徐文彬

【名家視線(xiàn)】

試論小學(xué)數(shù)學(xué)的必備品格

徐文彬

數(shù)學(xué)自有其必備品格，但就“小學(xué)數(shù)學(xué)”而言，其必備品格必須既具有數(shù)學(xué)的特性，又必須擁有教育的品格。也就是說(shuō)，她應(yīng)該能夠培養(yǎng)學(xué)生“關(guān)聯(lián)地想象”，以促進(jìn)其學(xué)習(xí)；引導(dǎo)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思維”，以發(fā)展其思維；幫助教師開(kāi)展“基于三重聯(lián)系”的教學(xué)，以改善其教學(xué)。

小學(xué)數(shù)學(xué)；必備品格；關(guān)聯(lián)地想象；數(shù)學(xué)地思維；基于三重聯(lián)系

數(shù)學(xué)自有其必備品格，譬如，數(shù)學(xué)的高度抽象、數(shù)學(xué)的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)和數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用，抑或數(shù)學(xué)的理想化、形式化與符號(hào)化等。但是，就“小學(xué)數(shù)學(xué)”而言，由于它是一個(gè)教育范疇，因此，其必備品格必須既具有數(shù)學(xué)的必備品格，又必須擁有教育的必備品格。具體而言，我們認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)的必備品格應(yīng)該能夠：培養(yǎng)學(xué)生“關(guān)聯(lián)地想象”，以促進(jìn)其學(xué)習(xí)；引導(dǎo)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思維”，以發(fā)展其思維；幫助教師開(kāi)展“基于三重聯(lián)系”的教學(xué)，以改善其教學(xué)。

一、促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)：關(guān)聯(lián)地想象

我們所生活的世界，不論是自然、社會(huì)、歷史、文化、政治、經(jīng)濟(jì)、軍事、娛樂(lè)等，還是我們的生理、心理、精神等，都是普遍聯(lián)系與永恒發(fā)展的。而人類(lèi)所發(fā)現(xiàn)與揭示的一切“客觀規(guī)律”都是其基于這個(gè)世界普遍聯(lián)系與永恒發(fā)展的想象，而其所發(fā)明與創(chuàng)造的一切“主觀事實(shí)”則都是基于這一想象的創(chuàng)造。因此，學(xué)習(xí)就是學(xué)會(huì)“關(guān)聯(lián)地想象”、甚至基于這一想象的創(chuàng)造。小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)或小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)概莫能外。

數(shù)學(xué)哪怕就是小學(xué)數(shù)學(xué)，它也是我們?nèi)祟?lèi)的想象之產(chǎn)物，即人類(lèi)大腦的思想產(chǎn)物。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)就不僅應(yīng)該告之小學(xué)生數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、概率與統(tǒng)計(jì)等其中的基本的數(shù)學(xué)事實(shí)，而且更應(yīng)該通過(guò)這些基本的數(shù)學(xué)事實(shí)來(lái)幫助小學(xué)生“重溫”其背后的想象過(guò)程及其基于何種關(guān)聯(lián)。唯有如此，才能夠真正發(fā)展小學(xué)生“關(guān)聯(lián)地想象”，并促進(jìn)其學(xué)習(xí)。

譬如，僅就小學(xué)數(shù)學(xué)中的加、減、乘、除四則運(yùn)算的學(xué)習(xí)而言，我們教師通常都會(huì)在實(shí)際情境中或在學(xué)生已有數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)上導(dǎo)入“運(yùn)算的必要性”，展開(kāi)教學(xué)，并引導(dǎo)學(xué)生自主編制有實(shí)際意義或數(shù)學(xué)意義的問(wèn)題情景：這里存在著無(wú)限的可能，但實(shí)際教學(xué)的結(jié)果卻是有限的選擇。但是，如果我們還能夠在此基礎(chǔ)上更進(jìn)一步，即引導(dǎo)學(xué)生就某個(gè)或某些具體的算式，來(lái)設(shè)想其盡可能多的實(shí)際背景或數(shù)學(xué)意義，也許更能有效地發(fā)展學(xué)生“關(guān)聯(lián)地想象”，因?yàn)檫@里還存在著另一種無(wú)限的可能：一對(duì)多或者有限對(duì)無(wú)限。

