陳明華

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）33-0156-03

一、問(wèn)題提出

隨著課程改革的深入開(kāi)展，中小學(xué)教師的教學(xué)方式有了很大改進(jìn)，但在充分肯定成績(jī)的同時(shí)也應(yīng)該看到，部分教師“滿堂灌”、“獨(dú)角戲”等現(xiàn)象。大力推進(jìn)課堂教學(xué)改革，改變學(xué)與教的方式，改變教學(xué)方式，提高課堂效率，仍然是教學(xué)改革面臨的十分迫切的任務(wù)。本文以《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》教學(xué)為例，研究“類比-歸納”教學(xué)方式，體現(xiàn)教學(xué)方式中的“特殊”與“一般”關(guān)系，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的思考過(guò)程與參與體驗(yàn)，探索總結(jié)提升數(shù)學(xué)思維。

二、理論基礎(chǔ)

從奧蘇泊爾的學(xué)習(xí)理論可以看出學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)新知識(shí)的過(guò)程實(shí)際上是新舊材料之間相互作用的過(guò)程，學(xué)習(xí)者必須積極尋找存在于自身原有知識(shí)結(jié)構(gòu)中的能夠同化新知識(shí)的?？奎c(diǎn)，并嘗試把新知識(shí)納入到已有的圖式中去，從而引起圖式量的變化的活動(dòng)。如果要讓這個(gè)變化過(guò)程更加流暢自然、更加高效，就必須處理好新舊知識(shí)的聯(lián)系、呈現(xiàn)方式。教師必須在教授有關(guān)新知識(shí)以前了解學(xué)生已經(jīng)知道了什么，并據(jù)此開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)。

數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程，通常都是在通過(guò)類比、歸納等探測(cè)性方法進(jìn)行探測(cè)的基礎(chǔ)上，獲得對(duì)有關(guān)問(wèn)題的結(jié)論或解決方法的猜想，然后再設(shè)法證明或否定猜想，進(jìn)而達(dá)到解決問(wèn)題的目的，類比、歸納的效果離不開(kāi)新舊知識(shí)形式。

三、特例和一般在教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)家們認(rèn)為，類比是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要源泉，波利亞在《怎樣解題》中指出“類比是一個(gè)偉大的引路人”.處理好類比歸納中的特殊與一般關(guān)系，往往會(huì)起到事半功倍的效果。

（一）立足特例，洞察本質(zhì)，拓展外延

數(shù)學(xué)中的許多概念、知識(shí)結(jié)構(gòu)有類似的地方，在新概念的提出、新知識(shí)的講授過(guò)程中，可以運(yùn)用特殊到一般的類比的方法，因?yàn)楸挥糜陬惐鹊奶厥鈱?duì)象是學(xué)生所熟悉的，所以學(xué)生容易從新舊內(nèi)容的對(duì)比中接受新知識(shí)，掌握新概念.在高中數(shù)學(xué)中，可通過(guò)類比法引入的概念十分多。

【案例一】：填空：（圖象、根、圖象與x軸交點(diǎn)由學(xué)生填空。）

問(wèn)題1：從該表你可以得出什么結(jié)論？

生：一元二次方程的實(shí)數(shù)根即為相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

問(wèn)題2：這個(gè)結(jié)論對(duì)一般的f（x）=ax2+bx+c（a≠0）和方程ax2+bx+c=0成立嗎？

生：也成立。

問(wèn)題3：其他的函數(shù)y=f（x）與方程f（x）=0之間也有類似的關(guān)系嗎？

生：方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根即為函數(shù)y=f（x）圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

概念：對(duì)于函數(shù)y=f（x），把使f（x）=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)。

通過(guò)對(duì)特殊的一元二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)與相應(yīng)方程的根的關(guān)系，去探索一元二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，最后推廣到一般函數(shù)也有相同關(guān)系。該過(guò)程的設(shè)計(jì)逐層提升，讓學(xué)生反復(fù)理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的關(guān)系，等到零點(diǎn)概念推出也順理成章。

