劉 冰，劉雪梅(1. 達(dá)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川達(dá)州65001；2. 西南大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息科學(xué)學(xué)院，重慶北碚400715；. 四川省達(dá)州市統(tǒng)計(jì)局，四川達(dá)州65000)

基于Lorenz三維系統(tǒng)的偽隨機(jī)二值序列生成方法

劉 冰1,2，劉雪梅3
(1. 達(dá)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川達(dá)州635001；2. 西南大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息科學(xué)學(xué)院，重慶北碚400715；3. 四川省達(dá)州市統(tǒng)計(jì)局，四川達(dá)州635000)

針對(duì)目前大多數(shù)偽隨機(jī)二值序列的生成方法皆不能很好地滿足Golomb的三個(gè)隨機(jī)性假設(shè),提出了一種基于三維Lorenz混沌系統(tǒng)的偽隨機(jī)二值序列的生成方法.首先通過(guò)三維Lorenz混沌系統(tǒng)生成三個(gè)離散隨機(jī)序列，然后在這三個(gè)序列中分別取較小的序列數(shù)輪次地組成新的序列并轉(zhuǎn)換成二值序列.通過(guò)大量反復(fù)的檢驗(yàn)，生成的二值序列中任意較大長(zhǎng)度的序列皆能通過(guò)頻數(shù)檢驗(yàn)和序列檢驗(yàn)，其相關(guān)性和隨機(jī)性表現(xiàn)也都達(dá)到了較為滿意的效果.

Lorenz系統(tǒng)；混沌映射；二值序列；頻數(shù)檢驗(yàn)；序列檢驗(yàn)

0 引言

信息技術(shù)的發(fā)展及互聯(lián)網(wǎng)的普及一方面給人們帶來(lái)了巨大的便利，另一方面，也因?yàn)樾畔⒃诖鎯?chǔ)、傳輸?shù)确矫娲嬖诘牟话踩珕?wèn)題帶來(lái)諸多困擾.如何保證信息在存儲(chǔ)、傳輸和獲取等諸多環(huán)節(jié)上能夠安全、完整和可用已成為當(dāng)前信息技術(shù)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一.在我國(guó)，信息安全正成為國(guó)家安全的一個(gè)重要方面，隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展及互聯(lián)網(wǎng)的普及應(yīng)用，如何更有效地保障信息的安全正越來(lái)越成為人們急需要解決的問(wèn)題.

目前，解決信息安全問(wèn)題的一個(gè)重要方面是對(duì)信息的存儲(chǔ)、傳輸及識(shí)別進(jìn)行加密處理.[1]隨著信息技術(shù)的發(fā)展與進(jìn)步，各種加密技術(shù)不斷涌現(xiàn).在眾多的加密方法中，偽隨機(jī)二值序列的加密方法由于其實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、執(zhí)行速度快、傳播錯(cuò)誤少、安全性高等特點(diǎn)，[2-4]它常被應(yīng)用于國(guó)防、軍事、外交等許多重要的領(lǐng)域.但由于目前大多數(shù)方法所生成的偽隨機(jī)二值序列皆不能很好地滿足Golomb的三個(gè)隨機(jī)性假設(shè)，[5-7]因此，如何生成性能良好的偽隨機(jī)序列，也就成為該類(lèi)加密方法中的一個(gè)重要的研究課題.

自從1989年英國(guó)數(shù)學(xué)家Matthews提出基于混沌的加密思想以來(lái)，[8]越來(lái)越多的學(xué)者通過(guò)引入混沌系統(tǒng)來(lái)生成二值序列取得了不錯(cuò)的效果.[9-12]本文將以Lorenz三維混沌系統(tǒng)為基礎(chǔ)，提出一種偽隨機(jī)二值序列的生成方法，并對(duì)其相關(guān)性能做深入分析.

1 相關(guān)概念

定義1 如果一個(gè)序列中可取的值只有0或1，且該序列能夠預(yù)先被確定、重復(fù)地生成和復(fù)制，同時(shí)，又具有某種隨機(jī)特性，則稱(chēng)此序列為偽隨機(jī)二值序列.

評(píng)價(jià)其隨機(jī)特性的主要指標(biāo)一般包括：平衡性、游程性和相關(guān)性等.其具體定義如下：

定義2 設(shè)s={s0,s1,…,sN-1}(N∈Z)是周期為N的二值序列(si=0,1),記為：Nk=|{i|si=k,k∈Z2,i∈[0,N-1]z}|.

(1)

若在序列s的一個(gè)周期內(nèi)滿足:|N0-N1|1.則稱(chēng)二值序列s具有平衡性.其中，周期N是指序列s的最小正周期.

