邱貞輝

摘 要：例題和習題的講解是初中數(shù)學課堂教學的重要組成部分，也是初中生學習數(shù)學知識的主要途徑，通過科學地設計例題和習題教學能夠激發(fā)學習興趣、培養(yǎng)良好品質，起到積極的反饋作用。教學中，教師可就數(shù)形結合思想、建模思想和變通思想等方面加以研究，通過對一元二次方程的教學設計，為數(shù)學例題及習題教學設計研究提供參考。

關鍵詞：初中數(shù)學 例題及習題 設計 研究

課堂是學生學習知識的主要途徑，因此教學質量的高低與課堂教學狀況有著密切關系。在課堂教學中，例題及習題的教學與講解會占用較多時間，因此要提高數(shù)學教學質量，必須加強對數(shù)學例題及習題的教學設計研究。

數(shù)學習題浩如煙海，在教學過程中不能面面俱到，但基本上可以分為代數(shù)題、平面幾何題、立體幾何題、解析幾何題等。教師要充分利用各類例題和習題的功能來提高學生的學習效果。

一、例題及習題在教學中的作用

個體學習離不開對具體實例的認識，就像醫(yī)生學習醫(yī)術離不開對相關病例的研究。數(shù)學中的例題就是學生學習過程中的“病歷”，學生通過對這些“病歷”的研究，可學會更多的知識。數(shù)學例題具有基礎性、啟發(fā)性和創(chuàng)新性的特點，是各類數(shù)學知識的精華匯總，是連接課本知識與學生思維的紐帶。

數(shù)學習題就像是醫(yī)生的實習實驗室，學生只有通過對數(shù)學習題的不斷鉆研與攻克，才能鞏固所學知識，才能熟練地運用所學知識，進一步發(fā)展思維能力。數(shù)學習題能夠給學生提供施展才能的平臺，同時也是衡量學生學習狀況的標準，通過對這些問題的解答，學生能夠了解自己的學習狀況，知道自己的弱點，從而調整自己的學習狀態(tài)。

1.激發(fā)興趣，培養(yǎng)良好品質

在數(shù)學教學實踐中，我們可以通過對例題和習題的設計來激發(fā)學生的學習興趣，從而促進學生獲取新知識。例如，教師可以通過改編題干的方法，將學生喜聞樂見的事情轉變?yōu)轭}干，調動學生的學習熱情。另外，學生通過對例題和習題的練習，可以培養(yǎng)自己的邏輯推理能力和分析問題能力，還可以在潛移默化中改變性情，有助于形成追求真理的品質和實事求是的態(tài)度。通過對例題和習題解題思路的探求，能夠培養(yǎng)學生獨立思考和勇于探索的品質；通過對難題的鉆研，能夠培養(yǎng)學生鍥而不舍和堅強的品質。

2.自我檢測，獲取信息反饋

學生的學習情況要通過對相應數(shù)學例題和習題的解答狀況來體現(xiàn)。合理的問題設計可以了解近期的教學狀況，反映學生學習中的不足以及對基本知識和技能的掌握情況。例如，每個知識點學完后，教師可以通過設計練習題的方式讓學生把習題做到作業(yè)本上，使學生在做題的過程中進一步了解自己的學習狀況，同時，也便于教師在批改作業(yè)的過程中掌握學生的學習狀況。

二、例題及習題教學設計

1.突出例題及習題中的數(shù)學思想

數(shù)學思想是對數(shù)學本質的認識，是通過對數(shù)學問題的解答而總結出來的解題指導思想，是數(shù)學教學的靈魂。如果學生能夠正確地掌握數(shù)學思想，就能使數(shù)學解題迎刃而解，便于數(shù)學知識的縱向遷移，使學生養(yǎng)成良好的數(shù)學能力，從而提高學生的數(shù)學成績。

第一，數(shù)形結合思想的運用。我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休。”這句話強調了數(shù)形結合思想的重要性。例如，面積為1的矩形，它的周長的最小值是多少？周長為3的矩形，它的面積最大值是多少？對于這個問題，我們如果單純地從代數(shù)角度來思考就會得出方程xy=1，x+y=3/2，這樣一來，對于學生來說，運用所學知識解答問題就較為困難了。如果我們通過變形將方程xy=1，x+y=3/2，變換為y=1/x，y=-x+3/2，這樣，就變成了學生所熟悉的反比例函數(shù)和一次函數(shù)了。這時再通過作圖，在同一個直角坐標系中畫出對應的圖象，就能明顯地得出結論了。

2.利用建模，培養(yǎng)學生的應用意識

新課標提倡教師在教學過程中應通過“創(chuàng)設情境—建立模型—解答應用”的模式進行教學，這就是數(shù)學教學中的建模意識，從本質上講就是提出問題、分析問題、應用問題，是解決問題的一個過程。例如，一道與學生生活息息相關的題目：一家商店出售衣服，為了搞促銷，先提高成本價的40%，然后又以8折出售，結果每件獲得了15元的利潤，問這件衣服的成本價是多少？這道題可以以一元一次方程為模型，設成本價為x元，那么每件衣服的標價就可以表示為（1+40%）x元，那么實際售價可以表示為（1+40%）×80%x元，利潤可表示為[（1+40%）×80%x-x]元，列出方程（1+40%）×80%x-x=15。解題過程模型可以表示為圖2，解答應用題就是創(chuàng)建這樣一個模型的過程。