再譬如，僅就小學(xué)數(shù)學(xué)中的“可能性及其大小”的學(xué)習(xí)而言，我們教師通常都會(huì)以“摸球試驗(yàn)”來(lái)展開(kāi)教學(xué)活動(dòng)，并從大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)推測(cè)：球袋中各種球的顏色、各種顏色球的多寡等。但是，當(dāng)球袋打開(kāi)時(shí)，其中各種顏色的球及其多寡并不一定與我們的推測(cè)一致！這其實(shí)正是我們概率推理之實(shí)質(zhì)：我們只能根據(jù)我們的觀察或試驗(yàn)結(jié)果來(lái)推測(cè)（其實(shí)就是“關(guān)聯(lián)地想象”）事物發(fā)展的真實(shí)情況。因?yàn)?，很多情況下“球袋”我們是根本打不開(kāi)的或者不能打開(kāi)的（譬如，微觀世界、宏觀世界，社會(huì)現(xiàn)象、經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象、政治現(xiàn)象，個(gè)性、個(gè)人心理、人類(lèi)大腦等）。問(wèn)題是，我們的實(shí)際教學(xué)果真如此嗎？還只是作者個(gè)人的設(shè)想？

又譬如，僅就“特殊四邊形的關(guān)系”的學(xué)習(xí)而言，為什么我們只能規(guī)定 “只有一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形”，而不能想象“有一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形”？其實(shí)，前者可能是基于現(xiàn)實(shí)的抽象（當(dāng)然也是想象）（譬如，水渠的橫截面、堤壩的橫截面等），而后者則是基于邏輯的想象（譬如，與其他特殊四邊形內(nèi)在屬性的一致性，如面積公式的統(tǒng)一性）。前者可謂常規(guī)的學(xué)習(xí)與教學(xué)，而后者則是數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的上佳案例。

二、發(fā)展學(xué)生思維：數(shù)學(xué)地思維

“數(shù)學(xué)地思維”不僅包括從各種“客觀現(xiàn)實(shí)”中抽象出數(shù)學(xué)概念、原理、法則等，以及把這些數(shù)學(xué)概念、原理、法則等運(yùn)用于各種“客觀實(shí)際”以解決問(wèn)題，而且還包括其中的“數(shù)學(xué)概念、原理、法則等之間的純粹邏輯演繹關(guān)系”。就其實(shí)質(zhì)而言，“數(shù)學(xué)地思維”就是“首先要在大腦中解決問(wèn)題”。

僅就小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)而言，我們教師也應(yīng)該促使小學(xué)生逐步明了數(shù)學(xué)對(duì)象的人類(lèi)大腦建構(gòu)之特點(diǎn)（而非現(xiàn)實(shí)世界的模仿），漸漸感悟數(shù)學(xué)特征的邏輯演繹之特性（而非實(shí)際的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)之概括），初步把握數(shù)學(xué)思想方法的建模之屬性 （而非現(xiàn)實(shí)模型的實(shí)際建構(gòu)），點(diǎn)滴體悟數(shù)學(xué)追求的邏輯一致性之目標(biāo)（而非客觀的現(xiàn)實(shí)矛盾之解決）。

譬如，僅就小學(xué)生所學(xué)習(xí)的各類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象：數(shù)字或數(shù)（如自然數(shù)、整數(shù)，分?jǐn)?shù)、小數(shù)等）、四則運(yùn)算（加、減、乘、除）、幾何對(duì)象（如點(diǎn)、線(xiàn)、面，三角形、四邊形、圓形，平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱(chēng)等）、概率（人類(lèi)經(jīng)驗(yàn)中只有頻率而無(wú)概率，概率只是人類(lèi)大腦對(duì)頻率“背后依據(jù)”的推測(cè)或預(yù)設(shè)，所以，這里存在著主觀概率與客觀概率之爭(zhēng)）等，都不是我們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的模仿，它們都是我們?nèi)祟?lèi)大腦的主觀建構(gòu)。

