龔海萍+于霞

（南通大學 理學院，江蘇 南通 226007）

摘 要：線性代數(shù)是許多高校開設的一門重要的基礎理論課，它具有較強的邏輯性、抽象性和廣泛的實用性。線性代數(shù)課程的教學效果直接影響著學生的學習積極性以及在實際生活中應用數(shù)學知識的能力。為此，本文利用比較學習、等價分類、與其他學科聯(lián)系、數(shù)學建模等方法，結合相關知識點以及生活實例，從而有效地提高線性代數(shù)課程的教學效果。

關鍵詞：線性代數(shù)；教學效果；方法研究

線性代數(shù)是高等學校工科專業(yè)的一門重要的公共基礎課，是高等學校經(jīng)濟、管理類專業(yè)核心課程經(jīng)濟數(shù)學基礎之一，也是研究變量間線性關系的一門學科。它有著深刻的實際背景，在自然科學、社會科學、工程技術、軍事和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等領域中有著廣泛的應用。

線性代數(shù)作為一學期的課程，一般只安排32學時或者48學時，而該課程具有較強的抽象性與邏輯性，知識相互依懶性強，每個后續(xù)概念、性質(zhì)和定理都依賴于對先前概念、定理的理解與掌握，如果前面的知識一知半解，沒好好掌握，后續(xù)內(nèi)容學起來就比較困難。所以在有限的學時中如何提高線性代數(shù)教學效果，提高學生學習效率顯得至關重要。

1重視比較學習在課堂教學中的應用

比較作為數(shù)學教學的有力手段，是判斷研究對象的異同點，是學生理解和掌握知識的重要方法。教學實踐表明，通過比較，能使學生從抽象概括上升為理性認知。新知識的學習如果不與已有知識進行比較，將會變得難以前行，有時甚至止步不前。線性代數(shù)課程中有許多內(nèi)容既有聯(lián)系又有區(qū)別，在教學中充分運用比較的方法，有助于突出教學重點，突破教學難點，這樣學生才能更容易接受新知識，不至于混淆知識，從而提高了辨析能力和邏輯思維能力，對數(shù)學知識掌握得更牢固更全面。

例如：行列式和矩陣容易混淆，很多學生在學習行列式和矩陣之后，分不清矩陣和行列式，就m×n矩陣和n階行列式而言，矩陣的行數(shù)與列數(shù)有時相等有時不等，如相等則是方陣，而行列式的行數(shù)與列數(shù)必須相等，學生還經(jīng)常把兩者的符號混淆使用，并且把行列式和矩陣的計算性質(zhì)混淆在一起。比如說，m×n矩陣的數(shù)乘和n階行列式的數(shù)乘（常數(shù)k≠0）：用數(shù)k乘以矩陣，即用數(shù)k乘以矩陣中的每個元素；若用數(shù)k乘以行列式，則行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以k。

行列式實質(zhì)就是規(guī)定了某種運算規(guī)律（即所有不同行不同列的n個元素的乘積的代數(shù)和）之后計算出的一個數(shù)，而矩陣則代表由一些數(shù)字構成的數(shù)表，并且行數(shù)和列數(shù)一般不相等，只有行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣即方陣才有對應的行列式。

這樣比較學習使學生清晰辨別行列式與矩陣，理解并掌握相關數(shù)學知識。數(shù)學教學中恰當?shù)膽帽容^，不但能突出事物的本質(zhì)，明確概念的內(nèi)涵和外延，而且可以簡化某些問題的教學。這不僅有利于學生理解和掌握數(shù)學概念，而且是學生進行判斷和推理的重要的思想方法，它有助于學生提高認識事物和解決問題的能力。

2注重等價分類法在教學中的應用

例如：向量組的線性相關性這一章主要圍繞五個關鍵概念展開：向量組的線性相關性（線性相關、線性無關）、向量組的最大無關組、向量組的秩、矩陣的秩、齊次線性方程組的基礎解系。這五個關鍵概念環(huán)環(huán)相扣，把這一章的教學內(nèi)容串聯(lián)起來。其中向量組的最大無關組是連接其他四個概念的紐帶，最大無關組是向量組線性相關性的核心。另一方面，最大無關組給出了向量組的秩和矩陣的秩含義，向量組的秩等于向量組的最大無關組所含的向量個數(shù)，矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩。齊次線性方程組的基礎解系即是它的解向量組（或解空間）的最大無關組。

對于向量組的線性相關、線性無關的定義，學生往往感覺抽象難學，不像行列式、矩陣、線性方程組那么具體了，那么我們可以用等價分類的方法使得學生理解概念的內(nèi)涵，并和其他知識點聯(lián)系起來，如：齊次線性方程組、線性組合、線性表示、行列式、矩陣的秩，同時利用等價分類討論，從多個角度詮釋向量組的線性相關與線性無關，使得學生完善對這些概念的理解，且獲得相關結論和求解方法。

