甘勝進(jìn)，游文杰

(福建師范大學(xué)福清分校電子與信息工程學(xué)院，福建 福清 350300)

基于矩生成函數(shù)的多元響應(yīng)降維子空間估計(jì)

甘勝進(jìn)，游文杰

(福建師范大學(xué)福清分校電子與信息工程學(xué)院，福建 福清 350300)

提出一類新的估計(jì)多元響應(yīng)降維子空間方法，即基于矩生成函數(shù)(GF)、絕對(duì)值矩生成函數(shù)(G-A)與矩生成函數(shù)海塞主方向方法(G-PHD).給出了該方法估計(jì)量的相合性以及漸近性性質(zhì)，并進(jìn)行了實(shí)例模擬.

充分降維；切片逆回歸；矩生成函數(shù)；絕對(duì)值矩生成函數(shù)；海塞主方向

1 預(yù)備知識(shí)

考慮一維響應(yīng)變量Y和p維解釋變量X=(X1，X2，…，Xp)T之間回歸問(wèn)題的主要目的是研究在X給定的條件下，Y對(duì)X的條件分布函數(shù)FY|X如何隨自變量X變化.如果存在p×k(k≤p)矩陣η(列滿秩)滿足

Y‖X|X?Y‖X|ηTX，

(1)

其中‖表示統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，Y‖X|U表示在任意給定U值的情況下，X與Y相互獨(dú)立，則FY|X(y|x)=FY|ηTX(y|ηTx)，這樣X(jué)中有關(guān)Y的信息就包含在ηTX中，Y對(duì)X條件分布的維數(shù)是k維，不再是p維.如果k相對(duì)于維數(shù)p微不足道，那么降維目的就達(dá)到了.特別當(dāng)k=1，2時(shí)，便可在概要圖上分析Y與X之間的回歸關(guān)系.Li[1]首次提出切片逆回歸(簡(jiǎn)稱SIR)方法，即用X對(duì)Y的逆回歸均值函數(shù)E(X|Y)來(lái)估計(jì)η.由于Y‖X|ηTX?Y‖X|(ηB)TX，其中B為k階可逆方陣，可見(jiàn)在上式中η與ηB起到作用是一樣的，而η與ηB列向量張成子空間是相同的，故考慮span{η}而非η本身，span{η}表示由η列向量張成的子空間.沿用Fisher充分統(tǒng)計(jì)量的概念，稱span{η}為其充分降維子空間(簡(jiǎn)稱DRS).進(jìn)一步地，如果滿足(1)式的所有η的交集仍然滿足(1)式，則稱其為中心降維子空間(簡(jiǎn)稱CS)，記為SY|X，rank(SY|X)稱為結(jié)構(gòu)維數(shù).CS是最小的充分降維子空間，通常情況下CS總是存在的.如果感興趣的是E(Y|X)，結(jié)合充分降維就產(chǎn)生均值降維子空間[2]概念，即

Y‖E(Y|X)|ηTX.

(2)

類似CS的討論，若所有滿足(2)式的集合的交集仍然滿足(2)式，則稱之為中心均值降維子空間(簡(jiǎn)稱CMS)，記為SE(Y|X).令Z=Σ-1/2(X-E(X))，則有轉(zhuǎn)換公式SY|X=Σ-1/2SY|Z[3]，其中Σ=D(X)>0.因此下文不妨假定E(X)=0，D(X)=Ip.

估計(jì)降維子空間常用到下面兩個(gè)基本條件：

(1) 線性條件均值：E(X|ηTX)為ηTX線性函數(shù)，即E(X|ηTX)=PηX，?η∈Rp，其中投影陣Pη=η(ηTη)-1ηT.

(2) 常數(shù)條件方差：Var(X|ηTX)為非隨機(jī)矩陣，即Var(X|ηTX)=I-Pη.

滿足線性條件均值的是橢圓分布，而滿足條件常數(shù)方差的是多元正態(tài)分布.下文提出基于矩生成函數(shù)方法估計(jì)多元響應(yīng)降維子空間，并給出該方法估計(jì)量的相合性和漸近性，最后為該方法的蒙特卡羅模擬.