再譬如，僅就小學(xué)一年級(jí)數(shù)學(xué)中的“十加幾等于十幾”的學(xué)習(xí)而言，教師們通常都會(huì)“聯(lián)系實(shí)際”，以強(qiáng)化其記憶或運(yùn)用：一位老師帶領(lǐng)十位同學(xué)去公園游玩，請(qǐng)問(wèn)要買(mǎi)幾張門(mén)票？參考答案是11張（10+1=11）。如果小學(xué)生有其他回答，我們教師一般都會(huì)判錯(cuò)，甚至認(rèn)為該學(xué)生可能缺乏“數(shù)學(xué)地思維”。其實(shí)，真實(shí)的情況可能要復(fù)雜得多，而該學(xué)生就極有可能擁有這些復(fù)雜的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)之一二：教師無(wú)須買(mǎi)票、全票與半票問(wèn)題、公園免費(fèi)問(wèn)題、不知公園為何物等。由此亦可見(jiàn)，數(shù)學(xué)確實(shí)不是客觀的現(xiàn)實(shí)矛盾的解決之道，它極有可能僅僅只是其實(shí)際解決之前在大腦中的一種可能的解決。

又譬如，僅就小學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)算律的學(xué)習(xí)而言，我們教師通常都會(huì)在“加法交換律與結(jié)合律”的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，引導(dǎo)小學(xué)生去猜想其他運(yùn)算可能存在的運(yùn)算律：這里存在“乘法交換律”和“乘法結(jié)合律”的可能，但幾乎不存在減法交換律或減法結(jié)合律的可能。因?yàn)槌恕癮=b時(shí)，a-b=b-a”之外，沒(méi)有其他可能，而且除了“c=0 時(shí)，（a-b）-c=a-（b-c）”之外，也沒(méi)有其他可能。但是，教學(xué)中就有不少學(xué)生也有不少教師就給出了“減法交換律”或“減法結(jié)合律”的數(shù)學(xué)猜想。殊不知，盡管數(shù)學(xué)猜想需要正面的實(shí)例，但已知的大量數(shù)學(xué)事實(shí)中卻不能有反例（譬如，不夠減、兩步加法運(yùn)算、兩步減法運(yùn)算等）。更為重要的是，學(xué)習(xí)中的學(xué)生與教學(xué)中的教師均在沒(méi)有給出“正面的實(shí)例”情況就給出了上述關(guān)于減法的運(yùn)算律之?dāng)?shù)學(xué)猜想。由此我們可以推測(cè)：師生此時(shí)缺乏必要的數(shù)學(xué)猜想之思維——大量數(shù)學(xué)事實(shí)，且目前沒(méi)有反例之基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)想象。

如果在學(xué)生“機(jī)械模仿”時(shí)，我們教師能夠適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考諸如：“有實(shí)例嗎？具體說(shuō)說(shuō)、寫(xiě)寫(xiě)好嗎？”“存在反例嗎？具體說(shuō)說(shuō)、寫(xiě)寫(xiě)好嗎？”“我們提出數(shù)學(xué)猜想時(shí)，應(yīng)該考慮哪兩點(diǎn)？”“再想一想：我們是如何提出‘加法交換律’和‘加法結(jié)合律’這兩個(gè)猜想的？我們又是如何進(jìn)一步確信這兩個(gè)猜想的？”這些問(wèn)題，那么，學(xué)生“數(shù)學(xué)地思維”就會(huì)得到逐步改善與不斷提升。

三、改善教師教學(xué)：基于三重聯(lián)系

“基于三重聯(lián)系”就是我國(guó)“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”所強(qiáng)調(diào)的，數(shù)學(xué)教育教學(xué)應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與兒童生活和社會(huì)經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系，以幫助學(xué)生獲取“數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，并引導(dǎo)學(xué)生“運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力”。唯有如此，我們教師才有可能真正不斷地改進(jìn)甚至改善自己的數(shù)學(xué)教學(xué)。