定義3 設(shè)s={s0,s1,…,sN-1}(N∈Z)是周期為N的二元序列(si=0,1)，將它的一個(gè)周期段s0,s1,…,sN-1依次排成一個(gè)圓周，并使首尾相鄰，即s0與sN-1相鄰.則稱(chēng)圓周上蟬聯(lián)在一起的1(或0)為1(或0)的游程.一個(gè)游程中蟬聯(lián)在一起的1(或0)的個(gè)數(shù)叫做游程的長(zhǎng)度.

如果序列在一個(gè)周期內(nèi)滿足：(1)長(zhǎng)度為1的游程占游程總數(shù)的1/2；(2)長(zhǎng)度為l(l≥2)的游程占游程總數(shù)的1/2l；(3)在同樣長(zhǎng)度的所有游程中，1的游程和0的游程大約各占一半.則稱(chēng)該序列具有偽隨機(jī)序列的游程特性.

則稱(chēng)序列s具有理想自相關(guān).

2 偽隨機(jī)二值序列生成方法

2.1 三維Lorenz混沌系統(tǒng)

Lorenz系統(tǒng)是經(jīng)典的三維混沌系統(tǒng)，與較低維的混沌系統(tǒng)相比，其結(jié)構(gòu)更復(fù)雜、密鑰空間更大.其動(dòng)力學(xué)方程如公式(3)所示：

式(1)中，a,b,c為系統(tǒng)參數(shù)，典型的值為a=-8/3，b=-10，c=28，在保持a,b不變，c>24.74時(shí)Lorenz系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài).

2.2 偽隨機(jī)二值序列的生成

本文運(yùn)用四階R-K方法對(duì)公式(3)進(jìn)行求解.在本文中，設(shè)步長(zhǎng)：δ=0.0005，初值：x=0.8436001，y=1.324562，z=0.683571.得到的三個(gè)離散混沌序列分別記為：x0,x1,x2,…,xn；y1,y1,y2,…,yn；z0,z1,z2,…,zn.其中n為序列長(zhǎng)度.

設(shè)序列X的最小值、最大值分別為min(X) 、max(X)，取p0∈(min(X) , max(X)),令ε為一較小正數(shù).構(gòu)成如下集合U0：

(4)

h3η≥2ε/δ, 其中δ

構(gòu)成如下集合U1：

(6)

(7)

(8)

其中N為W序列的長(zhǎng)度，表示取整數(shù)運(yùn)算.

3 性能分析方法與檢驗(yàn)結(jié)果

3.1 二值序列性能分析方法

為了驗(yàn)證第2節(jié)提出的方法的可行性，下面將分別對(duì)其生成的序列進(jìn)行頻數(shù)檢驗(yàn)、序列檢驗(yàn)和相關(guān)特性測(cè)試.

(1)頻數(shù)檢驗(yàn): 通過(guò)計(jì)算隨機(jī)二值序列中0和1的出現(xiàn)頻數(shù)來(lái)反應(yīng)該序列的置亂狀況，若大致相等，則說(shuō)明該序列達(dá)到置亂效果.令n表示二值序列0和1的總個(gè)數(shù)，n0為二值序列中0的總個(gè)數(shù)，n1為二值序列中1 的總個(gè)數(shù).則下式近似服從自由度為1的卡方分布：

若式(9)得到的值小于其5%顯著水平對(duì)應(yīng)的值3.84時(shí)，則說(shuō)明該序列通過(guò)頻數(shù)檢驗(yàn).

(2)序列檢驗(yàn): 通過(guò)計(jì)算隨機(jī)二值序列中的任意位序的0(或1)之后出現(xiàn)0(或1)的概率，來(lái)反應(yīng)該序列的置亂狀況，若大致相等，則說(shuō)明達(dá)到了置亂效果.令n00表示二值序列中00的總個(gè)數(shù)，n01表示二值序列中01的總個(gè)數(shù)，n10表示二值序列中10的總個(gè)數(shù)，n11表示二值序列中11的總個(gè)數(shù).則下式近似服從自由度為2的卡方分布：

若式(10)得到的值小于其5%顯著水平對(duì)應(yīng)的值5.991時(shí)，則說(shuō)明該序列通過(guò)檢驗(yàn).

(3)相關(guān)特性: 設(shè)A,B為兩個(gè)混沌二值序列，k為整數(shù).如果下式(11)中的函數(shù)r(k)滿足：r(0)→0.5和r(k)→0(k≠0)，函數(shù)p(k)滿足：p(k)→0，則序列通過(guò)檢驗(yàn).

(11)

其中：r(k)描述是序列的自相關(guān)性，p(k)描述的是序列的互相關(guān)性.

