2016年高考數(shù)列壓軸題的四種新題型分析

☉福建省寧德市民族中學(xué) 鄭一平

高考數(shù)列為什么一直得到許多命題者的青睞，常被作為高考壓軸題考查學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力和綜合素質(zhì).這是由于數(shù)列既是高中數(shù)學(xué)的主干知識，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，既具有函數(shù)的特征，又能構(gòu)成獨特的遞推關(guān)系，因此成為高考考查的熱點問題且常以壓軸題形式出現(xiàn).從2016年全國10種高考試卷中的數(shù)列試題可以看出，由過去單純考查數(shù)列知識或遞推數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為在知識交匯上做文章，其位置或排在前三題或作為壓軸題.若作為前三題出現(xiàn)，一般難度不大，主要考查基礎(chǔ)知識和基本技能與簡單的知識應(yīng)用.若作為壓軸題常設(shè)計了許多層次恰當(dāng)、合理的綜合性問題，使數(shù)列與高中階段相關(guān)知識相結(jié)合，并以數(shù)列知識為載體注重考查數(shù)學(xué)推理能力和分析解決問題的能力，尤其考查學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解水平和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，成為學(xué)生數(shù)學(xué)高考能否得高分的風(fēng)向標(biāo).這與數(shù)學(xué)教育從“雙基”到“三維目標(biāo)”直至今天的“核心素養(yǎng)”十分吻合，而且將成為今后高考命題的新常態(tài).因此分析2016年全國高考數(shù)列壓軸題的新特點，對于做好數(shù)列教學(xué)與復(fù)習(xí)，促進學(xué)生數(shù)列知識的掌握、解題能力的提高和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成都有重要意義.

一、與絕對值不等式交匯型綜合題

（1）求證：|an|≥2n-1（|a1|-2）（n∈N）*；

（2）若|an|≤（）n，n∈N*，證明：|an|≤2，n∈N*.

分析：由于條件涉及絕對值不等式，從絕對值不等式性質(zhì)作為思考方向，（1）考慮絕對值不等式性質(zhì)|an|-結(jié)合條件進行求和；（2）可利用（1）的推理過程與結(jié)果，結(jié)合放縮法達到求解目的.

因此|an|≥2n-1（|a1|-2），n∈N*.

（2）任取n∈N*，由（1）知，對于任意m＞n，

從而對于任意m＞n，均有|an|＜2+）m·2n.

由m的任意性得|an|≤2.①

否則，存在n0∈N*，有|an0|＞2，取正整數(shù)且m0＞n0，

綜上，對于任意n∈N*，均有|an|≤2.

評析：本題是浙江數(shù)學(xué)理科高考壓軸題，對能力要求較高，主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系與單調(diào)性、絕對值不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和推理論證能力、分析問題和解決問題的能力.關(guān)鍵是如何利用所學(xué)的絕對值知識結(jié)合條件進行變形、放縮、合情推理，進而達到求解目的.

二、新定義型數(shù)列綜合性問題

新定義數(shù)列問題主要給出了數(shù)列新定義一種運算、概念（如一種符號、一種圖形等）、一種性質(zhì)等，由過去單純考查數(shù)列知識或遞推數(shù)列問題以及在知識交匯上做文章，變?yōu)樵O(shè)計層次恰當(dāng)、合理的新問題，使數(shù)列與高中階段相關(guān)知識相結(jié)合，并以數(shù)列知識為載體注重考查數(shù)學(xué)推理能力和分析解決問題的能力，要求學(xué)生在短時間內(nèi)理解試題所給的新型定義，能將所學(xué)知識與方法遷移到不同情境中，進而考查學(xué)生的理性思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

例2（2016上海高考理科壓軸題）若無窮數(shù)列｛an｝滿足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1，則稱｛an｝具有性質(zhì)P.

（1）若｛an｝具有性質(zhì)P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+ a8=21，求a3；

（2）若無窮數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，無窮數(shù)列｛cn｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，b1=c5=1，b5=c1=81，an=bn+cn判斷｛an｝是否具有性質(zhì)P，并說明理由；

（3）設(shè)｛bn｝是無窮數(shù)列，已知an+1=bn+sinan（n∈N*）.求證：“對任意a1，｛an｝都具有性質(zhì)P”的充要條件為“｛bn｝是常數(shù)列”.

分析：本題是上海卷的壓軸題，主要通過定義無窮數(shù)列｛an｝的某種性質(zhì)，要求利用數(shù)列和有關(guān)知識進行分析、推理，考查推理論證、分析與解決問題的能力.