在教學過程中采用等價分類的教學方法，不僅促進了學生對概念的掌握，還培養(yǎng)了學生全面思考、多角度看待事物的能力，同時把知識串聯(lián)起來，形成知識體系，便于學生系統(tǒng)掌握知識。

3與其他學科聯(lián)系起來

對于線性代數(shù)，學生學完之后不知道用處，也不了解怎么用，這降低了他們對線性代數(shù)的學習興趣。教師僅一味地強調(diào)線性代數(shù)在實際生活中應用比較廣泛，這并不能促進學生對本課程的學習，要切實舉出實例，使學生從主觀上體會到它的作用，這樣才能充分調(diào)動他們的積極性。

例如：在講解矩陣乘法時，可以舉出在經(jīng)濟學上的應用——生產(chǎn)成本的計算。利用矩陣的乘法把多個數(shù)據(jù)表匯總成一個數(shù)據(jù)表，使得生產(chǎn)成本直觀具體、一目了然。如此教學既提高了學生的學習興趣，又很好地體現(xiàn)了實際問題線性化，還讓學生體會到線性代數(shù)在實際生活的應用，可謂一舉多得，無形中提高了教學效果。

4幾何直觀思想在課堂教學中的應用

線性代數(shù)的特點之一就是概念多且抽象性強，使得學生對概念的理解掌握具有一定的難度。但是，如果教師將概念的幾何意義融入教學過程中，就會降低學生對概念的理解和掌握難度。

例如：行列式概念和運算比較抽象，方法靈活，對學生而言，理解起來可能較為費勁，導致對行列式難以把握，只會機械記憶，對其幾何意義一概不知。其實對于行列式的概念和運算，從幾何直觀的角度來詮釋比較簡便。之前在學習《高等數(shù)學》向量代數(shù)與空間解析幾何這一章節(jié)時，知道兩個向量的向量積可以表示成行列式，其幾何意義為：與它們兩個向量都垂直且符合右手規(guī)則的向量。三個向量的混合積也可以用行列式表示，其幾何意義為：這個行列式的絕對值即為以它們?nèi)齻€向量為相鄰棱所作的平行六面體的體積。特殊地，當混合積為零時，這個六面體的體積為零，也就是三向量共面。

這是解析幾何中一個典型的求解立體幾何體積的問題，很多同學無從下手，不知如何求解，這主要是因為他們對這個平行六面體沒有任何概念，而且不了解這個六面體的體積所表示的意義，這些原因歸根到底還是對行列式的幾何意義缺乏認識，如此一來，這個求解解析幾何的問題就轉(zhuǎn)化為求解行列式的問題，實現(xiàn)了幾何與代數(shù)之間的過渡，這樣將幾何直觀的思想融入行列式的概念教學中，不僅降低了學生對概念的理解難度，還提高了他們對線性代數(shù)的學習興趣。

線性代數(shù)與幾何密切相關，幾何上二維、三維空間可以拓展出線性代數(shù)的很多理論，一方面，解析幾何以線性代數(shù)為研究工具；另一方面，解析幾何為線性代數(shù)提供了幾何背景，兩者相輔相成，互相滲透。將兩者結合，即把“數(shù)”與“形”相結合，促進了數(shù)形結合思想的發(fā)展與應用。除此之外，隨著計算機的發(fā)展，多媒體的應用越來越廣泛，這是教學的一大優(yōu)勢，我們應該把握這一優(yōu)勢，加強幾何直觀思想在教學中的應用，使學生了解其幾何意義，增強立體感及視覺的美感。這樣不僅促進了學生對線性代數(shù)抽象知識的了解，還提高了他們抽象思維的能力。

5數(shù)學建模思想在教學中的應用

不論是用數(shù)學方法解決哪類實際問題，還是與其他學科相結合形成交叉學科，首要的和關鍵的一步是將研究對象的內(nèi)在規(guī)律用數(shù)學的語言和方法表述出來，也就是建立所謂的數(shù)學模型，還要將求解得到的結果返回到實際問題中去，這種解決問題的全過程就是數(shù)學建模。而線性代數(shù)常常用于解決生活中線性化的實際問題，所以兩者相得益彰。

密碼學中的信息代碼就是所謂的密碼，而明文就是沒有轉(zhuǎn)換成密碼的文字信息，密文即密碼表示的信息。明文轉(zhuǎn)換為密文的過程叫加密，反之就是解密。1929年，希爾（Hill）通過矩陣理論對傳輸信息進行加密處理，提出了在密碼學史上有重要地位的希爾加密算法。如今使用頻率較高的密碼模型就來源于此。

在線性代數(shù)的教學過程中滲透數(shù)學建模思想，建立數(shù)學模型，彰顯這門課程的知識本質(zhì)，使得線性代數(shù)知識本身更加生動具體，不僅有利于學生對線性代數(shù)充分理解和掌握，提高學習興趣，同時還培養(yǎng)了學生應用數(shù)學能力、抽象思維能力和實踐能力。

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