吳亞娟
在合情與演繹推理中深化概念教學
吳亞娟
數(shù)學概念是人對客觀事物中有關數(shù)量關系和空間形式方面本質屬性的抽象。它既是數(shù)學基礎知識的重要組成部分,又是數(shù)學的邏輯起點,更是發(fā)展學生思維、培養(yǎng)數(shù)學能力的基礎。數(shù)學概念教學常用的兩種推理模式,即合情推理與演繹推理,雖然是兩種不同的推理路徑,但它們除了在不同的概念建構中因其自身的特質各自發(fā)揮著應有的作用外,兩種推理路徑在概念的建構中又是相輔相成的。
概念教學;合情推理;演繹推理
在小學數(shù)學概念教學中,學生思維能力的培養(yǎng)既離不開感性的合情推理,也離不開理性的演繹推理。數(shù)學推理模式本質上有兩種,即演繹推理與合情推理,在一般情況下,人們是借助合情推理“預測”數(shù)學結果,借助演繹推理“驗證”數(shù)學結果。演繹推理和合情推理雖不相同,但是相輔相成的兩種推理,兩者不能人為割裂。
《義務教育數(shù)學課程標準 (2011年版)》(以下簡稱“2011版課標”)中明確:歸納和類比是合情推理的主要形式,因此,小學階段有相當一部分的概念必須通過比較、類比、聯(lián)想、歸納等創(chuàng)造性的思考來培養(yǎng)合情推理能力。其次,鑒于小學生的年齡與認知特點,教材中的概念教學大量地采用了數(shù)學猜想、枚舉歸納、類比遷移等合情推理的方法。
1.合情在概念從特殊到一般時。
概念教學由過程開始,然后轉變?yōu)閷ο蟮恼J知,因此,我們不應把概念過早推給學生,而是應該遵循從特殊到一般、從具體到抽象、從過程到結果的原則,逐步幫助學生明晰概念。如教學蘇教版五下《分數(shù)的意義》時,我們必須通過列舉大量日常生活中平均分配的實例來說明“平均分”,抽象“單位1”,從而自然而然地引出“分數(shù)”的概念。整個教學過程,教者充分運用合情推理從特殊到一般的模式,通過舉例、歸納、抽象出“分數(shù)”的本質概念,同時,借助“分數(shù)”概念的建構,學生的抽象概括能力、合情推理能力、總結提升能力都得到了有效提高。
2.合情在概念從特殊到特殊時。
當某一概念必須根據(jù)兩個不同對象的某些方面(如特性、關系、屬性等)的相同或相似點,來推出它們在其他方面也可能有的相同或相似的思維形式時,從特殊到特殊的合情推理就應運而生了。如在教學蘇教版六上《百分數(shù)》一課時,當教者借助大量的生活經驗引入百分數(shù)的概念后,又通過遷移舊知,讓學生認識了百分數(shù)的外在屬性,再通過回顧分數(shù)意義,搭建分數(shù)和百分數(shù)的聯(lián)系,然后從具體到抽象,逐步完善百分數(shù)的概念。但理解百分數(shù)的概念如果就此打住,那么,這堂課就成了為教概念而教概念了。因此,教者啟發(fā)學生思考:百分數(shù)定義中包含幾個數(shù)?表示兩個數(shù)之間怎樣的關系?接著出示例子“A是B的300﹪”,并將此例子與 “A是B的3倍”“A是B的”“A∶B=3∶1”等進行對比,從而引導學生發(fā)現(xiàn)知識之間的聯(lián)系。最后得出結論:百分數(shù)與整數(shù)、分數(shù)和比一樣,可以用來表示兩個數(shù)之間的倍數(shù)關系,所以百分數(shù)也叫百分率或百分比。至此,百分數(shù)的概念就真正建構得非常完整而又深刻了。整個教學過程,教者通過類比的合情推理,把概括而得的百分數(shù)的本質屬性推廣到整數(shù)、分數(shù)、比等同類概念中去,它既是百分數(shù)概念的運用過程,又是一個在高層次上抽象概括的過程,最后把新獲得的百分數(shù)的概念納入到同一類別的概念體系中,建立新概念與原有概念之間的聯(lián)系,達到概念教學的高級階段。
3.合情在概念從猜想到驗證時。
“沒有大膽的猜想,就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)”,因此有些概念在建構的過程中必須要通過觀察、實驗、類比、歸納等手段提出猜想。教師應該積極創(chuàng)設條件,引導學生大膽猜想,縝密驗證,讓思維插上合情推理的翅膀。
例如在教學蘇教版五下“能被3整除的數(shù)的特征”時,學生易受能被2或5整除的數(shù)的特征影響,做出“個位是3的數(shù)都能被3整除”的猜想。因此,教學時,教師分別出示下列幾組數(shù):(1)256、46、113、176、6、359、896; (2)21、18、129、36、243、234、342。當驗證完第一組后,學生馬上意識到原先的猜想是錯誤的,心中充滿疑惑的同時,探求新知的欲望油然而生。這時,教師馬上引導學生去觀察、驗證第二組,看看這些數(shù)能否被3整除,這些數(shù)又有怎樣的特征。由此,新的猜想誕生了:可能與各個數(shù)位上的數(shù)的和有關,于是,第二輪驗證又如火如荼地開始了。整個教學過程,教者通過引導學生大膽猜想、舉例驗證、總結提升,使合情推理的思維過程貫穿于教學的始終,“能被3整除的數(shù)的特征”這一抽象的概念在一次次的猜想、驗證、推理的過程中清晰建構。
