四川省西南石油大學(xué)理學(xué)院(610500) 羅仕明

四川省巴中市巴州區(qū)凌云中學(xué)(636033) 李柳青

從一類特殊數(shù)列問題的反思中欣賞數(shù)學(xué)的輪換對(duì)稱美

四川省西南石油大學(xué)理學(xué)院(610500) 羅仕明

四川省巴中市巴州區(qū)凌云中學(xué)(636033) 李柳青

問題已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:對(duì)于任意m,n∈ N?,都有Sn+Sm=Sn+m+2n.若a1=1,求a10的值?

本題出現(xiàn)在《課堂新坐標(biāo)(教師用書)》2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章數(shù)列綜合檢測(cè)(蘇教版必修5)中,該題也被很多學(xué)校用以數(shù)列知識(shí)的練習(xí).本文主要針對(duì)本題已有解答方法,對(duì)本題進(jìn)行了深入的分析,發(fā)現(xiàn)本題存在值得探討的誤區(qū)及深思的問題,并從本題的特點(diǎn)抽象出一般化的推論,并給以證明,從中欣賞高中數(shù)學(xué)的輪換對(duì)稱美.

一、退而求其次— 似是而非的方法

在高中數(shù)學(xué)中常見的解決這一類的方法就是特殊化m或n的值,將其轉(zhuǎn)化為遞推數(shù)列的關(guān)系等式,利用遞推關(guān)系式的特點(diǎn)將其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列處理.

(1)特殊化n的值

方法1 在本題中,由于對(duì)于任意m,n∈N?,都有Sn+Sm=Sn+m+2n.便利用退而求其次的辦法,將n的值特殊化處理,使得變量盡量減少,方便解決問題.

令n=1時(shí),有S1+Sm=Sm+1+2.再根據(jù)數(shù)列滿足S1=a1=1,則得到遞推關(guān)系:Sm+1?Sm=?1所以,{Sn}是以首項(xiàng)為1,公差為?1的等差數(shù)列.故前m項(xiàng)和的通項(xiàng)Sm=1?(m?1)=2?m,因此推出a10=S10?S9=?8+7=?1.

方法2 令n=1時(shí)有Sm+1?Sm=?1.對(duì)于此特點(diǎn),利用疊加法解決也是數(shù)列通項(xiàng)的常見方法.即S2?S1=?1,S3?S2= ?1,以此類推Sn?Sn?1= ?1,通過累加法可得Sn?S1= ?(n?1),則Sn=2?n.當(dāng)n>2時(shí),有 an=Sn?Sn?1= ?1;當(dāng) n=1時(shí),有 a1=1;綜上a10=?1.

方法1、2的反思 這兩種方法看似已經(jīng)解決本題,實(shí)則不然.

上兩種方法,實(shí)質(zhì)上得出的數(shù)列{an}的通項(xiàng)滿足:當(dāng)將通項(xiàng)代入題干驗(yàn)證時(shí),得Sn=2?n,Sm=2?m,Sn+m=2?(n+m),即Sn+m=Sn+Sm+2.顯然Sn+m=Sn+Sm+2與題干Sn+Sm=Sn+m+2n不符合.

(2)特殊化m的值

在本題中,既然是對(duì)于任意m,n∈N?,都有Sn+Sm=Sn+m+2n.以上是對(duì)n進(jìn)行特殊化得到的結(jié)果不符合,那我們將m的值特殊化呢?

方法3令m=1時(shí),有Sn+S1=Sn+1+2n.再根據(jù)數(shù)列滿足S1=a1=1,得到Sn+1?Sn=1?2n.對(duì)于此關(guān)系式,高中常見的方法就是利用數(shù)列通項(xiàng)an和前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系求通項(xiàng).由于an+1=Sn+1?Sn,所以an+1=1?2n.故an=1?2(n?1)=3?2n,得a10=?17.

