不等式易錯(cuò)題型分類(lèi)透析

☉河北省石家莊二中南校區(qū) 龍洋

作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，不等式方面的知識(shí)點(diǎn)比較多，題型靈活多變，學(xué)生在解題時(shí)常常會(huì)出現(xiàn)誤解或者無(wú)法求出的現(xiàn)象，影響了解題準(zhǔn)確性.為了幫助高中生攻克不等式問(wèn)題求解難關(guān)，有必要對(duì)其常見(jiàn)易錯(cuò)題型和解題技巧進(jìn)行深入探討，從而不斷提升學(xué)生的不等式求解能力.

一、與線性規(guī)劃相關(guān)的易錯(cuò)題型及解題技巧

在不等式學(xué)習(xí)的過(guò)程中，常見(jiàn)的一類(lèi)問(wèn)題就是不等式和線性規(guī)劃部分知識(shí)相結(jié)合，主要是為了求解出可以滿(mǎn)足最終求解目標(biāo)的最小值或者最大值.但是該種不等式類(lèi)型題涉及面積求解和定義域等方面的數(shù)學(xué)知識(shí)，所以為了避免我們?cè)诮忸}過(guò)程中出現(xiàn)差誤，必須要充分了解不等式性質(zhì)和線性規(guī)劃二者之間的聯(lián)系性，然后在此基礎(chǔ)上來(lái)正確解決有關(guān)的數(shù)學(xué)題目.

例1已知a＞0，參數(shù)x，y滿(mǎn)足如下條件：①x+y≤3；②x≥1；③y≥a（x-3），如果z=2x+y的最小值為1，試求a的值.

分析：該道例題是一道典型的不等式和線性規(guī)劃題目相結(jié)合的例題，且該道題目區(qū)別于一般線性規(guī)劃問(wèn)題求解，而是先給出了最值，反推其中某條直線的參數(shù)，這就要求學(xué)生在解題的時(shí)候要注意轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的求解思路，采用逆向思維來(lái)進(jìn)行求解.而為了解題方便，在實(shí)際的求解過(guò)程中可以先繪制出如圖1所示的三條直線在坐標(biāo)軸上的區(qū)域示意圖.

圖1

解：如果目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)區(qū)域A點(diǎn)時(shí)的最小值為1，那么可知A點(diǎn)此時(shí)的坐標(biāo)值為（1，-2a），將其代入目標(biāo)函數(shù)可得1=2-2a，求得a=.

小結(jié)：實(shí)際上，針對(duì)該種類(lèi)型數(shù)學(xué)題目的求解，需要著重關(guān)注如下幾個(gè)方面：（1）要對(duì)函數(shù)最值問(wèn)題進(jìn)行密切關(guān)注，明確其中的不等關(guān)系，并繪制出相應(yīng)的可行域范圍.在本道例題中就給出了參數(shù)a的取值范圍a＞0的條件，可知直線y=a（x-3）必過(guò)第一象限和第三象限，這就可以將基本上確定了三角形可行域，避免我們?cè)谶x擇可行域時(shí)候弄錯(cuò)方向.（2）該類(lèi)型題目中常常為目標(biāo)參數(shù)設(shè)定未知參數(shù)來(lái)增加題目的動(dòng)態(tài)性與開(kāi)放性，區(qū)別于一般最值求解問(wèn)題，需要從結(jié)論入手來(lái)動(dòng)態(tài)地分析圖形，并要注意在變化過(guò)程中找尋解題關(guān)鍵點(diǎn)，加之目標(biāo)函數(shù)在可行域中的實(shí)際變化情況來(lái)明確問(wèn)題求解方向，從而可以逐步達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

