深圳市第七高級(jí)中學(xué)(518000) 關(guān)嘉欣

HPM視角下均值不等式的教學(xué)設(shè)計(jì)

深圳市第七高級(jí)中學(xué)(518000) 關(guān)嘉欣

本文根據(jù)發(fā)生教學(xué)法的理論基礎(chǔ)：在學(xué)生產(chǎn)生足夠的求知?jiǎng)訖C(jī)后,在心理發(fā)展的合適階段來傳授某個(gè)知識(shí)點(diǎn);讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到所引入的新知識(shí)是解決問題的需要;強(qiáng)調(diào)它們?yōu)槭裁礊樘囟ǖ臄?shù)學(xué)問題提供了解決方案,基本特征是“知識(shí)產(chǎn)生的必要性”—讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到所引入的知識(shí)是解決問題的需要[1],結(jié)合均值不等式的考綱要求,給出了HPM視角下均值不等式的教學(xué)設(shè)計(jì).

1.教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 情境創(chuàng)設(shè)

地圖上有兩個(gè)未曾開發(fā)的島嶼：一個(gè)是綠島,一個(gè)是藍(lán)島.你有權(quán)利選擇其中一個(gè)島作為島主,你會(huì)選擇哪個(gè)島呢?我們都肯定想要面積比較大的島嶼,但是由于圖形不規(guī)則,我們無(wú)法直接測(cè)量計(jì)算其面積,那么我們?cè)趺粗滥膫€(gè)島面積比較大呢?[2]

圖1 航線示意圖

歷史上有一名航海家為了比較新發(fā)現(xiàn)的島的面積大小,他想到了這樣的一個(gè)方法：我們坐船繞著島的海岸線航行一周,記錄航行時(shí)間.所花費(fèi)的時(shí)間越長(zhǎng),證明海岸線越長(zhǎng),也就說明了該島的面積就越大了.同學(xué)們,你們覺得該方法可行嗎?

教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)方法實(shí)際上是通過周長(zhǎng)大小來判斷面積大小.為了讓這個(gè)問題更有利于我們解答,不妨假設(shè)這兩個(gè)島的形狀是我們最熟悉的矩形.那么如果這兩個(gè)島都是矩形,他提出的方法可行嗎?

根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)：“周長(zhǎng)一定的矩形,面積最大的是正方形”,引導(dǎo)學(xué)生把問題數(shù)學(xué)化：不妨假設(shè)矩形的長(zhǎng)為a,寬為b,半周長(zhǎng)為p,則面積為S=a(p-a),我們可以看到這是一個(gè)二次函數(shù),當(dāng)有最大值,由此得到：時(shí)等號(hào)成立.而將是我們今天要學(xué)的一個(gè)重要的不等式.

1.2 概念形成

在概念形成方面,筆者利用了學(xué)生熟悉的趙爽弦圖加深對(duì)均值不等式的理解.

大約在公元3世紀(jì),中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽“負(fù)薪余日,聊觀《周髀》”,沉迷在數(shù)學(xué)王國(guó)中.他在給《周髀算經(jīng)》的“勾股圓方圖”作注時(shí),給出圖2所示的“大方圓”.[3]

圖2 勾股圓方圖

設(shè)直角三角形的勾、股、弦分別為a,b,c,則以c為邊的正方形由四個(gè)全等的綠色直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為b-a的白色小正方形構(gòu)成.

問題1你能根據(jù)這個(gè)圖形得到什么等量關(guān)系嗎?

(預(yù)設(shè)：a2+b2=2ab+(b-a)2.)

問題2 你能從上述等式中得到什么恒定的不等關(guān)系嗎?

(預(yù)設(shè)：a2+b2≥2ab,a2+b2≥(b-a)2.)

問題3 剛才得到的不等關(guān)系中,哪個(gè)能幫助你解決剛才導(dǎo)入的問題,得到

(預(yù)設(shè)：a2+b2≥2ab.)

問題4 聯(lián)系導(dǎo)入中的結(jié)果：當(dāng)a=時(shí)a(p-a)≤取到等號(hào).結(jié)合圖形,請(qǐng)問a2+b2≥2ab什么時(shí)候等號(hào)成立?

(預(yù)設(shè)：a=b時(shí)等號(hào)成立,白色面積為0.)

教師歸納從上面的探究中,我們可以得到：一般地,對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,有a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.

1.3 證明推導(dǎo)

剛才我們是從幾何圖形的面積關(guān)系得到均值不等式,你們還能想到什么辦法能直接推導(dǎo)出這個(gè)不等式嗎?

給學(xué)生留5分鐘左右的時(shí)間自己給出證明.教師將學(xué)生給出的證明方法呈現(xiàn),視乎實(shí)際情況決定是否補(bǔ)充.

教師引導(dǎo)學(xué)生利用比例得到均值不等式的證明[4]：

方法一設(shè)a,b是兩條已知線段,a＜b,A為a,b的等差中項(xiàng),G為a,b的等比中項(xiàng),則因A-a=b-A,a＜A,故,此即,故得G＜A.

