江蘇省連云港市贛榆一中 賀小健

題海無邊，反思是舟
——解題反思：撥開迷霧見晴天

江蘇省連云港市贛榆一中 賀小健

羅增儒說：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)生數(shù)學(xué)的地方都無一例外地充滿著數(shù)學(xué)解題活動(dòng)。”學(xué)數(shù)學(xué)離不開解數(shù)學(xué)題，解題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要手段與途徑，解題就是讓學(xué)生學(xué)習(xí)新知、發(fā)展智力、提高能力，高考也正是通過解題來考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和學(xué)習(xí)效果。高中三年，解數(shù)學(xué)題占據(jù)了學(xué)生大半時(shí)間，解題無數(shù)，可面對高考數(shù)學(xué)區(qū)區(qū)數(shù)題，卻誠惶誠恐，常有會(huì)而不對、對而不全、撓破腦袋也無計(jì)可施的現(xiàn)象。誠然原因眾多，我們必須承認(rèn)：高考試題是學(xué)科專家千挑萬選、精編細(xì)研、深思熟慮創(chuàng)造而出的，考生平時(shí)解題若不千思萬想、深學(xué)細(xì)究，注定是高考的炮灰。筆者認(rèn)為：數(shù)學(xué)解題必須反思且有法可循。

一、什么是解題反思

美國數(shù)學(xué)教育家波利亞在《怎樣解題》一書中將解題分為四個(gè)階段：“弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧”。其中，“回顧”就是我們現(xiàn)在所指的解題反思。解題反思就是對解題活動(dòng)的反思，它是對解題活動(dòng)深層次的再思考，不僅僅是對數(shù)學(xué)解題的一般性回顧和重復(fù)，更是探究數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中所涉及的知識(shí)、方法、思路、策略等。其目的是認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)，通過解有限道題去學(xué)會(huì)和領(lǐng)悟那種解無限道題的數(shù)學(xué)機(jī)智，最終提高學(xué)習(xí)者的解題能力。

二、高中生解題反思的現(xiàn)狀與原因

筆者曾對本校高一高二年級學(xué)生做隨機(jī)抽樣問卷調(diào)查，問卷的設(shè)計(jì)主要依據(jù)反思能力的內(nèi)涵，調(diào)查高中生解題過程中在計(jì)劃、評價(jià)和自我調(diào)控等能力方面的行為反應(yīng)。

從調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果來看，高中學(xué)生的解題反思大多是淺層次的、低水平的、不自覺的或是被動(dòng)的。習(xí)題教學(xué)中，多以教師講授為主，教師只給學(xué)生介紹已“成形”的解題方法、思路、過程，即側(cè)重求解的結(jié)果，而不重視其求解方法的形成過程分析，不重視思路產(chǎn)生的基礎(chǔ)分析。學(xué)生的解題反思多數(shù)是為了檢查一下自己的結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)答案是否一致，根本沒有進(jìn)一步把問題進(jìn)行深入分析，探討延伸。他們認(rèn)為找到數(shù)學(xué)問題的正確解法并理解其中的邏輯關(guān)系就是學(xué)會(huì)解題，多數(shù)人沒有在解題完成后反思回顧解題過程，對其中的矛盾和方法進(jìn)行歸納和總結(jié)，并進(jìn)行一題多解、一題多變、舉一反三的探尋，即便有些學(xué)生意識(shí)到歸納、總結(jié)的必要，但欠缺相關(guān)的策略和方法而使總結(jié)只是表面，沒有實(shí)際的意義。

三、解題反思內(nèi)容分類

1.反思解題涉及的相關(guān)觀念

首先，反思對題意的理解。解題的第一個(gè)環(huán)節(jié)就是理解題意，即解題者對題目信息進(jìn)行搜集與加工的過程，它是問題求解的前提，筆者認(rèn)為：學(xué)生能對數(shù)學(xué)問題中的文字、圖形進(jìn)行重新表述，即是對問題有了整體把握。其次，反思問題中涉及的數(shù)學(xué)概念。高中數(shù)學(xué)概念是抽象的， 但問題中涉及的數(shù)學(xué)概念是具體的， 反思能加深對這個(gè)概念的理解。

