安徽省靈璧縣第一中學(xué) 朱松

證明數(shù)列不等式的幾點(diǎn)做法

安徽省靈璧縣第一中學(xué) 朱松

將數(shù)列與不等式結(jié)合起來，難度會(huì)有所增加，因此有些同學(xué)對于此類試題常常感到無所適從．為了提高同學(xué)們求解此類問題的能力，下面舉例分析．

一、分析法

例1數(shù)列｛an｝中，an=5n-4，證明不等式

例2已知數(shù)列｛an｝中，對一切n∈N+，有an∈（0，1），且+2an+1-an=0．

（2）Sn＜2a1（n∈N+），其中Sn為｛an｝的前n項(xiàng)和．

又0＜an＜1，故0

二、放縮法

數(shù)列的放縮問題是很常見的一類問題，也是學(xué)生感覺很難的一類問題，下面舉例說明．

例3已知數(shù)列｛an｝滿足an=3n-1，記T

該問題的放縮方法比較容易想到，證明的難度不大，可以將此題變式拓展，以便學(xué)生更好地掌握．

變式1已知數(shù)列｛an｝滿足an=3n-1，記

事實(shí)上，我們發(fā)現(xiàn)要證的問題變?yōu)樽C明后面（n-3）項(xiàng)放縮后的和小于，而出現(xiàn)的情況是，因此我們有理由相信，應(yīng)該把放縮的結(jié)論變?yōu)椋呵疑鲜綉?yīng)該是一個(gè)恒成立問題，因此，可以通過確定λ的值（或范圍）．這里還有一個(gè)問題：n是有范圍的，而它的范圍就是我們要考慮的從哪項(xiàng)開始放縮問題．因此，本問題中應(yīng)該確定n≥3，此時(shí)λ≥

由值的比較可以肯定的是：在放縮的過程中，放得太大了，以致于求出來的值比要證明的值還要大，這時(shí)候及時(shí)調(diào)整放縮的式子很有必要．

三、構(gòu)造數(shù)列

例4設(shè)數(shù)列｛an｝滿足

（1）證明：|an|≥2n-1（|an|-2），n∈N*；

若實(shí)現(xiàn)了（1）（2）兩部分的證明，對于任意n∈N*，一類數(shù)列有何共同特征呢？有（1）可知，|an|比離散指數(shù)型函數(shù)2n增長更快；由（2）知，當(dāng)合起來有有界，且上確界是2．總括一句：當(dāng)n∈N*，數(shù)列｛|an|｝為單調(diào)遞增數(shù)列，從初值| a1|-2開始增長，達(dá)到一定程度時(shí)，有上界2．有了這樣的一般認(rèn)識(shí)，再回頭去證明（1）（2），就不會(huì)感到對絕對值數(shù)列無所適從了．

因此|an|≥2n-1|an|-2），n∈N*．

證明（2），是在一定條件下探求|an|最大值為2，用極限的形式寫就是n→∞，|an|→2，聯(lián)想數(shù)列極限求法即證明n→∞，an→a，其關(guān)鍵是：?ε＞0，使|an-a|＜ε，找N（ε）．找N（ε）方法有三種：直接法，放大法，限制法．而（2）正好屬于限制法，即當(dāng)成立．這屬于純數(shù)學(xué)證明問題，十分抽象．化解的方法如下：

任取n∈N*，對于任意m＞n，由（1）知，

由m任意性得|an|＜2．否則，存在n0∈N*，有|an0|＞2，取正整數(shù)an0|-2，這與（1）式矛盾．

綜上，對于任意n∈N*，均有|an|≤2．

如果用圖形解釋命題結(jié)論這里從略．

四、柯西不等式或函數(shù)的視角

柯西不等式屬新課標(biāo)新加入的教學(xué)內(nèi)容，它在證明代數(shù)不等式、幾何不等式、三角不等式、比較實(shí)數(shù)大小、解方程、確定參數(shù)的取值范圍、求最值等方面都有著廣泛的應(yīng)用，在使用柯西不等式處理問題時(shí)，必須依照柯西不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)剡x取兩個(gè)數(shù)組，構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，繼而達(dá)到使用柯西不等式證明、求解有關(guān)問題的目的．

例5已知數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，a1=1，對任意都成立．

（1）求數(shù)列｛an｝，｛bn｝的通項(xiàng)公式；（答案：an=2n-1，bn= n，解答過程略）

（2）當(dāng)k＞7，k∈N*時(shí)，證明：對任意n∈N*，都有

證法1（柯西不等式）：當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，x+y≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，取“=”．記

本解答中，注意到Sn中各分式的分母成等差數(shù)列，因此首尾等距離的兩項(xiàng)分母之和為定值n+nk-1，因此以“倒序求和”為入手點(diǎn)，借用二元柯西不等式的變式放縮Sn，使其放縮后能求和．該方法雖然看似是二元平均值不等式的應(yīng)用，但其思維來源在于二元柯西不等式的常見變形結(jié)構(gòu)，對相關(guān)不等式的應(yīng)用要求較高．不過也應(yīng)清楚地認(rèn)識(shí)到，此種首尾等距兩項(xiàng)（倒序相加）相加再放縮的方法誤差較大，可能出現(xiàn)放縮過頭的現(xiàn)象．

本題還可以用n元柯西不等式的變形不等式證明：證法2：當(dāng)ai＞0，i=1，2，…，n時(shí)，

此證明簡潔干練，異常漂亮，能熟練運(yùn)用柯西不等式的變形形式是解決該問題的關(guān)鍵，該方法該結(jié)論體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美，展現(xiàn)了深刻的數(shù)學(xué)思維．

證法3（函數(shù)視角）：由導(dǎo)數(shù)知識(shí)易得，當(dāng)x＞0時(shí)，有不等式x＞ln（1+x）成立，令

0，1，2，…，7n-1，

不等式x＞ln（1+x）（x＞0）是學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)過程中非常常見的一個(gè)不等式，其應(yīng)用廣泛，對能力要求較高．因此，在日常教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地積累相關(guān)結(jié)論，形成解題經(jīng)驗(yàn)．

不等式的證明形式方法多樣，要掌握這些方法，理應(yīng)先夯實(shí)基礎(chǔ)，注重基本訓(xùn)練．只有打好了底子方能熟練應(yīng)用，舉一反三，八方聯(lián)系，渾然一體．教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘問題的解決方法，只有這樣才能有效提高學(xué)生的解題能力，開闊解題思路，促進(jìn)高效學(xué)習(xí)．