3.通過變通題目，促進學生的知識理解

數(shù)學題目浩如煙海，但萬變不離其宗，都是通過幾種數(shù)學知識演變而來的。在教學中，首先，教師應結合教材例題，通過改變命題方式和結構形式來幫助學生加深對某一知識點的理解。其次，通過對習題的不斷變換，開拓學生視野，培養(yǎng)學生思維，提高解題能力。例如，在學習了“勾股定理”內容后，教師可提出以下問題，以幫助學生加深對知識的理解：（1）如果三角函數(shù)a2+b2=c2中a，b，c為銳角三角形的三條邊，那么a2，b2，c2之間存在什么樣的關系呢？（2）如果三角函數(shù)中a，b，c為鈍角三角形的三條邊，那么a2，b2，c2之間存在什么樣的關系呢？（3）如果勾股數(shù)是滿足方程a2+b2=c2的正整數(shù)解，那么方程an+bn=cn（n>2）有沒有正整數(shù)解呢？通過對一系列問題的解答幫助學生加深對勾股定理的理解。

4.注重知識的整體性

數(shù)學知識不是孤立存在的，它是整體中的局部，只有對局部內容教學并與整體相聯(lián)系后，才有利于學生對知識的理解、記憶、匯總與提取。例如，在學習“四邊形”章節(jié)內容后，學生會對學到的平行四邊形、菱形、正方形、矩形、等腰梯形等相關知識有所認識，這些知識都是零散的內容，如果不及時進行匯總與整理，就容易混淆。因此，教師可以通過引導學生繪制圖表，對所學知識進行比較，使認知結構得到優(yōu)化。例如，從四邊形開始分支，什么樣的四邊形為平行四邊形，什么樣的圖形為梯形；平行四邊形可根據角的關系和臨邊關系分為矩形和菱形；根據它們的特殊性，總結出正方形的相關知識；梯形可根據腰和角的性質分為等腰梯形和直角梯形。

三、數(shù)學例題及習題教學設計案例

以初中數(shù)學一元二次方程教學設計為例，第一課時設計思路按照“設置情景—提出問題—建立模型分析問題—應用拓展”來設計。一元二次方程是中學數(shù)學的主要組成部分，首先根據教學點的需要引入了大量實例，教師應引導學生建立一元二次方程，通過對方程的化簡變形來歸納出一元二次方程的概念。

1.創(chuàng)設問題情境，引入課程教學內容

（教師出示掛圖，引導學生回答問題）

問題一：有一塊長方形的地毯（見圖3），四周鑲有寬度相等的花邊，地毯有8 m長，5 m寬，它中央長方形的圖案有18平方米，問花邊有多寬？

問題二：如圖4所示，有一個長為10 m的梯子斜靠在墻上，梯子的最上端在距離地面8 m的地方，由于地滑，梯子的頂端下落了1 m，問梯子的底部到底滑了多遠？

問題三：仔細觀察等式102+112+122=132+142，是否還能找出另外一組五個相連的數(shù)字也符合這樣的特點？

學生回答完問題后，教師繼續(xù)引導學生思考：根據列出的方程，你發(fā)現(xiàn)與以前學過的方程有什么不同嗎？相比以前學過的一元一次方程，你可以給現(xiàn)在的方程取一個名字嗎？

2.現(xiàn)實問題“數(shù)學化”，真正解決問題

教師可引導學生將一些實際問題轉化為常見的數(shù)學問題后再解答，并畫出數(shù)學簡圖（見圖5）。

列出方程（8-2x）（5-2x）=18，（x+6）2+72=102，x2+（x+1）2+（x+2）2=（x+3）2+（x+4）2。深入剖析方程，將上述方程簡化為2x2-13x+11=0，x2+12x-15=0，x2-8x-20=0。通過對方程ax2+bx+c=0中a，b，c三個數(shù)值的討論，引出一元二次方程的條件。

3.鞏固練習與反思

（1）把方程（2x+5）2=4（x-7）2轉化為一元二次方程的一般形式，并找出它們的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。

（2）方程（a+3）x2-13x+11=0，當a滿足什么條件時，該方程為一元二次方程？當a滿足什么條件時，該方程為一元一次方程？

（3）方程（a+3）xb+1-13x+11=0，當b為多少時是一元二次方程？

通過對這些問題的練習，可以幫助學生充分認識一元二次方程，實現(xiàn)教學目標。

最后提出課后思考題：在一次同學聚會上，參加聚會的人兩兩握手，總共握了88次，問從握手的次數(shù)上能否判斷出有多少人參加了聚會？

參考文獻：

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