靳海濤

【摘要】 高等數(shù)學教學質量的提高一直是教育者關注的熱點.極限是高等數(shù)學最重要的概念，是整個微積分的基礎.本文結合自身教學經(jīng)驗，對極限概念的教學進行了一些探討.

【關鍵詞】 高等數(shù)學；極限；教學

【基金項目】 國家自然科學基金青年基金（項目號：11501416）.

高等數(shù)學是大學非數(shù)學類專業(yè)的一門核心課程，一般在大學一年級開設.從內(nèi)容上講，高等數(shù)學既是中學數(shù)學內(nèi)容的推廣和擴展，又為后續(xù)各專業(yè)課程提供必要的基礎；從教學要求上講，高等數(shù)學通過介紹微積分學的理論與方法，力求培養(yǎng)學生的抽象思維能力和邏輯推理能力，以期提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和應用能力.鑒于高等數(shù)學的重要性，它一直是絕大多數(shù)專業(yè)研究生入學考試的必考科目.然而，教學實踐表明，學生對這門課的掌握程度完全沒有達到預期目標.很多學生“談高數(shù)而色變”，戲稱“從前有一棵高高的樹，上面掛了很多人”.因此，高等數(shù)學教學內(nèi)容改革和教學方法研究逐漸成了大家的研究熱點.本文結合自身經(jīng)驗，對極限概念的教學方面做了一些探討.

一、極限概念的重要性與教學要求

極限是微積分的主要理論基礎，高等數(shù)學中的后續(xù)概念如導數(shù)、積分、級數(shù)等都要以極限概念為基礎來建立，后續(xù)的諸多計算性質也是由極限性質來直接推出的.因此，如果極限概念掌握不好，后續(xù)學習將相當困難.由于當下高數(shù)課程的課時較為緊張，很多教師要么完全摒棄嚴格的極限概念，要么直接講嚴格的ε-N極限表達，這使得學生云里霧里，對后續(xù)內(nèi)容的學習十分不利.

另一方面，按照高等數(shù)學的課程標準，教學中須遵循“以應用為目的，以必需、夠用為度”的原則，注重理論聯(lián)系實際，強調(diào)對學生基本運算能力和分析問題、解決問題能力的培養(yǎng)，以努力提高學生的數(shù)學修養(yǎng)和素質.因此，極限概念不宜講得過難，關鍵是要讓學生建立起極限思維和認識到極限是一個變化過程.

二、極限概念的引入與建立

結合自身教學經(jīng)驗，筆者在教學中一般采取如下教學步驟：

（一）還原極限發(fā)展過程，引發(fā)學生興趣

自公元前三四世紀產(chǎn)生極限思想的萌芽到德國數(shù)學家魏爾斯特拉斯給出課本上的嚴格定義，前后跨越兩千三百余年，極限理解之難可見一斑.在教學中，首先，我們粗略介紹極限概念的發(fā)展歷程，使學生不感枯燥且能體會極限的基本思想.比如，《九章算術》中用割圓術計算圓的面積時，提出的“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”.在教學中，我們介紹阿基里斯悖論后，很多學生就已產(chǎn)生興趣，覺得這是“不可能的”，但細想之下又覺得有一定道理，迫切想知道正確解釋.

（二）采用“導—學—研”模式，從感性到理性，逐步引導學生探索

《莊子》中記載“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，將其用數(shù)列來描述，即每日的截取量為 1 2 ， 1 4 ， 1 8 ，…， 1 2n .第n天的截取量即為通項an= 1 2n .學生們可以很直觀地認識到，隨著天數(shù)增加，所剩長度越來越小，會無限地接近于零但又不為零，即“萬世不竭”.由此，即可得到極限的描述性概念：給定一個數(shù)列{an}，隨著n越來越大時，若通項an無限地接近一個常數(shù)A，則稱該數(shù)列的極限為A，記作 lim n→∞ an=A.此時，給出 lim n→∞ 1 n =？學生立刻會答：“等于零.”這表明已經(jīng)建立了感性認識.

為了給出嚴格定義，可以提出問題：如何定量地表達“接近”？什么叫“無限接近”？一般的，學生很容易想到利用距離的大小來衡量接近程度，部分學生也能想到“無限接近”指的是“要多近就有多近”.這就可以理解為給定一個規(guī)定的接近程度（用正數(shù)ε來刻畫接近程度），只要n很大，就一定可以達到該程度.對上例而言，若取ε=0.1，要想|an-A|= 1 n <0.1，就需要n>10.換言之，只有從第十項開始（我們用N=10來刻畫這個開始下標），才能達到該接近程度.于是，為了表達無限接近，只需要對給定的任意一個正數(shù)ε，都能找到這樣一個開始下標N，從第N項開始，都有|an-A|= 1 n <ε.自然，該N可通過解不等式獲得.

至此，教師可以與學生一起將極限的描述性概念用嚴格的數(shù)學語言表達出來：若對任給的ε>0，總存在一個正整數(shù)N，對任意的n>N，都有|an-A|<ε，則稱數(shù)列{an}的極限為A并記作lim n→∞ an=A.

（三）用定義證明數(shù)列極限，強化理解

在公共數(shù)學的研究生入學考試中，一般不會考查嚴格的極限定義.雖然如此，我們還是認為，應當適時地讓學生練習一下如何利用極限定 義來證明極限.如下的例1是今后計算極限時常用的結論，例2則是從小學時代就困惑的循環(huán)小數(shù)問題.

例1 對給定的|q|<1，有 lim n→∞ qn=0.

例2 記an= 0.99 … 9 n個 ，有 lim n→∞ an=1.

（四）趁熱打鐵，將數(shù)列極限概念推廣到函數(shù)極限

建構主義學習理論認為，知識不是通過教師傳授得到，而是學習者憑借原有的知識和經(jīng)驗，在他人的幫助和引導下，通過意義建構的方式而獲得的.在完成數(shù)列極限的概念后，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列極限包含兩個變化過程，一是自變量n的變換，一是函數(shù)值an的變化.這樣，我們很容易引導學生自己給出函數(shù)極限lim x→+∞ f（x）=A的概念：就是隨著自變量x趨于正無窮大時，函數(shù)值f（x）無限接近于A.在此基礎上，逐步引導學生建立其他極限概念（包括x→-∞，x→a，x→a+，x→a-）.講解時可以利用圖形的直觀性來展示，此外還要特別注意引導學生了解本質：就是隨著自變量x越來越接近某一值時，函數(shù)值無限趨近于某個常數(shù).

三、結 語

對極限是高等數(shù)學的基礎，對這一概念掌握的好壞將直接影響后續(xù)內(nèi)容的學習和理解，也將決定學生大學數(shù)學功底的修煉水平.本文通過極限部分教學中的一些具體問題來探索教學方法.當然，教無成法.要提高教學質量，還要從多方面入手.筆者將不斷努力，積累教學經(jīng)驗，探索教學方法，以期從根本上提高教學效果，讓學生們真正熱愛數(shù)學！

【參考文獻】

[1]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學第六版[M].北京：北京高等教育出版社，2007.

[2]齊民友.從微積分的發(fā)展看微積分的教學[J].高等數(shù)學研究，2004（2）：2-6.

[3]李娜.高等數(shù)學極限概念引入探究及極限求解方法[J].大學教育，2014（8）：60-62.

[4]何克抗.建構主義的教學模式、教學方法與教學設計[J].北京師范大學學報（社會科學版），1997（5）：74-81.