），p. 73.

（首都師范大學初等教育學院 100048北京市朝陽區(qū)南磨房中心小學 100124）

2016年北京市科技計劃面上項目“數(shù)學的教育形態(tài)研究”（KM201610028020）。