二、與參數(shù)問(wèn)題相關(guān)的易錯(cuò)題型及解題技巧

在不等式諸多類(lèi)型題目中，涉及參數(shù)的不等式類(lèi)型題的求解難度相對(duì)較大.考慮到不等式題目中包含有未知參數(shù)，需要在實(shí)際的求解過(guò)程中要求我們認(rèn)真進(jìn)行思考和分析，必要的時(shí)候需要進(jìn)行分類(lèi)討論方可確保題目求解過(guò)程中出現(xiàn)遺漏或者計(jì)算重復(fù)的問(wèn)題.縱觀高考數(shù)學(xué)卷中的內(nèi)容，涉及參數(shù)的不等式問(wèn)題是學(xué)生出現(xiàn)解題錯(cuò)誤的常見(jiàn)類(lèi)型題.雖然學(xué)生可以明確該類(lèi)型不等式題目的求解思路，但是在實(shí)際的求解過(guò)程中卻會(huì)存在計(jì)算錯(cuò)誤或者疏漏等問(wèn)題，此時(shí)需要進(jìn)行一些針對(duì)性解題技巧訓(xùn)練方可使學(xué)生熟練地掌握解決該類(lèi)型數(shù)學(xué)題目的方法和技巧.

例2求不等式（x-1）（x-a）＜0的解.

分析：該道例是一道包含未知參數(shù)的不等式方程題型，考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)未知參數(shù)a的分類(lèi)討論，確保解題的全面性，否則很容易使我們出現(xiàn)漏解或者誤解的問(wèn)題.

解：根據(jù)二次函數(shù)求解的相關(guān)性質(zhì)，可知該道不等式方程問(wèn)題的求解主要可以劃分成三個(gè)層次來(lái)進(jìn)行求解，具體主要包括如下幾點(diǎn)：①當(dāng)a＞1時(shí)，解為1＜x＜a；②當(dāng)a=1時(shí)，不等式無(wú)解；③當(dāng)a＜1時(shí)，解為a＜x＜1.

例3解不等式ax2-2x+1＞0（a為參數(shù)，a∈R）.

該題同例題2相同，其也需要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論方可確保解題的全面性和準(zhǔn)確性，具體主要?jiǎng)澐殖蒩=0、a＜0和a＞0三種情況，且需要在a＞0的情況下對(duì)“Δ”值進(jìn)行區(qū)分來(lái)進(jìn)行分別求解.

小結(jié)：針對(duì)含有參數(shù)不等式類(lèi)型題目的求解關(guān)鍵在于要對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，確保解題的全面性，避免出現(xiàn)漏解問(wèn)題，從而可以使我們快速解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

三、與高次問(wèn)題相關(guān)的易錯(cuò)題型及解題技巧

高次不等式相關(guān)問(wèn)題也是高中數(shù)學(xué)中重要的考查內(nèi)容，解題的易錯(cuò)點(diǎn)主要在于我們?nèi)菀赘慊靺^(qū)域，且無(wú)法準(zhǔn)確地判斷出某些特殊點(diǎn)或者特殊區(qū)域，以致于學(xué)生在遇到高次不等式問(wèn)題的時(shí)候，常常會(huì)心生畏懼，不自然地覺(jué)得這些問(wèn)題非常難以解決，尤其是針對(duì)那些我們接觸過(guò)的高次不等式表達(dá)形式會(huì)使我們感到非常困惑.而如果我們可以借助因式分解等方法來(lái)簡(jiǎn)化高次不等式問(wèn)題，那么就可以大大簡(jiǎn)化有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，確保問(wèn)題的清晰性，同時(shí)我們需要掌握高次不等式的一些求解技巧，以便可以使我們可以快速找到解題的突破口，迅速解決問(wèn)題.

例4求不等式（x-1）（x-2）（x-3）＞0的解.

分析：該道不等式方程是三次，比常見(jiàn)的二次高，也是我們學(xué)生不常見(jiàn)的求解問(wèn)題，此時(shí)如果采用傳統(tǒng)的公式求解方法，勢(shì)必?zé)o法達(dá)到求解的目的.而如果可以借助“穿根法”，通過(guò)在數(shù)軸上繪制方程的大致圖像即可達(dá)到求解的目的，方便、準(zhǔn)確又快捷，是一種高效解題法.