2.反思解題過程中體現(xiàn)出來的關(guān)系

首先，反思數(shù)學(xué)問題中所涉及的知識(shí)間的關(guān)系。在對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行反思時(shí)， 可以歸納出問題中所隱藏著的關(guān)系，以此來豐富認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)。其次，反思這道數(shù)學(xué)問題與相近數(shù)學(xué)問題之間的關(guān)系。通過這些比較，我們就可以對相類似的數(shù)學(xué)問題有更深入的認(rèn)識(shí)和理解。最后，反思解題策略與數(shù)學(xué)問題之間的關(guān)系。在學(xué)習(xí)過程中，可能會(huì)學(xué)到多種解題策略， 但在具體的某個(gè)問題中，常常只需要一個(gè)或兩個(gè)解題策略就足夠。因此，有必要?dú)w納出解題策略與具體數(shù)學(xué)問題中的哪些特點(diǎn)有著更為直接的聯(lián)系，從而感悟出具體的解題策略與某一類數(shù)學(xué)問題之間的聯(lián)系。

3.反思解題中涉及的問題解決策略

首先，反思解題中涉及的數(shù)學(xué)思想方法。這主要是要體會(huì)出數(shù)學(xué)思想方法是怎樣被運(yùn)用到解題過程中的。其次，反思解題中涉及的思維模式。解題的思維模式主要有：波利亞模式、奧加涅相模式、舍費(fèi)爾德模式。在學(xué)習(xí)過程中， 我們總會(huì)有意或無意地形成自己的思維模式。這些思維模式可能是學(xué)習(xí)別人的，也可能自己形成。反思的目的是優(yōu)化自己的思維模式，解題策略的形成不是一蹴而就的，要靠長期的學(xué)習(xí)、反思和總結(jié)。

四、解題反思如何訓(xùn)練

為了讓學(xué)生更容易養(yǎng)成解題反思的習(xí)慣，可讓學(xué)生解題后對自己提三個(gè)問題：

問題1：我是怎樣解這個(gè)問題的

“怎樣解”其實(shí)是在問“怎樣利用已有的知識(shí)解決問題”?；卮疬@個(gè)問題需要學(xué)生先清楚已知條件是什么，問題和解答過程中用到的核心知識(shí)和方法有哪些。反思自己的解題思路，總結(jié)解題規(guī)律，發(fā)現(xiàn)自己在解題中暴露出的知識(shí)能力的缺陷，在題旁寫出摘要。

問題2：我是怎樣想到這樣解的

這個(gè)問題的回答有兩個(gè)要點(diǎn)：①題目和解題過程存在哪些產(chǎn)生式？希望學(xué)生通過分析找出更多的產(chǎn)生式，這些產(chǎn)生式可以是正向的，也可以是逆向的，還可以是變式的。找產(chǎn)生式可以從條件出發(fā)，也可以從結(jié)論出發(fā)。學(xué)生在這個(gè)過程中可以聯(lián)系到更多的知識(shí)，建立更為密集的關(guān)系網(wǎng)，同時(shí)由這些產(chǎn)生式也更容易發(fā)現(xiàn)其他的解法。②解題過程涉及什么解題策略？著重于解題時(shí)涉及的思想方法和思維模式。這個(gè)要點(diǎn)的用意是讓學(xué)生先有這樣的意識(shí)，當(dāng)他有了一定的積累后，才會(huì)更容易關(guān)注解題策略。

問題3：我有什么新收獲

這個(gè)問題的目的包含以下三點(diǎn)：①獲得更多知識(shí)間的聯(lián)系。不是邏輯意義上的聯(lián)系， 而是通過類比、合情推理得到的聯(lián)系， 甚至是個(gè)人直覺上的聯(lián)系。這些聯(lián)系正確與否不重要，隨著學(xué)習(xí)的深入，對這些聯(lián)系的認(rèn)識(shí)也會(huì)更進(jìn)一步，對于不正確的聯(lián)系也就可以得到修正。②歸納解這類問題的一般思路。強(qiáng)調(diào)歸納的一般思路是個(gè)人化的東西，在其他人看來，它可能是錯(cuò)誤的， 但對于個(gè)人來說是有意義的，即使是錯(cuò)誤的，也可以從后續(xù)學(xué)習(xí)中得到修正。③收集解題和反思過程產(chǎn)生的新想法。

題海戰(zhàn)術(shù)中，學(xué)生做題，馬不停蹄、痛苦不堪，卻不知解題反思的價(jià)值，不知解題反思的策略，實(shí)為憾事。古人云：工欲善其事，必先利其器。解題反思正是渡過茫茫大海的巨輪，撥開重重迷霧，到達(dá)成功的彼岸。

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