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        插空法巧解題

        2021-10-27 15:56:53黃旭軍

        黃旭軍

        上課鈴響起,小張同學(xué)正想把兩本課外書(shū)放到最上層書(shū)架上時(shí),阿木老師走進(jìn)了教室,大叫一聲:“停!”然后拿起手機(jī),把書(shū)架拍了下來(lái)。

        各位同學(xué)看得莫名其妙。老師把拍好的照片投影出來(lái),說(shuō):“剛才小張同學(xué)要把兩本不同的課外書(shū)放在最上層的4本書(shū)中,共有幾種放法?”同學(xué)們恍然大悟,原來(lái)阿木老師又想到新題了。這個(gè)題目看似簡(jiǎn)單,卻有種“有力無(wú)處使”的感覺(jué)。有些同學(xué)用枚舉法一個(gè)個(gè)列出來(lái),也不敢保證是否有重復(fù)和遺漏。

        阿木老師說(shuō):“其實(shí)很簡(jiǎn)單,我們只要把4本書(shū)看成5個(gè)空隙,放第一本書(shū)時(shí),這5個(gè)空隙就是5個(gè)不同的位置!”

        “哦,然后放第二本時(shí),就有了6個(gè)空隙,就有6種了,那么一共就是5×6=30(種)!”數(shù)學(xué)課代表接著回答。

        “真棒!”阿木老師點(diǎn)點(diǎn)頭,“這種通過(guò)找空隙插入的方法稱為插空法,其優(yōu)點(diǎn)大家都看到了,是不是很方便?。俊卑⒛纠蠋熞徽f(shuō)完,同學(xué)們紛紛懇求他傳授數(shù)學(xué)“絕招”。

        例1

        把1、2、3、4、5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且數(shù)字1、2不相鄰的5位數(shù),則所有不同排法有多少種?

        觀察開(kāi)始

        把1、2、3、4、5排成1、2不相鄰且數(shù)字不重復(fù)的5位數(shù)是排列組合問(wèn)題。其中,問(wèn)題的關(guān)鍵在于1和2是不相鄰的。

        常規(guī)思路

        我們先來(lái)思考1和2相鄰的情況。當(dāng)1和2相鄰時(shí),有2種排列情況:12和21。

        接下來(lái),我們把12和21當(dāng)做一個(gè)整體,分別與3、4、5進(jìn)行排列,共有2×4!=48(種)排法。

        如果不考慮相鄰的情況,共有5!=120(種)排法。

        因此1、2不相鄰的排法有120-48=72(種)。

        另辟蹊徑

        下面我們來(lái)試試插空法:

        先將3、4、5三個(gè)元素排定,共有3!=6(種)排法,然后再將1、2分別插入3、4、5的4個(gè)空位中,共有4×3=12(種)排法。

        根據(jù)乘法原理,所有排法共有6×12=72(種)。

        答:一共有72種排法。

        例2

        6個(gè)白球排成一隊(duì),再加3個(gè)黑球,請(qǐng)問(wèn)一共有多少種排法?

        觀察開(kāi)始

        又是一道排列組合類(lèi)的題目。這道題目很簡(jiǎn)單,但是我們解答起來(lái)比較麻煩。

        常規(guī)思路

        我們先用枚舉法列出所有可能。“O”表示白球,“●”表示黑球。

        第一類(lèi):3個(gè)黑球排在一起,共有以下7種排法。

        第二類(lèi),2個(gè)黑球排一起;第三類(lèi),1個(gè)黑球單獨(dú)排……

        經(jīng)過(guò)復(fù)雜的排列,共有504種排法。

        另辟蹊徑

        我們用插空法求解,這樣更簡(jiǎn)便。

        6個(gè)白球算上兩端共有7個(gè)空:

        我們先放第一個(gè)黑球,有7種放法。放好后,共有7個(gè)球了,再放第二個(gè)黑球時(shí)就有8個(gè)空。排最后一個(gè)黑球時(shí)就有9個(gè)空了。所以共有7×8×9=504(種)。

        答:共有504種排法。

        訓(xùn)練一二一

        在一張節(jié)目單中原有6個(gè)節(jié)目,若保持這些節(jié)目的相對(duì)順序不變,再添加進(jìn)去3個(gè)節(jié)目,則不同的添加方法共有多少種?

        (答案見(jiàn)下期)

        上期答案:1. 11厘米。2. 一組是14(2個(gè)7),33(1個(gè)11和1個(gè)3),75(2個(gè)5和1個(gè)3),169(2個(gè)13);另一組是30,35,39,143。

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