（二）對(duì)比新舊，重視遷移，舉一反三

眾所周知，數(shù)學(xué)問(wèn)題不勝枚舉，解題的方法也是千差萬(wàn)別，類比思想存在于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，是幫助我們尋找解題思路的一種重要的思想方法。當(dāng)我們遇到一個(gè)“新”的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果有現(xiàn)成的解法，自不必說(shuō)；否則解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是尋找合適的解題策略，看能否想辦法將之轉(zhuǎn)化到曾經(jīng)做過(guò)的、熟悉的、類似的特殊問(wèn)題上去思考。通過(guò)聯(lián)系已有知識(shí)給我們的啟發(fā)，將已有知識(shí)遷移到新問(wèn)題中來(lái)，把解決已有問(wèn)題的特殊方法移植過(guò)來(lái)，為所要解決的問(wèn)題指引方向，幫助學(xué)生舉一反三，提高解題能力，也可以引導(dǎo)學(xué)生探索獲取新知識(shí)，提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

【案例二】：例2：求函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，確定零點(diǎn)區(qū)間[n，n+1]（n∈Z）.

解法1（借助計(jì)算工具）：用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出x、f（x）的對(duì)應(yīng)值表和圖象.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f（x） -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2

由表或圖象可知，f（2）<0，f（3）>0，則f（2）f（3）<0，說(shuō)明函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點(diǎn).

問(wèn)題6：如何說(shuō)明零點(diǎn)的唯一性？

又由于函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，所以它僅有一個(gè)零點(diǎn).

解法2（估算）：估計(jì)f（x）在各整數(shù)處的函數(shù)值的正負(fù)，可得如下表格：

1 2 3 4

f（x） - - + +

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，f（x）在區(qū)間（2，3）內(nèi)有唯一的零點(diǎn).

解法3（函數(shù)交點(diǎn)法）：將方程lnx+2x-6=0化為lnx=6-2x，分別畫出g（x）=lnx與h（x）=6-2x的草圖，從而確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.繼而比較g（2）、h（2）、g（3）、h（3）等的大小，確定交點(diǎn)所在的區(qū)間，即零點(diǎn)的區(qū)間.

由圖可知f（x）在區(qū)間（2，3）內(nèi)有唯一的零點(diǎn).

通過(guò)例題分析，能根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，使用多種方法確定零點(diǎn)所在的區(qū)間，并且結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

（三）運(yùn)用類比，構(gòu)建聯(lián)系，形成框架

通過(guò)類比教學(xué)，可以讓學(xué)生加強(qiáng)不同知識(shí)板塊之間的聯(lián)系，能使學(xué)生在已有知識(shí)基礎(chǔ)上由陌生到熟悉，由淺入深，由直觀到抽象地學(xué)習(xí)新知識(shí)，有利于更好地理解新知識(shí)的內(nèi)涵，符合教學(xué)的“循序漸進(jìn)”原則。

心理學(xué)家們認(rèn)為，孤立的知識(shí)容易遺忘，而系統(tǒng)化的知識(shí)有利于理解和掌握，也易于遷移和應(yīng)用.把舊知識(shí)與新知識(shí)結(jié)合起來(lái)形成系統(tǒng)的知識(shí)體系，通過(guò)這樣的類比，既鞏固了原有知識(shí)，又加強(qiáng)了對(duì)新知識(shí)的理解，形成了系統(tǒng)化的知識(shí)建構(gòu)，便于學(xué)生理解、記憶和應(yīng)用。

【案例三】：例2.已知函數(shù)，且函數(shù)恰有3個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（ ）

A.（-∞，8]B.（-∞，4]

C.[0，4]D.（-∞，0）

解：將方程化為，分別畫出與的草圖，通過(guò)平移直線 ，從而確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.再觀察直線縱截距得出a的取值范圍。

所以，，選D。

點(diǎn)評(píng)：該例題已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，確定函數(shù)中參數(shù)的取值范圍。將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，分別畫出與的草圖，通過(guò)平移直線，

零點(diǎn)的概念和應(yīng)用都轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合。通過(guò)本例讓學(xué)生清楚了解到函數(shù)零點(diǎn)在數(shù)學(xué)基本框架中的位置，在平時(shí)的題目中該如何轉(zhuǎn)化，利用什么樣的思想方法。

