許衛(wèi)兵

【編者按】小學(xué)數(shù)學(xué)練習(xí)課，是當(dāng)前小學(xué)階段存在最久，也是最常見(jiàn)的課型。在實(shí)際授課時(shí)，受教師自身教學(xué)意識(shí)的偏差、專(zhuān)業(yè)知識(shí)的不足，抑或是教學(xué)進(jìn)度的催趕的影響，練習(xí)課總是缺失自己在教學(xué)任務(wù)中應(yīng)有的地位。而對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，傳統(tǒng)的練習(xí)課枯燥、機(jī)械，很容易使他們失去學(xué)習(xí)興趣，效果大打折扣。如何將傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)練習(xí)課上出新意，讓練習(xí)課成為新授課的有效助力，重獲其應(yīng)有的重視？

作為日常教學(xué)的一種基本課型——練習(xí)課，教師們并不陌生。但是，練習(xí)課要上得好，卻非易事。究其原因，有的教師認(rèn)為，練習(xí)課就是將新學(xué)的知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固，沒(méi)有了新鮮感，也就沒(méi)有了吸引力；有的教師認(rèn)為，練習(xí)課的素材比較單一，教材中基本都有編排，按部就班、照本宣科即可，“泛不起多大波瀾”；有的教師認(rèn)為，學(xué)生經(jīng)過(guò)前期學(xué)習(xí)后，形成了一定的差異，顧此就會(huì)失彼，難以調(diào)和……

這些看法在一定程度上道出了練習(xí)課整體水平不高的原因。然而，要解決這些問(wèn)題，還必須深究現(xiàn)象背后隱藏的思想根源。首先是“知識(shí)本位”觀，認(rèn)為復(fù)習(xí)課就是鞏固所學(xué)知識(shí)，加深理解，提高熟練程度，提高解題技巧?！皶?huì)”與“不會(huì)”，“對(duì)”與“不對(duì)”成了很多練習(xí)課唯一的評(píng)價(jià)指標(biāo)。其次是“齊步走”的統(tǒng)一性，不只是全班學(xué)生以一個(gè)步調(diào)完成同樣的任務(wù)，更包含著用統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量所有的學(xué)生。再者就是任務(wù)的單向性，整節(jié)課都是教師給學(xué)生發(fā)指令，學(xué)生遵照安排機(jī)械地“被練習(xí)”。針對(duì)這些深層思想根源，賁友林老師在《數(shù)學(xué)練習(xí)課：審視與重建》一文中用一連串的疑問(wèn)引發(fā)我們的深思：我們?cè)陉P(guān)注學(xué)生為什么練習(xí)的時(shí)候，是否也在關(guān)注學(xué)生練習(xí)什么，怎樣練習(xí)，練習(xí)過(guò)程中的情感與態(tài)度以及練習(xí)的感受與效果呢？我們是否發(fā)現(xiàn)學(xué)生通過(guò)練習(xí)熟能生巧了呢？是否存在熟能生厭的現(xiàn)象？不同的學(xué)生往往會(huì)出現(xiàn)不同的錯(cuò)誤，有著不同的練習(xí)需要，作為教師，如何面向全體而又關(guān)注差異？學(xué)生能否參與題目的設(shè)計(jì)與安排？他們的主動(dòng)性、創(chuàng)造性是被保護(hù)、激發(fā)，還是被拘囿、抑制？

挖掘思想根源也好，提出質(zhì)疑也好，實(shí)質(zhì)上都是希望從根本上解決練習(xí)課總是在低層次徘徊的局面。個(gè)人以為，練習(xí)課雖然屬于與新授課、復(fù)習(xí)課相并列的不同課型，但都應(yīng)該體現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂的價(jià)值追求，凸顯數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì)，落實(shí)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的目標(biāo)。換言之，它的價(jià)值和目標(biāo)應(yīng)該與新授課保持較高的一致性。那數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的總體目標(biāo)和任務(wù)是什么呢？鄭毓信教授在其《數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)》一書(shū)中指出：從數(shù)學(xué)教學(xué)或數(shù)學(xué)教育過(guò)程來(lái)看，應(yīng)更加強(qiáng)調(diào)“通過(guò)數(shù)學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維”，即“將數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)與具體數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)很好地結(jié)合起來(lái)”“用思維方法的分析去帶動(dòng)具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)”。這在一定程度上表明，無(wú)論過(guò)去、現(xiàn)在，還是將來(lái)，數(shù)學(xué)課堂都應(yīng)該基于“思維”教，圍繞“思維”學(xué)，讓學(xué)生獲得良好的思維啟迪，并“逐步學(xué)會(huì)更清晰、更合理、更深入地思考問(wèn)題”，進(jìn)而提升學(xué)習(xí)質(zhì)量、生活質(zhì)量乃至人生境界。