方法3的反思:通過以上特殊化思想,我們發(fā)現(xiàn)不一定此通項(xiàng)是滿足一般性關(guān)系.于是,將通項(xiàng)代入題干進(jìn)行檢驗(yàn).由an=3?2n得Sn=?n2+2n.所以Sn=?n2+2n,Sm=?m2+2m,Sn+m=?(n+m)2+2(n+m)=?n2?m2+2m+2n?2nm.由于Sm+Sn=?n2?m2+2m+2n,得到Sn+Sm=Sn+m+2nm.顯然Sn+Sm=Sn+m+2nm與題干Sn+Sm=Sn+m+2n不符合.

(3)注重特殊化,更不能忽視一般化

特殊化與一般化是人類認(rèn)識(shí)事物的兩個(gè)重要方面,在中學(xué)數(shù)學(xué)中,退而求其次、一般問題特殊化等思想方法非常重要,是解題的兩種基本策略,它們相輔相成.在大多數(shù)問題中,特殊化問題顯得簡(jiǎn)單直觀、容易把握.但是為了使得學(xué)生掌握問題解決方法,我們不能夸大特殊化的作用,因?yàn)樘厥鈫栴}的個(gè)別特性可能會(huì)掩蓋事物的本質(zhì)屬性,給解題帶來干擾.事實(shí)上,我們應(yīng)該在解決較抽象的數(shù)學(xué)問題時(shí),以特殊問題為起點(diǎn),逐步分析、比較、討論,層層深入,從解決特殊問題的規(guī)律中,尋求解決一般問題的方法和規(guī)律[1].也就是說:特殊化是解決問題的手段,將問題一般化才是真正目的;特殊化是解決問題的起點(diǎn),將問題一般化才是終點(diǎn).

本題的問題所在位于題干,由于Sn+Sm=Sn+m+2n,對(duì)于n和m的任意性都成立,那么基于輪換對(duì)稱的思想,將n和m進(jìn)行互換,得到Sn+Sm=Sn+m+2m.

比較兩式,作差之后得到m=n,這顯然與n、m的任意性矛盾.

由此得出此題存在出題錯(cuò)誤,如果學(xué)生僅僅是學(xué)會(huì)特殊化法求解此類型題目,必然會(huì)使得學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握出現(xiàn)偏差.接下來對(duì)此類題型進(jìn)一步反思,尋找其特點(diǎn).

二、進(jìn)一步反思— 欣賞數(shù)列中的輪換對(duì)稱美

基于以上法3的分析,Sn=?n2+2n,Sm=?m2+2m,Sn+m=?n2?m2+2m+2n?2nm還原不了Sn+Sm=Sn+m+2m,除非m=1.所以想到如果題干中是Sn+Sm=Sn+m+2nm該題又會(huì)變?yōu)槭裁辞闆r呢?

從Sn+Sm=Sn+m+2nm這個(gè)式子的結(jié)構(gòu)中可以看出,式子具有輪換對(duì)稱性[2],即交換m、n時(shí),式子結(jié)構(gòu)不改變.對(duì)于此類輪換對(duì)稱的數(shù)列問題在高考中也曾出現(xiàn),此處列出幾個(gè)變式以供欣賞.

變式1已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足:對(duì)于任意m,n ∈ N?,都有 Sn+Sm=Sn+m+2nm,且 a1=1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng);

變式2已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足:對(duì)于任意m,n ∈ N?,都有 Sn+Sm=Sn+m+4nm,且 a1=1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng);

變式3已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足:對(duì)于任意m,n ∈ N?,都有 Sn+Sm=Sn+m+pnm,且 a1=q,(p,q為常數(shù)),求數(shù)列{an}的通項(xiàng);

那么,對(duì)于此類變式問題該如何解決呢?尋找其通性通法去解決此類輪換對(duì)稱的數(shù)列題顯得非常有必要.根據(jù)輪換對(duì)稱的變量等價(jià)性可以聯(lián)想到,令m=n比m=1更具有普適性,并且不會(huì)破壞式子中m,n的任意性.于是,接下來采用此方法對(duì)以上三個(gè)變式進(jìn)行一一分析.