就小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系而言，不僅存在著數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率等各領(lǐng)域知識(shí)內(nèi)容間的聯(lián)系，而且還存在著其中任何兩者以及三者之間的聯(lián)系。譬如，僅就“數(shù)與代數(shù)”中的算術(shù)與代數(shù)之間的聯(lián)系而言，我們教師不僅應(yīng)該明了“算術(shù)只是數(shù)字的代數(shù)即特殊的代數(shù)，而代數(shù)則是字母的算術(shù)即一般的算術(shù)”，而且還應(yīng)該在算術(shù)的教學(xué)中滲透代數(shù)之變換思維，以培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用算術(shù)之程序思維。而準(zhǔn)變量及其表達(dá)式可能就是一個(gè)很好的教學(xué)設(shè)想：在算術(shù)運(yùn)算教學(xué)中引入“準(zhǔn)變量”和“準(zhǔn)變量表達(dá)式”這兩個(gè)概念，并加以有效運(yùn)用。如“37-29=（37-30）+1”中的“37”和“29”就是準(zhǔn)變量，而它本身就是一個(gè)準(zhǔn)變量表達(dá)式，因?yàn)樗N(yùn)含著這樣一個(gè)代數(shù)式：a-b=a-（b+1）+1（涵蓋了我們通常所說(shuō)的“湊整十?dāng)?shù)”）。

就小學(xué)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系而言，數(shù)學(xué)與科學(xué)的聯(lián)系最為緊密，尤其是在“數(shù)與量的關(guān)系”當(dāng)中，這種聯(lián)系則顯得更為明顯。譬如，在“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”當(dāng)中就蘊(yùn)含著“數(shù)與量的關(guān)系”，因而也就隱含了“數(shù)學(xué)與科學(xué)的聯(lián)系”。不僅如此，這里其實(shí)還存在著更多的數(shù)學(xué)與科學(xué)的聯(lián)系與區(qū)別：“科學(xué)中的平均分”似乎都是會(huì)有誤差的，而“數(shù)學(xué)中的平均分”是絕對(duì)不容許有任何誤差的。那么，如何進(jìn)行“數(shù)學(xué)中的平均分”呢？其實(shí)，沒(méi)有任何具體現(xiàn)實(shí)的辦法——這是科學(xué)的問(wèn)題；只有在大腦中理想化、抽象化、形式化地平均分——這是數(shù)學(xué)思考的方式方法。

就小學(xué)數(shù)學(xué)與兒童生活和社會(huì)經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系而言，盡管近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展給人以“越來(lái)越遠(yuǎn)離我們的生活”之印象，但是，數(shù)學(xué)的起源與發(fā)展無(wú)時(shí)無(wú)刻不與我們的生活緊密相連。小學(xué)數(shù)學(xué)基本上都屬于“初等數(shù)學(xué)”的范疇，幾乎毫無(wú)例外地都與兒童生活和社會(huì)經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系緊密。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中聯(lián)系兒童生活和社會(huì)經(jīng)驗(yàn)來(lái)展開(kāi)學(xué)習(xí)活動(dòng)是極其自然的事情。但是，實(shí)際教學(xué)中卻時(shí)常會(huì)出現(xiàn)“把成人過(guò)時(shí)的經(jīng)驗(yàn)當(dāng)成當(dāng)下兒童的經(jīng)驗(yàn)”等問(wèn)題。譬如，上述“十加幾等于十幾”的案例便是。由此可見(jiàn)，“體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系”這句話(huà)雖然簡(jiǎn)單，但是要把它運(yùn)用得恰到好處往往卻并不是一件很容易的事情，它需要我們真心地對(duì)待兒童、數(shù)學(xué)與我們自己。

如果小學(xué)數(shù)學(xué)能夠做到上述三點(diǎn)，我們就認(rèn)為她具備了其應(yīng)具備的必備品格。但這僅是作者個(gè)人關(guān)于“小學(xué)數(shù)學(xué)的必備品格”所做出的初步思考，僅供參考與批判。

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G623.5

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1005-6009（2017）33-0016-03

徐文彬，南京師范大學(xué)課程與教學(xué)研究所（南京，210097）常務(wù)副所長(zhǎng)，教授，博士生導(dǎo)師。