解：先根據(jù)方程的根在數(shù)軸上繪制出方程的大致圖像（如圖2），具體主要包括如下幾個(gè)步驟：①在數(shù)軸上標(biāo)出3個(gè)零點(diǎn)，1、2和3，其將數(shù)軸劃分成了4個(gè)區(qū)間；②最右邊第一區(qū)間為正，以后正負(fù)相間，在區(qū)間標(biāo)明正負(fù)號(hào)；③其中“+”區(qū)域表示不等式大于0，“-”區(qū)域表示不等式小于0，這樣可直觀地使學(xué)生看出不等式大于0的區(qū)域?yàn)椋?＜x＜2或x＞3，這實(shí)際上就是本道例題的求解答案.

圖2

小結(jié)：“穿根法”求解技巧主要在于繪制出不等式在數(shù)軸上的大致情況，按照畫(huà)數(shù)軸→標(biāo)根→穿線的順序，且其中穿線順序?yàn)樽杂蚁蜃?，這樣即可直觀判斷不等式的大小情況.

四、與絕對(duì)值問(wèn)題相關(guān)易錯(cuò)題型及解題技巧

解絕對(duì)值不等式類(lèi)型題目的關(guān)鍵在于采取合理的方法來(lái)去掉絕對(duì)值，將其轉(zhuǎn)化成我們常見(jiàn)的一元一次或者一元二次不等式來(lái)進(jìn)行求解.而針對(duì)那些包含有多個(gè)絕對(duì)值的復(fù)合不等式題目求解，主要采用零點(diǎn)分段法來(lái)進(jìn)行求解，但是如果結(jié)合實(shí)數(shù)絕對(duì)值的幾何意義來(lái)達(dá)到快速求解問(wèn)題的目的.另外，針對(duì)某些最值問(wèn)題，也可以借助絕對(duì)值三角不等式來(lái)進(jìn)行求解，但是無(wú)論哪種方式，絕對(duì)值不等式求解的關(guān)鍵在于“想方設(shè)法”將其轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的式子來(lái)進(jìn)行求解.而具體的轉(zhuǎn)化方法主要包括：絕對(duì)值定義法、平方法和零點(diǎn)區(qū)域法等.歸納起來(lái)，常見(jiàn)的含有絕對(duì)值的不等式問(wèn)題求解主要包括如下四類(lèi)：（1）形如不等式：|x|＜a（a＞0）的解集為-a＜x＜a；（2）形如不等式：|x|≥a（a＞0）的解集為x≤-a或x≥a；（3）形如不等式：|ax+b|＜c（c＞0）的解法為：先將其轉(zhuǎn)化為不等式組：-c＜ax+b＜c后，按照不等式性質(zhì)來(lái)進(jìn)行求解；（4）形如不等式：|ax+b|＞c（c＞0）的解法為：先將其轉(zhuǎn)化為不等式組：ax+b＞c或ax+b＜-c，再借助不等式形式求解有關(guān)的問(wèn)題.

例5解不等式|3x-5|≥1.

分析：該道包含絕對(duì)值的不等式求解符合第四種類(lèi)型的方程求解，只需要借助絕對(duì)值定義可得3x-5≥1或 3x-5≤-1，解得x≥2或x≤

例6解不等式|x+1|＞|2x-1|.

解析：該道例題不等號(hào)左右均涉及絕對(duì)值符號(hào)，此時(shí)可以通過(guò)兩邊同時(shí)取平方的方法來(lái)達(dá)到簡(jiǎn)化不等式的目的，可得（x+1）2＞（2x-1）2，由此可得0＜x＜2.