方法二設(shè)a,b是兩條已知線段,a＜b,A為a,b的等差中項(xiàng),G為a,b的等比中項(xiàng),因,故,由a＜G,得G-a＜b-G,故G＜A.

再觀察下列圖3,它是以O(shè)為圓心,AB為直徑的圓,設(shè)AC=a,BC= b,DC垂直于AB,你能從圖形中找到a, b的等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)嗎?

圖3

教師提問你能利用該圖形證明基本不等式嗎?(預(yù)設(shè)：OD≥DC,當(dāng)OC重合,即當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.)

1.4 例題講解

例1回顧導(dǎo)入的問題,你能利用均值不等式求解?

解由已知,面積S=x(p-x),由于矩形長(zhǎng)寬都是大于0的,即x＞0,x-p＞0,滿足均值不等式的條件,所以,當(dāng)且僅當(dāng)x=p-x時(shí)等號(hào)成立,即時(shí)取得最大值,也就是說,長(zhǎng)寬相等時(shí)面積最大.

例2我們剛才是限定半周長(zhǎng)p一定,得到x=時(shí)取得最大值.那么如果我們限定S一定時(shí),又會(huì)得到什么結(jié)論呢?

教師小結(jié)和一定積有最大值;積一定和有最小值.

思考題1471年雷吉奧蒙塔努斯(Regiomontanus,1436-1476)在他給愛爾福特大學(xué)一名教授羅德的信中提出了下面的問題：“一根垂直懸掛的桿子,從地面上哪點(diǎn)看上去它最長(zhǎng)(也就是視角最大)?”這被宣稱是自古以來數(shù)學(xué)史上第一個(gè)極值問題[6].

圖4

在圖中桿子用線段AB表示.令OA=a,OB= b,OP=x,其中P是地面上使得角θ=∠BPA最大的點(diǎn).令α=∠OPA,β=∠OPB,請(qǐng)同學(xué)們研究θ與x的關(guān)系,并由此求出當(dāng)x取何值時(shí)θ最大?

2.結(jié)論

用數(shù)字來總結(jié)HPM視角下均值不等式的教學(xué)設(shè)計(jì)的特點(diǎn)是：

一個(gè)視角.本節(jié)課一改“直接平方展開得到均值不等式”的常用引入方式,而是用歷史上“用航行時(shí)間來估計(jì)面積大小”這個(gè)誤區(qū)作為引入,重現(xiàn)等周問題驅(qū)動(dòng)均值不等式產(chǎn)生的歷史,從歷史發(fā)生的視角來進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),試圖說明均值不等式的自然發(fā)生過程.

兩座橋梁.整節(jié)課建立了兩座橋梁：一是溝通歷史和現(xiàn)實(shí)之橋,重構(gòu)均值不等式的發(fā)生歷史,使之再現(xiàn)于課堂,走過這座橋,學(xué)生也就完整地經(jīng)歷了均值不等式的產(chǎn)生過程;二是溝通已知和未知之橋,等周問題對(duì)學(xué)生來說是已知的,而均值不等式對(duì)他們來說則是全然未知的,走過這座橋,學(xué)生也就理解了均值不等式對(duì)解決等周問題的重要意義.

三維目標(biāo).無(wú)疑,沒有HPM的介入,傳統(tǒng)模式下的均值不等式教學(xué)也能很好地達(dá)成知識(shí)和技能目標(biāo).但由于數(shù)學(xué)史的融入,本節(jié)課在“過程和方法”、“情感、態(tài)度和價(jià)值觀”這兩個(gè)目標(biāo)上顯得更有成效.學(xué)生通過這堂課的學(xué)習(xí),既了解到均值不等式的產(chǎn)生背景,也參與了代數(shù)問題幾何化的過程.同時(shí),還從利用趙爽弦圖模型來證明均值不等式的過程中感悟到趙爽的勤奮精神.

四種方式.本節(jié)課主要采用重構(gòu)歷史的方法.同時(shí),復(fù)制式或順應(yīng)式運(yùn)用了歷史上數(shù)學(xué)家利用幾何模型證明均值不等式的方法,附加式展示了趙爽廢寢忘食學(xué)習(xí)《周髀算經(jīng)》的歷史.

五項(xiàng)原則.本節(jié)課的設(shè)計(jì)遵循了趣味性、可學(xué)性、科學(xué)性、有效性和新穎性五項(xiàng)原則.

[1]Tzanakis,C.Arcavi,A.Integrating history of mathematics in the classroom：an analytic survey.In：J.Fauvel J,van Maanen(eds.),History in Mathematics Education;the ICMIStudy.Dordrecht：Kluwer Academ ic Publishers,2000,201-240.

[2]Heath,T.L.A History of Greek Mathematics.Oxford：Oxford University Press,1921.

[3]汪曉勤.均值不等式：從歷史到課堂[J].數(shù)學(xué)傳播,2014,38(4)：53-67.

[4]汪曉勤.關(guān)于均值不等式的歷史注記[J].中學(xué)教研,2005(10)：47-48.

[5]Maor,E.著,曹雪林,邊曉娜譯.三角之美.北京：人民郵電出版社, 2010.