解：（1）因為a5=a2，所以a6=a3，a7=a4=3，a8=a5=2.

于是a6+a7+a8=a3+3+2，又因為a6+a7+a8=21，解得a3=16.

nnn20（n-1）=20n-19，cn=81·）n-1=35-n.

∴an=bn+cn=20n-19+35-n.a1=a5=82，但a2=48，a6=，a2≠a6，

所以｛an｝不具有性質(zhì)P.

（3）證明：充分性：當(dāng)｛bn｝為常數(shù)列時，an+1=b1+sinan.對任意給定的a1，只要ap=aq，則由b1+sinap=b1+sinaq，必有ap+1=aq+1.充分性得證.

必要性：用反證法證明.假設(shè)｛bn｝不是常數(shù)列，則存在k∈N*，使得b1=b2=…=bk=b，而bk+1≠b.下面證明存在滿足an+1=bn+sinan的｛an｝，使得a1=a2=…=ak+1，但ak+2≠ak+1.

設(shè)f（x）=x-sinx-b，取m∈N*，使得mπ＞|b|，則

f（mπ）=mπ-b＞0，f（-mπ）=-mπ-b＜0，故存在c使得f（c）=0.

取a1=c，因為an+1=b+sinan（1≤n≤k），所以a2=b+sinc= c=a1，

依此類推，得a1=a2=…=ak+1=c.

但ak+2=bk+1+sinak+1=bk+1+sinc≠b+sinc，即ak+2≠ak+1.

所以｛an｝不具有性質(zhì)P，矛盾.必要性得證.

綜上，“對任意a1，｛an｝都具有性質(zhì)Ρ”的充要條件為“｛bn｝是常數(shù)列”.

評析：本問題（Ⅰ）與（Ⅱ）比較簡單，問題（Ⅲ）有一定的難度，關(guān)鍵必需掌握充要條件問題的證明方法.涉及充要條件問題需從充分性和必要性兩方面進行推理，特別在證明必要性時直接思考難以證明，能考慮用反證法進行證明，整個過程要求有較好的基礎(chǔ)知識和較強的推理證明能力.

三、與集合相關(guān)的綜合題

例3（2016江蘇高考壓軸題）記U=｛1，2，…，100｝.對數(shù)列｛an｝（n∈N*）和U的子集T，若T=φ，定義ST=0；若T=｛t1，t2，…，tk｝，定義ST=at1+at2+…+atk.例如：T=｛1，3，66｝時，ST=a1+a3+a66.現(xiàn)設(shè)｛an｝（n∈N*）是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)T=｛2，4｝時，ST=30.

（1）求數(shù)列｛an｝的通項公式；

（2）對任意正整數(shù)k（1≤k≤100），若T?｛1，2，…，k｝，求證：ST＜ak+1；

（3）設(shè)C?U，D?U，SC≥SD，求證：SC+SC∩D≥2SD.

分析：本題新定義了數(shù)列與集合間的某種關(guān)系，要求根據(jù)新定義處理給出條件的有關(guān)問題，考查運用新知識分析解決問題能力（.1）根據(jù)及時定義，列出等量關(guān)系Sr=a2+a4=3a1+27a1=30a1，解出首項a1=1，根據(jù)等比數(shù)列通項公式寫出通項公式（.2）數(shù)列不等式證明，一般是以算代征，而非特殊數(shù)列一般需轉(zhuǎn)化到特殊數(shù)列，便于求和，本題根據(jù)子集關(guān)系，先進行放縮為一個等比數(shù)列Sr≤a1+ a2+…+ak=1+3+…+3k-1再利用等比數(shù)列求和公式得Sr≤（3k-1）＜3k（.3）利用等比數(shù)列和與項的大小關(guān)系，確定所定義和的大小關(guān)系：設(shè)A=C（CC∩D），B=C（DC∩D），則A∩B=φ，因此由SC≥SD?SA≥SB，因此A∪B中最大項必在A中，由（2）得SA≥2SB?SC-SC∩D≥2（SD-SC∩D）?SC+SC∩D≥2SD，（2）為（3）搭好臺階，只要挖掘其蘊含關(guān)系，利用分類討論的方法則不難解決.

解：（1）由已知得an=a·13n-1，n∈N*.

于是當(dāng)T=｛2，4｝時，Sr=a2+a4=3a1+27a1=30a1.

又Sr=30，故30a1=30，即a1=1.

所以數(shù)列｛an｝的通項公式為an=3n-1，n∈N*.