對(duì)于變式1:對(duì)于任意m,n∈N?,都有Sn+Sm=Sn+m+2nm,且a1=1,求通項(xiàng).

令 m=n,當(dāng) n>2時(shí),有2Sn=S2n+2n2、2Sn?1=S2n?2+2(n?1)2,兩式作差得2an=a2n+a2n?1+4n?2,根據(jù)通項(xiàng)等式和求和等式的結(jié)構(gòu),可以發(fā)現(xiàn)其通項(xiàng)滿足一次式結(jié)構(gòu).令an=an+b,帶入上式得:2an+2b=2an+b+2an?a+b+4n?2.通過比較對(duì)應(yīng)系數(shù)可得a= ?2,再根據(jù)數(shù)列滿足a1=1,得到 b=3,即an= ?2n+3.通過檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn),Sn= ?n2+2n,Sm=?m2+2m,Sn+m=?n2?m2+2m+2n?2mn滿足題意.

對(duì)于變式2:對(duì)于任意m,n∈N?,都有Sn+Sm=Sn+m+4nm,且a1=1,求通項(xiàng).

令 m=n,當(dāng) n>2時(shí),有 2Sn=S2n+4n2、2Sn?1=S2n?2+4(n ? 1)2,兩式作差得 2an=a2n+a2n?1+8n?4,根據(jù)通項(xiàng)等式和求和等式的結(jié)構(gòu),可以發(fā)現(xiàn)其通項(xiàng)滿足一次式結(jié)構(gòu).令an=an+b,帶入上式得:2an+2b=2an+b+2an?a+b+8n?4.通過比較對(duì)應(yīng)系數(shù)可得a=?4,再根據(jù)數(shù)列滿足a1=1,得到b=5,即an=?4n+5通過檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn),Sn=?2n2+3n,Sm=?2m2+3m,Sn+m=?2n2?2m2+3m+3n+4nm,滿足題意.

那么此方法推廣至更加一般化的變式3,會(huì)有什么樣的結(jié)論呢?

對(duì)于變式3:對(duì)于任意m,n∈N?,都有Sn+Sm=Sn+m+pnm,且a1=q,(p,q為常數(shù)),求通項(xiàng).

令 m=n,當(dāng)n>2時(shí),有 2Sn=S2n+pn2、2Sn?1=S2n?2+p(n?1)2,兩式作差得2an=a2n+a2n?1+2pn?p,根據(jù)通項(xiàng)等式和求和等式的結(jié)構(gòu),可以發(fā)現(xiàn)其通項(xiàng)滿足一次式結(jié)構(gòu).令an=an+b,帶入上式得:2an+2b=2an+b+2an?a+b+2pn?p通過比較對(duì)應(yīng)系數(shù)可得a= ?p,再根據(jù)數(shù)列滿足a1=q,得到b=p+q,即an=?pn+p+q.經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)其通項(xiàng)滿足題意.綜上便能得到以下推論:

推論若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:對(duì)于任意m,n∈N?,都有Sn+Sm=Sn+m+pnm且a1=q(p,q為常數(shù)),則數(shù)列通項(xiàng)an=?pn+p+q.

三、總結(jié)

數(shù)列問題常見的特殊值法確實(shí)是高中非常重要的方法之一,但是當(dāng)我們將一般問題特殊化之后,一定要對(duì)其一般性進(jìn)行驗(yàn)證.不能只看重特殊而不顧一般,對(duì)某問題進(jìn)行分析時(shí),要從培養(yǎng)學(xué)生“將一般問題特殊化和將特殊問題抽象一般化”的能力出發(fā),讓學(xué)生找到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣,從數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美去欣賞數(shù)學(xué).

[1]史建軍,注重“特殊化”,更不能忽視“一般化”[J],數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2008,27(11):48-51.

[2]張紅梅,對(duì)稱性在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J],教育教學(xué)論壇,2010,(35):120-122.