2 多維響應(yīng)降維子空間

將一維響應(yīng)推廣到多維響應(yīng)，就會(huì)產(chǎn)生多維響應(yīng)降維子空間與多維響應(yīng)均值降維子空間，即

Y‖X|ηTX，

(3)

Y‖E(Y|X)|ηTX.

(4)

其中X=(X1，X2，…，Xp)T，Y=(Y1，Y2，…，Yq)T.

一些一維響應(yīng)降維子空間估計(jì)方法可以推廣到多維響應(yīng)降維子空間的估計(jì)，例如多元切片逆回歸(簡(jiǎn)記MS)、最小二乘估計(jì)(OLS)和海塞主方向(PHD)[4]，其他估計(jì)方法可參看文獻(xiàn)[5-10].本文受文獻(xiàn)[8-9]啟發(fā)，提出矩生成函數(shù)方法(簡(jiǎn)記GF).

記φ(t)=E(etTYX)，t∈Rq，φ(t)張成子空間記為M，即M=span{φ(t)|t∈Rq}，則M=span{E(φ(T)φ(T)T)}[11]幾乎必然成立，其中T是支撐為Rq的q維隨機(jī)向量.稱M為多元響應(yīng)降維子空間的矩生成函數(shù)估計(jì)，其理論依據(jù)為下面定理.

定理1 在線性條件均值條件下，M?SY|X.

證明 注意到(3)式意味著Y|X，Y|ηTX同分布，故tTY|X，tTY|ηTX同分布.由此以及線性條件均值定義，有

φ(t)=E(etTYX)=E(XE(etTY|X))=E(XE(etTY|ηTX))=

E((X|ηTX)E(etTY|ηTX))=E((X|ηTX)etTY)=PηE(etTYX)?span(η).

從上述定理證明過(guò)程可知，E(etTYX)可看作Y對(duì)X向前回歸.另一方面，E(etTYX)=E(etTYE(X|Y))?span{E(X|Y=y)|y∈ΩY}，其中ΩY為Y樣本空間，從而E(etTYX)也可看作X對(duì)Y逆回歸，因此E(etTYX)可看作向前回歸與逆回歸的結(jié)合.在線性條件均值條件下span{E(X|Y=y)|y∈ΩY}?SY|X，但切片逆回歸估計(jì)效果對(duì)切片數(shù)量比較敏感，因此如何選擇較為合適的切片數(shù)量至今仍是一個(gè)公開(kāi)難題，而本方法避免了對(duì)響應(yīng)變量進(jìn)行切片，只需樣本的矩估計(jì).

定理2 當(dāng)X為p維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時(shí)，M?SY|X.

證明 類似于定理1的證明及Stein引理[12]，

E(etTYX)=E(XE(etTY|X))=E(XE(etTY|ηTX))=

(5)

(6)

實(shí)際上(5)與(6)式較容易滿足.[13]采用類似文獻(xiàn)[14]的方法可證明多元漸近正態(tài)性.

E(ψ(X，Y，T)φ(T)T|X=xi，Y=yi)}.

證明

由于E(ψ(X，Y，T)φ(T)T|T=ti)=E(ψ(X，Y，ti))φ(ti)T=0，故兩樣本U統(tǒng)計(jì)量

被下面的投影近似：

(7)

利用條件期望平滑性和(6)式，可類似上面討論Un：

(8)

當(dāng)回歸函數(shù)是偶函數(shù)，并且自變量是對(duì)稱分布時(shí)，多元切片逆回歸方法對(duì)此類模型失效，可采用兩種辦法，即絕對(duì)值矩生成函數(shù)與矩生成海塞主方向，分別簡(jiǎn)記為G-A、G-PHD.

定理5 在線性條件均值條件下，由φ(t)=E(e|tTY|X)，t∈Rq張成的子空間M?SY|X.

此定理證明與定理1類似，故省略.

定理6 當(dāng)線性條件均值和常數(shù)條件方差成立時(shí)，由φ(t)=E(etTY(XXT-I))，t∈Rq張成的子空間M?SY|X.