從這一角度來(lái)看，數(shù)學(xué)練習(xí)課應(yīng)該去除形式，凸顯本質(zhì)，摒棄“知識(shí)中心”，建立起新的教學(xué)思維。這種教學(xué)思維的核心，就是要突出與數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)相匹配的數(shù)學(xué)思考與數(shù)學(xué)思維。

一、建立整體性思維，促進(jìn)建構(gòu)

數(shù)學(xué)是整體的。數(shù)學(xué)的整體性主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只要關(guān)注到系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)就會(huì)事半功倍。作為新知學(xué)習(xí)結(jié)束之后的練習(xí)課，很有必要突出整體性思維的引導(dǎo)，促進(jìn)認(rèn)知建構(gòu)。就如，在一年級(jí)學(xué)習(xí)完加法和減法之后，一圖四式（即看圖寫(xiě)出兩道加法算式和兩道減法算式）是常見(jiàn)的練習(xí)題。這一內(nèi)容，實(shí)質(zhì)上跟一年級(jí)最初認(rèn)數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)的“分與合”相連（如圖1），所有的一圖四式都可以用其中的第三幅分支圖模型來(lái)表達(dá)——從“分”的角度想，就是兩道減法；從“合”的角度想，就是兩道加法。隨后，學(xué)生還會(huì)接觸到含有擴(kuò)線的問(wèn)題解決（如圖2），也都可以用“分與合”的思路以及分支圖模型來(lái)表達(dá)——求總數(shù)，就是“合”，“？”就在分支圖的總數(shù)部分，而部分?jǐn)?shù)是已知的（可以畫(huà)“√”表示）；求部分?jǐn)?shù)，就是“分”，“？”就在分支圖任意一個(gè)部分?jǐn)?shù)的方框內(nèi)，其余的都是已知的。再往后，還會(huì)出現(xiàn)純文字的加減法解決實(shí)際問(wèn)題，也可以用分支圖來(lái)轉(zhuǎn)換，輔以“√”和“？”。這樣，整個(gè)一年級(jí)加減法的學(xué)習(xí)，不僅有了主線和靈魂，還建立了直觀模型。學(xué)生的整體性建構(gòu)一旦形成，那學(xué)習(xí)就會(huì)輕松而高效。而這樣的教學(xué)理解，應(yīng)該貫穿在與此相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容的新授課、練習(xí)課與復(fù)習(xí)課中。有些教師十分重視學(xué)生用圖形的方式來(lái)整理學(xué)習(xí)成果（如“思維導(dǎo)圖”），是值得倡導(dǎo)和推廣的，因?yàn)橛蒙鷦?dòng)、鮮活、形象的方式來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)，會(huì)不斷滋養(yǎng)學(xué)生的整體性、結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)性思維，讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要“法寶”。