四、方法實(shí)施注意點(diǎn)

實(shí)際教學(xué)運(yùn)用中特殊到一般的類比歸納方法不應(yīng)該僅僅是形式上的推出，而應(yīng)該充分挖掘特殊問(wèn)題解決過(guò)程中的一般本質(zhì)內(nèi)涵，又要有效防止特殊到一般的負(fù)遷移影。

（一）特殊一般，要避免慣性思維

在探究零點(diǎn)存在定理的過(guò)程中，我們?cè)O(shè)置了這樣一個(gè)引例：

【案例四】：?jiǎn)栴}5：函數(shù)y=f（x）存在零點(diǎn)的條件是什么？.下圖是冰在常溫下融化時(shí)溫度變化圖，假設(shè)冰的溫度是連續(xù)變化的，請(qǐng)將圖形補(bǔ)充成完整的函數(shù)圖象（其中一種）。

請(qǐng)問(wèn)：這段時(shí)間內(nèi)，是否一定有某時(shí)刻冰的溫度為0度？

問(wèn)題6：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上有f（a）f（b）<0，那么函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上是否一定存在零點(diǎn)，請(qǐng)舉例說(shuō)明。

生：（部分同學(xué)畫出分段函數(shù)）。

生：“連續(xù)不斷”是必不可少的條件。

點(diǎn)評(píng)：在特殊例子的圖象分析過(guò)程中，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上零點(diǎn)存在的條件是f（a）f（b）<0。但也忽視了函數(shù)的多樣性，可能出現(xiàn)的圖形很多，簡(jiǎn)單的認(rèn)為是一個(gè)增函數(shù)。所以將特殊圖形和函數(shù)下的結(jié)論遷移到一般結(jié)論，形成了充分性與必要性層面的錯(cuò)誤。教學(xué)時(shí)教師應(yīng)該說(shuō)明研究的前提是圖象連續(xù)的函數(shù)，還要提出針對(duì)性的辯析問(wèn)題防止學(xué)生在研究特殊例子時(shí)帶來(lái)的負(fù)遷移，讓學(xué)生通過(guò)舉其它反例（如反比例函數(shù)、分段函數(shù)）等方式，認(rèn)識(shí)到特殊例子中函數(shù)圖像的特殊性。又如在學(xué)生根據(jù)特殊函數(shù)猜想出一般判斷零點(diǎn)有且只有一個(gè)必須滿足的三個(gè)條件后，教師可提出一定要滿足這三個(gè)條件才能得到函數(shù)零點(diǎn)有且只有一個(gè)嗎？通過(guò)合作討論等方式讓學(xué)生明確其邏輯關(guān)系。

（二）類比運(yùn)用，要滲透數(shù)學(xué)思想

在案例二中對(duì)于不能直接求解的超越方程，解法一直接通過(guò)列表描點(diǎn)的方法來(lái)畫圖，在其過(guò)程中先從表中取值利用零點(diǎn)存在定理得到有零點(diǎn)，從形式上看是畫圖從圖象找零點(diǎn)的方法，也有利用零點(diǎn)存在定理來(lái)解決，從本質(zhì)上說(shuō)它們是相同的，因?yàn)榱泓c(diǎn)存在定理本身就是由圖象得到的；然后再根據(jù)函數(shù)的增減性得到直觀的函數(shù)圖象整體，從而得到函數(shù)的零點(diǎn)有且只有一個(gè)。解法二是解法一的改進(jìn)版，解法一注重函數(shù)圖像的應(yīng)用，而解法二則更注重零點(diǎn)所在區(qū)間，在解題中更有操作性，對(duì)課本例題中涉及的方法很好的歸納、應(yīng)用。解法三是先將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與上面不同方程的根的問(wèn)題，再將超越方程的根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，在這兒需要引導(dǎo)學(xué)生理解其等價(jià)的關(guān)系（交點(diǎn)即為縱坐標(biāo)相等時(shí)的橫坐標(biāo)，也即為方程的根），還要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩種解法進(jìn)行比較，顯然通過(guò)方程的變形化歸為基本函數(shù)來(lái)畫圖會(huì)更簡(jiǎn)潔，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想。

（三）特殊反例，加深結(jié)論理解

在零點(diǎn)存在性定理中用到有如下設(shè)置：

【案例五】：零點(diǎn)存在性定理：

如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn).即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個(gè)c也就是方程f（x）=0的根.