3.2 隨機(jī)性檢驗(yàn)結(jié)果

本節(jié)運(yùn)用3.1節(jié)提出的方法對(duì)第2節(jié)所產(chǎn)生的混沌二值序列進(jìn)行多次重復(fù)試驗(yàn)，得到較為理想的的結(jié)果.在試驗(yàn)中，仍然選用第2節(jié)的初值x=0.8436001，y=1.324562，z=0.683571來(lái)生成一個(gè)混沌隨機(jī)二值序列，從該序列中的任意位置處開(kāi)始截取一個(gè)較長(zhǎng)長(zhǎng)度的序列(比如10000以上)來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)，其頻數(shù)和序列檢驗(yàn)的結(jié)果均100%的通過(guò).表1顯示為一個(gè)隨機(jī)抽取的二值序列，從中截取104～105項(xiàng)不等的試驗(yàn)結(jié)果.

表1 二值序列隨機(jī)性能分析結(jié)果

隨機(jī)抽取的兩個(gè)混沌二值序列自相關(guān)函數(shù)圖和互相關(guān)函數(shù)數(shù)分別如圖2的(a)、(b)所示，(a)圖顯示，r(k)→0(k≠0)，r(0)→0.5，(b)圖顯示p(k)→0，由此說(shuō)明運(yùn)用本文提出的算法所產(chǎn)生的序列達(dá)到了理想的混沌效果.

(a) 自相關(guān)函數(shù)

(b)互相關(guān)函數(shù)

同時(shí)，運(yùn)用本文提出的方法在產(chǎn)生序列時(shí)，表現(xiàn)出了極高的敏感性.當(dāng)對(duì)初始值給予微小的改變，都會(huì)引起該序列的后續(xù)值發(fā)生顯著的變化.在本文的測(cè)試中，我們?nèi)=0.8436001+10-10，其余值不變來(lái)進(jìn)行測(cè)試，顯然該值僅較原來(lái)的初值增加了10-10，從下表(2)中不難發(fā)現(xiàn)所產(chǎn)生的序列中仍有近50%的位發(fā)生變化，可見(jiàn)其序列的產(chǎn)生對(duì)于初值的變化具有極高的敏感性.

表2 初值敏感性實(shí)驗(yàn)

4 結(jié)論

本文針對(duì)目前大多數(shù)偽隨機(jī)二值序列生成方法不能很好地滿足Golomb隨機(jī)性假設(shè)，提出了一種基于Lorenz三維混沌映射的偽隨機(jī)二值序列的生成方法.首先通過(guò)混沌系統(tǒng)生成三個(gè)用于原始的離散隨機(jī)序列和一個(gè)用于改變步長(zhǎng)的離散隨機(jī)序列，然后在這三個(gè)原始序列中分別取滿足一定條件的較小的序列數(shù)輪次地組成新的序列并將其轉(zhuǎn)換成二值序列.通過(guò)大量反復(fù)的檢驗(yàn)，生成的二值序列中任意較大長(zhǎng)度的序列皆能通過(guò)頻數(shù)檢驗(yàn)和序列檢驗(yàn)，其相關(guān)性和隨機(jī)性表現(xiàn)也都達(dá)到了較為理想的效果.由于偽隨機(jī)二值序列的加密方法應(yīng)用領(lǐng)域較廣，因此，本文提出的方法應(yīng)具有一定的市場(chǎng)價(jià)值.

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[責(zé)任編輯 范 藻]

PseudorandomBinary Sequence Generation Method Based on Lorenz 3D system

LIU Bing1,2, LIU Xuemei3

(1. Dazhou Vocational and Technical College, Sichuan Dazhou 635001;2. Computer and Information Science College of Southwest University, Chongqing 400715; 3. Statistics Bureau of Dazhou City,Dazhou Sichuan 635000, China)

In this paper, a method of generating pseudorandom binary sequences based on 3D Lorenz chaotic system is proposed, which can not satisfy the three stochastic assumptions of Golomb. First, three discrete random sequences are generated by the chaotic system, and then the new sequences are transformed into binary sequences by taking smaller sequence numbers in the three sequences. Through a large number of repeated tests to generate binary sequences of any larger length of the sequence can pass the frequency test and sequence test, the correlation and random performance also reached a satisfactory effect.

Lorenz system; chaotic mapping; binary sequence; frequency test; sequence test

2016-12-28

四川省教育廳重點(diǎn)科技計(jì)劃項(xiàng)目(14ZA0330)；四川省達(dá)州市2014年科技計(jì)劃項(xiàng)目(2014-8220)

劉 冰(1970—)，男，四川達(dá)州人.副教授，主要從事信息安全與圖像處理研究.

TP309

A

1674-5248(2017)02-0033-04