演繹推理是從一般到特殊的推理,雖然,小學階段以合情推理為主,但在2011版課標中明確提出,第三學段有必要引導學生“體會證明的必要性,發(fā)展初步的演繹推理能力”。特別是學生在遇到一些內容體系邏輯性較強、知識結構高度抽象的概念時,演繹推理能發(fā)揮合情推理所不能起到的作用。
1.演繹在概念內容體系邏輯較強時。
當概念邏輯性較強時,學生學習的過程都是以演繹的方法展開的,這時學生既不必要完全經歷數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程,發(fā)現(xiàn)學習也不可能成為學生學習數(shù)學知識的唯一形式。這時,演繹推理則是展開數(shù)學知識體系的主要形式。如在教學蘇教版六上《長方體和正方體的認識》時,我們一般是先引導學生通過觀察、測量、比較得出長方體有6個面、8個頂點、12條棱,并且每個面都是長方形,其中相對的兩個面是完全相同的,這是從面和棱的角度認識長方體。在此基礎上,用同樣的方法認識正方體的特征。接下來,如何在演繹中尋求長方體和正方體的關系,從而打通相互間的邏輯體系,就顯得尤為重要了,因此“正方體具有長方體的所有特征嗎?”這一問題,就引發(fā)學生借助知識之間的邏輯關系進行深入思考,而學生的思考過程以及所獲得的結論就是一個演繹推理過程。這一基于知識本質之間的推理,不僅有助于認識長方體和正方體的特征,而且能進一步厘清兩個概念之間的邏輯關系,從而培養(yǎng)學生的演繹推理能力。
2.演繹在概念知識結構高度抽象時。
實踐表明,概念的本質特征越多,學習越容易,非本質特征越多,學習越困難,這時,演繹推理就能在一定程度上發(fā)揮其應有的作用。比如在教學蘇教版五下《圓的認識》時,我們應讓學生知道:在同一個圓中,半徑的長度都相等,直徑的長度都相等,直徑的長度等于半徑的2倍。如果教學時,我們單純地通過量一量、比一比,或者借助多媒體演示得出結論,那么,學生在數(shù)學思想方法的感受和抽象能力的培養(yǎng)上,就屬于較低層次。由此,教學時,我們可以通過畫、量、對比、歸納得出半徑的長度都相等,然后可以根據(jù)直徑和半徑的定義推理得出:直徑的長度是半徑的2倍,接著根據(jù)“等量的同倍量相等”,由上述兩個結論通過演繹推理得出:直徑的長度都相等。教學中,如果我們能像上述教學過程一樣契合實際地正確把握這種結構,用演繹推理的手段組織學習過程,不但能幫助學生掌握思考方法,理解高度抽象的概念內容的邏輯結構,還能提高學生的模式辨認能力,縮短推理過程,從而培養(yǎng)學生思維的縝密性、抽象性、邏輯性,并較好地發(fā)展學生的演繹推理能力。
當然,在概念教學中,培養(yǎng)學生的演繹推理能力,不僅要注意層次性,而且要關注學生的差異,要使每個學生都能體會證明的必要性,從而使學習演繹推理成為學生的自覺要求,克服“為了證明而證明”的盲目性。
2011版課標對推理能力的內涵作了如下闡述:“能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數(shù)學猜想,并進一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例?!边@就是說,學生獲得數(shù)學結論應當經歷合情推理到演繹推理的過程,這雖然是兩種不同的推理路徑,但它們除了在不同的概念建構中因其自身的特質各自發(fā)揮著應有的作用外,兩種推理路徑在概念的建構中又是相輔相成的。
如在教學蘇教版四下“三角形內角和”一課時,教師先讓學生匯報兩種三角板每個角的度數(shù),再說出每個三角板三個內角的和,引發(fā)學生猜想:“你認為每個三角形的內角和是多少?”學生紛紛猜測是180°,接著引導學生小組合作,任意剪出不同的三角形,并把每個三角形的三個內角剪下來拼在一起,學生通過觀察驚奇地發(fā)現(xiàn),任意三角形三個內角拼在一起都是平角,至此“三角形內角和是180度”這個結論自然而然地被學生接受了,接著讓學生獨立計算“已知三角形的兩個角分別是72°和34°,求出第三個角”的練習,再要求學生說說自己計算的根據(jù),最后再讓學生量一量算出的角度數(shù),進一步感受結論的正確性。整個教學過程,教者先引導學生在觀察、分析、類比的基礎上,得出符合猜想的合情推理,然后讓學生自行計算、度量,演繹推理出結論的正確性。我們不難發(fā)現(xiàn),這兩種推理方法的有機結合,學生更好地掌握了新知識,鍛煉了學生的推理能力,激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣。
在概念的建構過程中,如果我們能準確把握每種推理路徑的實質,并在各自的領域發(fā)揮其應有的作用,有時為了需要還能把這兩種推理路徑有機地結合起來,那就能使我們的概念教學,甚至是整個數(shù)學的教學過程達到一個知識與能力、思想與方法、過程與結果的完美統(tǒng)一。
G625
A
1005-6009(2017)81-0035-03
吳亞娟,江蘇省常州市武進區(qū)橫林實驗小學(江蘇常州,213161)校長,高級教師,常州市骨干教師。