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        待定系數(shù)法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

        2017-02-21 14:03:45孫婷
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)方法通項(xiàng)表達(dá)式

        孫婷

        在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,待定系數(shù)法是常見(jiàn)的數(shù)學(xué)方法,也是重要的數(shù)學(xué)方法.一般來(lái)說(shuō),用待定系數(shù)法解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),它的結(jié)論是未知的,但結(jié)論的結(jié)構(gòu)是可以判斷出的某種確定的形式.在這種確定的形式中,只要求出其中一些關(guān)鍵的系數(shù),問(wèn)題的結(jié)論就求出來(lái)了.這些關(guān)鍵的系數(shù)叫作待定系數(shù),這種解題方法叫作待定系數(shù)法.待定系數(shù)法解數(shù)學(xué)題的步驟:①確定所求問(wèn)題含待定系數(shù)的解析式;②根據(jù)恒等條件,列出一組含待定系數(shù)的方程;③解方程或消去待定系數(shù),從而使問(wèn)題得到解決.

        例1求(x2+x+3)5展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù).

        解:設(shè)(x2+x+3)5=a10x10+a9x9+…+a1x+a0(a1等是待定的系數(shù)),對(duì)式子兩邊求導(dǎo)數(shù)得5(2x+1)(x2+x+3)4=10a10x9+9a9x8+…+a1,令x=0,則a1=5×34=405.

        例2已知數(shù)列{an}的前2項(xiàng)分別為23、79,以后的各項(xiàng)由公式an+2=23an+1+13an給出,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

        解:由an+2=23an+1+13an可設(shè)an+2+λan+1=μ(an+1+λan)(λ、μ是待定系數(shù)),從而有an+2=(μ-λ)an+1+λμan與an+2=23an+1+13an相比較得μ-λ=23λμ=13,解得λ=13μ=1或λ=-1μ=-13,從而an+2+13an+1=an+1+13an,且an+2-an+1=-13(an+1-an).又a1=23,a2=79,于是an+1+13an=1且an+1-an=19·-13n-1.兩式消去an+1得數(shù)列(an)的通項(xiàng)公式an=34+14×-13n.

        例3已知圓過(guò)點(diǎn)A(1,4),且與過(guò)點(diǎn)B(6,8)的直線相切于點(diǎn)C(3,5),求圓的方程.

        解:由兩點(diǎn)式得過(guò)B,C的直線方程是x-y+2=0.設(shè)所求圓的方程為(x-3)2+(y-5)2+λ(x-y+2)=0(λ是待定系數(shù)),將點(diǎn)(1,4)代入此方程,解得λ=5.再代入(x-3)2+(y-5)2+λ(x-y+2)=0,求得圓方程為x2+y2-x-15y+44=0.

        例4已知x,y,z都是正數(shù),求xy+2yzx2+y2+z2的最大值.

        解:由已知有:xy≤λx2+14λy2,2yz≤μy2+1μz2,λ,μ是正數(shù)(λ、μ是待定的系數(shù))xy+2yz≤λx2+14λy2+μy2+1μz2=λx2+14λ+μy2+1μz2.令λ=14λ+μ=1μ,解得μ=255,λ=52.于是xy+2yz≤52x2+y2+z2.當(dāng)λx2=14λy2,μy2=1μz2,即y=2λx=5x,z=μy=2λμx=2x時(shí)取等號(hào),故xy+zyzx2+y2+z2的最大值52.

        例5已知函數(shù)y=mx2+43x+nx2+1的最大值為7,最小值為-1,求此函數(shù)的表達(dá)式.

        解:求函數(shù)的表達(dá)式,實(shí)際上就是確定系數(shù)m,n的值.將函數(shù)式變形為(y-m)x2-43x+(y-n)=0.因?yàn)閤∈R,所以Δ=(-43)2-4(y-m)(y-n)≥0,即y2-(m+n)y+(mn-12)≤0.①要使函數(shù)有最大值7,最小值-1,亦就是-1≤y≤7.顯然,(y+1)(y-7)≤7,即y2-6y-7≤0.②比較①②系數(shù)得方程組:m+n=6,mn-12=-7.解得m=5,n=1.或m=1,n=5.故所求函數(shù)表達(dá)式為y=5x2+43x+1x2+1或y=x2+43x+5x2+1.

        總之,待定系數(shù)法是一種重要的學(xué)習(xí)方法,也是數(shù)學(xué)研究中一種不可缺少的數(shù)學(xué)方法.本文介紹了待定系數(shù)法在初等數(shù)學(xué)中數(shù)列、解析幾何、導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用,在以后的學(xué)習(xí)中還會(huì)遇到待定系數(shù)法在不定積分中、常微分方程中和初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.通過(guò)以上實(shí)例說(shuō)明了待定系數(shù)法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性.

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