五、與恒成立問(wèn)題相關(guān)易錯(cuò)題型及解題技巧

恒成立是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中常見(jiàn)的一類(lèi)問(wèn)題，其與其他數(shù)學(xué)知識(shí)之間具有很強(qiáng)的聯(lián)系性，不等式也不例外.實(shí)際上，通過(guò)對(duì)高考試卷中有關(guān)不等式恒成立問(wèn)題進(jìn)行歸納和分析，可知不等式恒成立問(wèn)題主要結(jié)合抽象函數(shù)和數(shù)列等方面數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)聯(lián)合出題.該種類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題是不等式相關(guān)類(lèi)型題中一類(lèi)比較難的數(shù)學(xué)題目，具有很強(qiáng)的抽象性，我們高中生在求解的過(guò)程中很容易出錯(cuò).為了可以快速解決該種類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題，需要充分結(jié)合函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式以及單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)來(lái)進(jìn)行求解，以便達(dá)到快速求解相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的目的.

例7假設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù).

（1）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n為正整數(shù)，求gn（x）的表達(dá)式；

（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求參數(shù)a的取值范圍；

（3）假設(shè)n為正整數(shù)，試比較g（1）+g（2）+…+g（n）與n-f（n）的大小，并加以證明.

分析：該道題目是一道典型的復(fù)合型數(shù)學(xué)題，主要結(jié)合函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和不等式來(lái)求解閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求解函數(shù)單調(diào)性情況，具有很強(qiáng)的綜合性.解決該道類(lèi)型題的關(guān)鍵在于進(jìn)行適當(dāng)變形或者采用分離變量方法、構(gòu)造函數(shù)、變換主元等方式，借助基本不等式或者函數(shù)單調(diào)性等性質(zhì)來(lái)達(dá)到求解的目的.而其中的最值問(wèn)題主要是將其轉(zhuǎn)化成基本不等式形式后進(jìn)行求解；在轉(zhuǎn)化不等式的過(guò)程中，要注意合理確定不等號(hào)的方向，避免因不等號(hào)方向不正確而引發(fā)解題錯(cuò)誤的出現(xiàn)，具體可以記憶為“一正，二定，三相等”，這樣可以幫助我們更好地記憶相關(guān)的解題要點(diǎn)，有助于提高我們的解題效能.

除了上述幾種易錯(cuò)題型的解題技巧之外，不等式的常見(jiàn)解題技巧主要包括換元法、反證法、性質(zhì)法和數(shù)形結(jié)合法.其中的換元法主要是指用某個(gè)變量替換有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的某個(gè)式子整體，以借此來(lái)達(dá)到簡(jiǎn)化有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的目的；反證法則是在無(wú)法正推的情況下，借助反推原理來(lái)達(dá)到解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的目的，其不僅適用于幾何問(wèn)題，也廣泛應(yīng)用于不等式問(wèn)題的求解中來(lái)；性質(zhì)法則主要是運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)來(lái)達(dá)到求解有關(guān)不等式數(shù)學(xué)問(wèn)題的目的，尤其是其中的特殊值法非常適用于某些不等式類(lèi)型題的求解中來(lái)；數(shù)形結(jié)合法則主要是將有關(guān)的不等式信息以坐標(biāo)圖形的形式展示出來(lái)，具有很強(qiáng)的直觀性，可以便捷地了解必要的不等式信息，有助于我們更好地求解不等式方面的類(lèi)型題.但是在選用具體的不等式解題方法的過(guò)程中，必須要結(jié)合題干信息和具體情況來(lái)合理選擇，確保所選解題技巧可以滿(mǎn)足實(shí)際的解題需求，從而幫助我們更好地解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，避免在求解過(guò)程中出錯(cuò).

總之，不等式是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，也是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容.為了使我們可以有效地解決此類(lèi)試題，我們需要豐富相關(guān)類(lèi)型題的解題技巧，明確解題中的易錯(cuò)點(diǎn)，然后需要采取針對(duì)性解題方法來(lái)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，最后還需要在平時(shí)解題過(guò)程中注意總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，從而為提升我們的解題能力奠定扎實(shí)基礎(chǔ).