二、建立過(guò)程性思維，促進(jìn)理解

探討數(shù)學(xué)練習(xí)課，繞不開(kāi)過(guò)程和結(jié)果這個(gè)話題。這是因?yàn)椋爸亟Y(jié)果，輕過(guò)程”的現(xiàn)象一直存在于日常練習(xí)課教學(xué)中。這里的結(jié)果，可以看成練習(xí)題最后的答案，也可以看成是練習(xí)課所要達(dá)到的效果。在傳統(tǒng)教學(xué)觀念中，人們常常采用二元思維將兩者對(duì)立起來(lái)，于是就有了“重結(jié)果，輕過(guò)程”“重過(guò)程，輕結(jié)果”“既要重過(guò)程，又要重結(jié)果”等說(shuō)法。如果從促進(jìn)學(xué)習(xí)思考、發(fā)展學(xué)生思維的角度來(lái)看，二者更應(yīng)該是統(tǒng)一的、整體的，即“過(guò)程”孕育著“結(jié)果”，“結(jié)果”就在“過(guò)程”中，“過(guò)程”就是“結(jié)果”，“結(jié)果”也是一種“過(guò)程”。就如，在學(xué)習(xí)“長(zhǎng)方形和正方形的認(rèn)識(shí)”后，有這樣一道練習(xí)題：“請(qǐng)?jiān)诜礁駡D上畫(huà)一個(gè)長(zhǎng)方形，再在長(zhǎng)方形中畫(huà)一個(gè)最大的正方形?！庇捎趯W(xué)習(xí)水平的差異，學(xué)生中出現(xiàn)將正方形畫(huà)到長(zhǎng)方形外面，正方形畫(huà)在長(zhǎng)方形內(nèi)部（邊長(zhǎng)小于寬），正方形有兩條邊長(zhǎng)和長(zhǎng)方形的長(zhǎng)重合等情況是很自然的，但是面對(duì)這三種現(xiàn)象，教師是應(yīng)該直接讓學(xué)生知道答案（正方形有兩條邊長(zhǎng)和長(zhǎng)方形的長(zhǎng)重合），還是讓學(xué)生展示自己的畫(huà)圖成果，講述自己的思考并相互評(píng)價(jià)呢？很顯然，我們需要的是后者，也就是讓學(xué)生首先呈現(xiàn)正方形畫(huà)在外面的圖，讓大家都明白看清題目要求很重要。然后再來(lái)看沒(méi)有畫(huà)在外面的情況，相互討論和辨析，最終弄明白“長(zhǎng)方形里最大的正方形”是怎么回事。在這一“逐步逼近答案”的過(guò)程中，學(xué)生收獲的不只是解決了所給問(wèn)題，更獲得交流、碰撞、研討的深刻體驗(yàn)。

由此想開(kāi)來(lái)，我們不僅要關(guān)注學(xué)生練習(xí)的過(guò)程、體驗(yàn)、感悟，也要將所學(xué)和所用的靜態(tài)數(shù)學(xué)知識(shí)看成動(dòng)態(tài)的過(guò)程。例如，在平均數(shù)的練習(xí)中，有教師形成板書(shū)（如圖3），并揭示出：平均分就是“把一些東西分成了幾個(gè)幾”的過(guò)程。應(yīng)該說(shuō)，將“平均分”看成一個(gè)“過(guò)程”，這是對(duì)“平均分”意義的豐富和具體化。從整個(gè)知識(shí)系統(tǒng)來(lái)看，賦予“平均分”以“過(guò)程”意義，影響很大。就如，隨后即將學(xué)習(xí)用除法算式來(lái)表示平均分的數(shù)學(xué)問(wèn)題，除法算式的結(jié)構(gòu)模型為“□÷□=□”，第一個(gè)“□”代表分的總數(shù)，“÷□”表示怎樣分，“=□”表示分得的結(jié)果是什么。算式的前后順序跟平均分的過(guò)程正好是對(duì)應(yīng)著的，除法算式的學(xué)習(xí)難度明顯降低了。

三、建立邏輯性思維，培育理性

嚴(yán)密的邏輯性是數(shù)學(xué)學(xué)科重要的特點(diǎn)。而嚴(yán)密性的背后，蘊(yùn)含著極強(qiáng)的數(shù)學(xué)思考和理性思維。數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵十分豐富，密切的聯(lián)系、嚴(yán)密的數(shù)理、抽象的概念、恒定的規(guī)則等，這些都是數(shù)學(xué)內(nèi)容的理性表達(dá)。因此，學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、上練習(xí)課都不能停留在知道“是什么”，還要明白“為什么”。對(duì)“為什么”的追問(wèn)可以看成是培育學(xué)生理性思維的一個(gè)方面。