〖課堂小練〗下列函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)是否存在零點(diǎn)？

（1）f（x）=x3-3x+1，x∈[1，2]；

（2）f（x）=ex-1+4x-4，x∈[0，1].

概念反思：判斷正誤，若不正確，并用函數(shù)圖象舉出反例.

（1）y=f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）·f（b）<0，則f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

（2）y=f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）·f（b）≥0，則f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn).

（3）單調(diào)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）·f（b）<0，則f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

請(qǐng)一位學(xué)生板書反例，其他學(xué)生補(bǔ)充評(píng)析，例如：

經(jīng)過(guò)之前的引導(dǎo)鋪墊，得出零點(diǎn)存在性定理，利用課堂小練習(xí)判斷在相應(yīng)的區(qū)間是否存在零點(diǎn)，是對(duì)定理的應(yīng)用，讓學(xué)生清楚感覺(jué)到零點(diǎn)的存在只需要函數(shù)連續(xù)不斷，對(duì)應(yīng)端點(diǎn)函數(shù)值相反，有助于學(xué)生對(duì)定理的應(yīng)用。學(xué)生似乎對(duì)該定理有很好的理解，但是由于該定理是一個(gè)充分不必要條件，學(xué)生由于慣性思維往往會(huì)有很多想當(dāng)然的“理解”。這時(shí)，利用概念反思，判斷正誤。從定理反面、必要性上設(shè)置問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生深刻體會(huì)到定理的特殊性。即定理只講明零點(diǎn)的存在性而并沒(méi)有具體幾個(gè)零點(diǎn)；如確定單調(diào)性則零點(diǎn)唯一；該定理只是說(shuō)明了零點(diǎn)存在的一種情形。

（四）特殊例子，要有較強(qiáng)的指向性

在課堂練習(xí)中，教師讓學(xué)生完成如下：

【案例六】：練習(xí)：〖課堂小練〗下列函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)是否存在零點(diǎn)？

（1）f（x）=x3-3x+1，x∈[1，2]；

（2）f（x）=ex-1+4x-4，x∈[0，1].

【案例七】：〖課堂小練〗下列函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)是否存在零點(diǎn)？

（1）f（x）=x3-3x+1；

（2）f（x）=ex-1+4x-4，

點(diǎn)評(píng)：上面兩小題設(shè)置在零點(diǎn)存在性定理之后，其實(shí)這兩個(gè)小題是有密切聯(lián)系的，上述兩個(gè)方程都是不能直接求解的超越或高次方程，雖然它們的形式不同，但它們是同一類問(wèn)題，解法是利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理判斷，教師授課時(shí)也可以通過(guò)借助多媒體畫圖觀察函數(shù)圖象，再利用零點(diǎn)存在定理得到零點(diǎn)所在的大致區(qū)間；這兩個(gè)小題設(shè)置到例題1解法3之后學(xué)生可以通過(guò)方程的移項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為比較兩個(gè)基本函數(shù)的圖象交點(diǎn)來(lái)解決，這樣更有利于圖象的直接畫出。因此教學(xué)中應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生將特殊的兩個(gè)小題的解題過(guò)程作比較，明確兩種解法的實(shí)質(zhì)，也有助于變形方向的把握和變形方式的熟練掌握；這樣的聯(lián)系歸類也有利于數(shù)形結(jié)合思想的進(jìn)一步滲透。雖然是同樣的兩個(gè)小練習(xí)，稍加修改，卻扮演不同的角色，在零點(diǎn)存在性定理后的作用是練習(xí)鞏固，目的在定理的應(yīng)用上，在例1解法3后目的是解題思想方法，起到不同的作用。

學(xué)無(wú)定法，教亦無(wú)定則。如何讓學(xué)生在課堂當(dāng)中輕松自如的接受概念、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想，這就是教學(xué)的本質(zhì)。

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