證明 由條件期望平滑性，線性條件均值和常數(shù)條件方差可得

φ(t)=E(etTY(XXT-I))=E(E(etTY|X)(XXT-I))=

E(E(etTY|ηTX)(XXT-I))=E(etTY(E(XXT|ηTX)-I))=

E(etTY(Var(X|ηTX)+E(X|ηTX)E(X|ηTX)T-I))=PηE(etTY(XXT-I))Pη?SY|X.

以上兩種方法的樣本估計(jì)、相合性和漸近性與GF類似，這里不再贅述.

3 數(shù)值模擬

表1為(X，Y)與T的樣本容量在某些取值下，采用定理1或定理2中M的樣本得到的100次蒙特卡羅隨機(jī)模擬結(jié)果.其中第一列與第一行分別為(X，Y)與T的樣本容量n與m的取值，每個(gè)表格里第一和第二個(gè)數(shù)分別表示100次模擬跡相關(guān)系數(shù)的均值與標(biāo)準(zhǔn)差.

表1 在(X，Y)與T的不同樣本容量下100次模擬跡相關(guān)系數(shù)的均值與標(biāo)準(zhǔn)差

從表1中可以看出，當(dāng)m固定時(shí)，n逐漸變大，估計(jì)方向與真實(shí)方向接近程度的均值幾乎逐漸遞增，標(biāo)準(zhǔn)差曲折減少；而當(dāng)n固定，m逐漸變大時(shí)，跡相關(guān)系數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差變化不大，說(shuō)明估計(jì)效果只依賴于n，印證了定理3的結(jié)論.

表2為100次重復(fù)選取的各個(gè)方法在不同樣本容量下的估計(jì)性能比較，每個(gè)格子第一個(gè)數(shù)為跡相關(guān)系數(shù)的均值，第二個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)差.從中可以看出，GF表現(xiàn)最好，緊隨其后的是G-A與G-PHD，但G-A 與GF差別不大.相比之下，OLS和MS(每個(gè)響應(yīng)變量切片數(shù)量為4，故總切片數(shù)為42=16)表現(xiàn)最差，一個(gè)很重要的原因是Y對(duì)X回歸函數(shù)是偶函數(shù).

表2 基于模型2的幾種選取方法性能比較

圖1與圖2分別表示100次重復(fù)的情況下，三種方法GF，G-A與G-PHD在模型1和模型2上估計(jì)效果的箱線圖.從中可以看出，對(duì)于線性回歸函數(shù)而言，GF表現(xiàn)是最好的；而對(duì)于對(duì)稱函數(shù)來(lái)說(shuō)，GF的估計(jì)性能不比其他兩種方法差.因此就目前模擬的效果來(lái)看，GF具有較好的穩(wěn)健性，是三種方法中最好的.

圖1n=1 000時(shí)模型1中GF，G-A與G-PHD估計(jì)效果對(duì)比

圖2n=1 000時(shí)模型2中GF，G-A與G-PHD估計(jì)效果對(duì)比

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(責(zé)任編輯：李亞軍)

Estimate of dimension reduction subspace for multivariate responses based on moment-generating function

GAN Sheng-jin，YOU Wen-jie

(School of Electronic and Information Engineering，F(xiàn)uqing Branch of Fujian Normal University，F(xiàn)uqing 350300；China)

A new class of estimators for dimension reduction subspace with multivariate responses are proposed based on some related literature，which are termed as moment-generating function(GF)，absolute moment-generating function(G-A) and moment-generating function of principal Hessian directions(G-PHD) respectively.Consistency and asymptotic property of estimators are given.

sufficient dimension reduction；sliced inverse regression；moment generating function；absolute moment generating function；principal Hessian directions

1000-1832(2017)01-0043-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.01.009

2015-10-29

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61473329)；福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015J01009)；福建省中青年教師教育科研項(xiàng)目(JAT160566).

甘勝進(jìn)，男，碩士，講師，主要從事高維數(shù)據(jù)充分降維研究；游文杰，男，博士，教授，主要從事統(tǒng)計(jì)計(jì)算以及數(shù)據(jù)挖掘研究.

O 213 [學(xué)科代碼] 110·71

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