江蘇省南通市城中小學(xué) 居海霞

談小學(xué)數(shù)學(xué)中的抽象思想方法

江蘇省南通市城中小學(xué) 居海霞

小學(xué)數(shù)學(xué)教科書，既呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程，又蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想。同樣的教科書，由于對(duì)其數(shù)學(xué)思想方法、智力因素挖掘程度的不同，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果、思維發(fā)展就不一樣。

比如，一年級(jí)“20以內(nèi)的進(jìn)位加法”的整理復(fù)習(xí)中，我們會(huì)看到，有的老師會(huì)讓學(xué)生橫著背、豎著背、斜著背，背到脫口而出，達(dá)成熟練口算的目標(biāo)；有的老師會(huì)組織學(xué)生去觀察、發(fā)現(xiàn)，交流自己的發(fā)現(xiàn)。在觀察交流中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)每一列算式一個(gè)加數(shù)不變，另一個(gè)加數(shù)不斷加1，和也隨著加1……，初步感受其中的函數(shù)思想。

所以，我們應(yīng)從數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想兩方面分析研究教學(xué)內(nèi)容，不但要思考具體的教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，同時(shí)要思考分析這些內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理和模型。本文，主要從抽象的角度出發(fā)，闡述其思想對(duì)于學(xué)生思維的發(fā)展。

一、直觀、形象的感性認(rèn)識(shí)是抽象的前提

比如：教學(xué)“小數(shù)的性質(zhì)”。首先，由學(xué)生熟悉的鉛筆、橡皮的單價(jià)引出教學(xué)活動(dòng)。學(xué)生可以借助于“元與角”之間的關(guān)系，0.3元是3角，0.30元也是3角，得出0.3元=0.30元。學(xué)生也可以借助于方格圖，用一個(gè)正方形表示“1元”。0.3元，就要將這個(gè)正方形平均分成10份，表示其中的3份；0.30元，要將這個(gè)正方形平均分成100份，表示其中的30份。再將這兩個(gè)圖形進(jìn)行比較，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)“0.3元=0.03元”。

再通過(guò)長(zhǎng)度單位的情境等，在這些感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生舍棄不同的數(shù)值、不同的單位名稱這些非本質(zhì)特征，而區(qū)分出小數(shù)的末尾添上“0”或去掉“0”，小數(shù)的大小不變這個(gè)共同的本質(zhì)特征。在這里，層層遞進(jìn)，教師引領(lǐng)學(xué)生積累充分的感性認(rèn)識(shí)，再?gòu)木唧w到抽象，在“變中有不變”中體會(huì)抽象思想。

二、抽象要以建立合適的抽象層次為基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)抽象不是一次完成的，而是要建立合適的抽象層次，從借助于具體事物的較低層次的抽象逐步發(fā)展到借助于表象或者數(shù)學(xué)概念的較高層次的抽象。

例如，兩位數(shù)加兩位數(shù)的筆算不進(jìn)位加法，這是小學(xué)階段列豎式筆算加法的起始課。要得出“相同數(shù)位對(duì)齊，從個(gè)位加起”的豎式計(jì)算方法，要經(jīng)歷一個(gè)有層次的抽象活動(dòng)。

首先，在生活情境中得出加法算式：45+31

接下來(lái)，經(jīng)歷這樣的三個(gè)層次：

第一個(gè)層次：擺小棒計(jì)算。先擺45根小棒，再擺31根，學(xué)生在擺的過(guò)程中，體會(huì)將1捆1捆的小棒相對(duì)應(yīng)相加，1根1根的小棒相對(duì)應(yīng)相加。這個(gè)過(guò)程是實(shí)物抽象。

第二個(gè)層次：撥計(jì)數(shù)器計(jì)算。在撥珠的過(guò)程中，感受個(gè)位相加，要在個(gè)位上撥珠，十位相加，要在十位上撥珠。這是半符號(hào)抽象。

第三個(gè)層次：列豎式計(jì)算。這是符號(hào)抽象。

可以感受到，在第一層次的“擺小棒”和第二層次的“撥計(jì)數(shù)器”的活動(dòng)中，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法，實(shí)現(xiàn)最終抽象為符號(hào)的目的。經(jīng)歷了這樣的有層次的抽象活動(dòng)，學(xué)生才能積累完整的抽象的經(jīng)驗(yàn)，從而才能感悟抽象的數(shù)學(xué)思想。

三、經(jīng)歷從許多事物中抽出共同本質(zhì)屬性的抽象過(guò)程

張奠宙認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的對(duì)象是抽象的、形式化的思想材料。”思想材料進(jìn)入頭腦必須經(jīng)歷過(guò)程，這樣思想材料才能成為他（學(xué)生）的材料。

在基礎(chǔ)性概念的形成階段，讓學(xué)生經(jīng)歷從許多事物中抽出共同本質(zhì)屬性的抽象過(guò)程，經(jīng)歷把事物的共同特點(diǎn)歸結(jié)在一起并概括、建立概念的過(guò)程，，學(xué)生才能發(fā)展出以概念為思維材料的抽象思維能力。

比如：三角形高的教學(xué)。四年級(jí)學(xué)生很難從文字表述上抽象理解三角形高的概念。盡管學(xué)生能背出什么是三角形的高，但一旦動(dòng)手量或畫的時(shí)候就顯得困難重重，常畫一條不垂直于底的虛線，認(rèn)為是高。

教學(xué)中，可以由易到難，先從直角三角形的一條直角邊為底，找相對(duì)應(yīng)的高，這里的高所在位置是顯性的。接著，再給三角形“翻跟頭”，讓學(xué)生看到三角形的三條邊都可以做“腳底（底）”，每條底上都會(huì)有相對(duì)應(yīng)的“身高”（高）。其中以斜邊為底的高的測(cè)量是難點(diǎn)，因?yàn)槠渌谖恢脹](méi)有線條標(biāo)識(shí)，順理成章讓學(xué)生用虛線將其所在位置標(biāo)識(shí)出來(lái)。

在研究完直角三角形的三條高后，再引導(dǎo)學(xué)生找銳角三角形的三條高，并繼續(xù)思考鈍角三角形的三條高，在這樣的過(guò)程中，積累了有關(guān)三角形高的大量感性的認(rèn)識(shí)，從中抽象出有關(guān)高的本質(zhì)屬性：“從頂點(diǎn)到底邊的垂直距離?！?/p>

四、抽象出的方法要能解決這一類的數(shù)學(xué)問(wèn)題

數(shù)學(xué)思想方法是反映數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的，理解和解決一類數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想和能力，不是只適用于特定的內(nèi)容和特定的情境的方法。

比如：認(rèn)識(shí)數(shù)的時(shí)候，數(shù)的方法很多，可以兩個(gè)兩個(gè)地?cái)?shù)，五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)，這些在一定的情境中是適用的。而對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)，通用的方法是十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

而學(xué)生對(duì)十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的掌握，不只是對(duì)于理解20以內(nèi)的數(shù)有價(jià)值，進(jìn)一步理解更大的數(shù)同樣是這樣的方法。所以，抽象出的方法可以解決這一類的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

數(shù)學(xué)思想是基于基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力實(shí)現(xiàn)的，并且外化于運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力解決問(wèn)題的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，數(shù)學(xué)基本思想與學(xué)習(xí)態(tài)度等核心素養(yǎng)總是表現(xiàn)出內(nèi)隱的特質(zhì)。