數(shù)學(xué)知識(shí)作為一種抽象的存在，很多時(shí)候都超越經(jīng)驗(yàn)，必須借助于理性的抽象思考才能領(lǐng)悟其本質(zhì)。教師在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，搭建合理的想象起飛跑道，才能助其實(shí)現(xiàn)富有邏輯的抽象，達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)屬性的理性認(rèn)識(shí)。例如，在“觀察物體”的教學(xué)中，學(xué)生很容易提出“看到的一前一后兩個(gè)正方體的面并非等大，為什么卻要畫(huà)成一樣大”這樣的問(wèn)題。教師就應(yīng)當(dāng)清楚數(shù)學(xué)上所畫(huà)的視圖不同于美術(shù)中的透視，而是用平行光線正投影得到的物體輪廓。如何跨越經(jīng)驗(yàn)與抽象的視圖之間的鴻溝？教師不妨讓學(xué)生逐漸遠(yuǎn)離物體，體會(huì)長(zhǎng)距離下人的視線對(duì)于小物體趨近于平行線時(shí)所看到的兩個(gè)正方形趨近等大。另一方面，這種畫(huà)法所得結(jié)果的唯一性避免了根據(jù)人眼觀察物體因距離遠(yuǎn)近而結(jié)果各不相同不利于數(shù)學(xué)交流的尷尬，體會(huì)三視圖畫(huà)法的優(yōu)越性，感悟數(shù)學(xué)理性的價(jià)值。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)的邏輯與理性，和批判性思維緊密相關(guān)。在練習(xí)中，多問(wèn)“為什么”，并為自己的結(jié)論進(jìn)行解釋與說(shuō)明，對(duì)產(chǎn)生的結(jié)論進(jìn)行質(zhì)疑和論證，長(zhǎng)此以往，理性的哲思必將塑造學(xué)生的理性氣質(zhì)。

四、建立開(kāi)放性思維，催生智慧

梁夢(mèng)莉老師與雷曉云老師在《小學(xué)數(shù)學(xué)練習(xí)系統(tǒng)的特點(diǎn)分析》一文中指出：“相比于傳統(tǒng)教科書(shū)而言，新教材的練習(xí)系統(tǒng)在類(lèi)型上有了很大的變化，增加了估算題、探索題、開(kāi)放題、實(shí)踐題等新題型，這些新題型蘊(yùn)含了新的數(shù)學(xué)教育理念。探索題主要是讓學(xué)生通過(guò)自己觀察來(lái)探索數(shù)學(xué)規(guī)律；開(kāi)放題則沒(méi)有唯一的答案，學(xué)生可以自由發(fā)揮，有利于發(fā)散思維的培養(yǎng)；實(shí)踐題有動(dòng)手操作題、調(diào)查統(tǒng)計(jì)題，可以讓學(xué)生在實(shí)際操作中體會(huì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的意義”。

個(gè)人以為，這種變化與新課程改革“培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力”的人才目標(biāo)是相適應(yīng)的，也是與當(dāng)前漸漸升溫的核心素養(yǎng)培養(yǎng)相吻合的。理想的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該具有很強(qiáng)的開(kāi)放性，課內(nèi)向課外打開(kāi)，自我向他人打開(kāi)，現(xiàn)實(shí)向虛擬打開(kāi)，有限向無(wú)限打開(kāi)……在各種各樣的“打開(kāi)”中，美妙、美好相伴而生，驚訝、驚喜、驚奇、驚嘆紛至沓來(lái)。于是，數(shù)學(xué)與生活、探究與發(fā)現(xiàn)、成功與享受都將融為一體，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的世界變得無(wú)比精彩。

坦率地講，教材中的練習(xí)開(kāi)放度小、思路單一、答案唯一已是司空見(jiàn)慣，制約著教師的教學(xué)思維，也影響著學(xué)生的思維發(fā)展。因此，教師在設(shè)計(jì)練習(xí)時(shí)，要善于對(duì)“學(xué)材”進(jìn)行加工和改造，努力體現(xiàn)出開(kāi)放性。只要開(kāi)放，就會(huì)有很多不確定性，在不確定的學(xué)習(xí)情境中，不同的學(xué)生就會(huì)有多樣化的思考——或是想法數(shù)量上的差異，或是解決問(wèn)題方法上的差異，或是想法水平上的差異，有了差異，自然就有了交流和共享，有了修正和補(bǔ)充，有了生成和共進(jìn)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)和學(xué)生創(chuàng)新實(shí)踐能力的提高就有了平臺(tái)和載體。

總的說(shuō)來(lái)，數(shù)學(xué)練習(xí)課，目的不應(yīng)只是鞏固知識(shí)、提高能力，更為重要的是激發(fā)思考、錘煉思維、培育智慧。有了這樣的方向，我們必須改變?cè)械男凶呗窂?，讓練?xí)課煥發(fā)出耀眼的光芒！

（作者單位：江蘇省海安縣城南實(shí)驗(yàn)小學(xué)）