（2）證明：因為T?｛1，2，…，k｝，an=3n-1＞0，n∈N*，所以Sr≤a1+a2+…+ak=1+3+…+3k-1=（3k-1）＜3k.因此，Sr＜ak+1.

（3）證明：由條件結(jié)合集合間的關(guān)系，考慮分三種情況證明.

①D是C的子集，則SC+SC∩D=SC+SD≥SD+SD=2SD.

②C是D的子集，則SC+SC∩D=SC+SC=2SC≥2SD.

③D不是C的子集，且C不是D的子集.

令E=C∩CUD，F(xiàn)=D∩CUC，則E≠φ，F(xiàn)≠φ，E∩F=φ.

于是SC=SE+SC∩D，SD=SF+SC∩D，進而由SC≥SD，得SE≥SF.

設(shè)k是E中的最大數(shù)，l為F中的最大數(shù)，則k≥1，l≥1，k≠l.

由（2）知，SE＜ak+1，于是3l-1=al≤SF≤SE＜ak+1=3k，所以l-1＜k，即l≤k.

又k≠l，故l≤k-1，

故SE≥2SF+1，所以SC-SC∩D≥2（SD-SC∩D）+1，

即SC+SC∩D≥2SD+1.

綜合①②③知，SC+SC∩D≥2SD.

評析：本小題主要考查接受新知識能力，引入新定義，要求利用新定義結(jié)合條件和集合概念解決相

關(guān)問題，過程涉及分類探索、判斷推理等重要思想方法.試題立意新穎，突出創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)閱讀能力，考查靈活運用知識分析問題和解決問題能力，具有選拔性質(zhì).

四、與相關(guān)知識交匯的綜合題

試題似乎考數(shù)列但又不單純?yōu)閿?shù)列，尤其注意在知識交匯處考查，設(shè)計了許多層次恰當(dāng)、合理的綜合性問題，使數(shù)列與高中階段相關(guān)知識相結(jié)合，特別是數(shù)列與不等式等知識相結(jié)合，考查不等式證明的方法、技巧.

例4（2016年四川高考理）已知數(shù)列｛an｝的首項為1，Sn為數(shù)列｛an｝的前n項和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N*.

（1）若2a2，a3，a2+2成等差數(shù)列，求an的通項公式；（2）設(shè)雙曲線x2-=1的離心率為en，且e2=，證明：

分析：本題也是屬于中檔題，難度不大.問題（1）由條件Sn+1=qSn+1，利用n≥2，an=sn-sn-1的關(guān)系可求得通項an關(guān)于q的關(guān)系式，再結(jié)合條件2a2，a3，a2+2成等差數(shù)列可求得an；問題（2）考查數(shù)列與解析幾何交匯問題，由條件易求得與q的關(guān)系式，又=可求得q進而得到e，再結(jié)n合放縮法求得結(jié)果.

解：（1）由已知，Sn+1=qSn+1，Sn+2=qSn+1+1，兩式相減得到an+2=qan+1，n≥1.

又由S2=qS1+1得到a2=qa1，故an+1=qan對所有n≥1都成立.

所以，數(shù)列｛an｝是首項為1，公比為q的等比數(shù)列.從而an=qn-1.

由2a2，a3，a2+2成等比數(shù)列，可得2a3=3a2+2，即2q2= 3q+2，，則（2q+1）（q-2）=0，

由已知，q＞0，故q=2.所以an=2n-1（n∈N*）.

（2）由（1）可知，an=qn-1.所以雙曲線x2-的離心率

評析：本題（1）考查數(shù)列通項與前n項和之間的關(guān)系，如何利用這種關(guān)系求通項；（2）則把數(shù)列與解析幾何知識相結(jié)合，考查知識間的聯(lián)系，尤其是如何根據(jù)條件把等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等量關(guān)系，通過放縮方法達到求解目的.

總之，高考數(shù)列問題的新題型是根據(jù)考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和能力的需要，教學(xué)中要用聯(lián)系的觀點培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，不斷尋求數(shù)列與相關(guān)知識間新穎巧妙的聯(lián)系與組合，特別是加強對數(shù)列與整數(shù)的性質(zhì)、集合關(guān)系、不等式等問題聯(lián)系，不斷提高邏輯推理能力和分析解決問題能力，要用變化創(chuàng)新的思想去分析解決出現(xiàn)的新題型，使數(shù)列知識?？汲Ｐ?

蔡旦燕.源于課本回歸本質(zhì)——對一道高考題的解題探究與拓展延伸［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（10）.