李 穎

(渤海大學(xué) 教育與體育學(xué)院，遼寧 錦州 121000)

幾何直觀相關(guān)概念和表現(xiàn)形式的文獻(xiàn)綜述

李 穎

(渤海大學(xué) 教育與體育學(xué)院，遼寧 錦州 121000)

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》提出了十個(gè)核心概念，將空間與幾何改成圖形與幾何。“幾何直觀”是重新修訂后新加的一個(gè)核心概念，借助幾何直觀，可以幫助學(xué)生由圖形的直觀性更加形象地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。幾何直觀是一種能力，不僅鍛煉學(xué)生利用實(shí)物去解決實(shí)際問(wèn)題，幾何直觀還可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的滲透。

幾何直觀；幾何直覺(jué)；空間觀念；數(shù)形結(jié)合

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》)提出了十個(gè)核心概念。其中之一“幾何直觀”引起了廣泛的重視，“幾何直觀”利用圖形的形象性幫助學(xué)生更直觀地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題，幫助學(xué)生去理解數(shù)學(xué)，從而進(jìn)一步地提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。幾何直觀是一種能力，不僅鍛煉學(xué)生利用實(shí)物去解決實(shí)際問(wèn)題，幾何直觀還可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的滲透。

一、幾何直觀的含義

《標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)幾何直觀是這樣表述的，利用圖形去描述分析并解決問(wèn)題。幾何直觀利用幾何圖形把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得形象直觀，這樣便于我們?nèi)ヌ剿鹘鉀Q問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。當(dāng)面臨的問(wèn)題看來(lái)比較復(fù)雜時(shí)，有時(shí)候某個(gè)適當(dāng)?shù)妮o助工具就可以化繁為簡(jiǎn)，其中之一便是幾何直觀。幾何直觀像是一種通過(guò)看到的情境和圖形想到的解決問(wèn)題的方法，使問(wèn)題簡(jiǎn)化形象的一種能力，這種能力在學(xué)生的學(xué)習(xí)、生活中是必不可少的。

幾何直觀主要是對(duì)學(xué)生形象思維、直覺(jué)思維的培養(yǎng)，對(duì)于《標(biāo)準(zhǔn)》中創(chuàng)新思維的培養(yǎng)和邏輯思維的培養(yǎng)同樣重要，幾何直觀即是利用幾何的圖形去描述和分析問(wèn)題，使問(wèn)題更形象，使學(xué)生更直觀地理解問(wèn)題[1]。

徐利治說(shuō)，幾何直觀是借助見(jiàn)到的或想到的幾何圖形，利用形象之間的關(guān)系產(chǎn)生對(duì)一些數(shù)量關(guān)系直接的感知[2]。史寧中、孔凡哲將幾何直觀看做通過(guò)見(jiàn)到的或想象出來(lái)的幾何圖形對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象進(jìn)行直接感知的一種能力。幾何直觀是通過(guò)見(jiàn)到的或想到的幾何圖形或物體的形象關(guān)系及具體的事物產(chǎn)生的對(duì)其性質(zhì)或數(shù)量關(guān)系的直接感知，通過(guò)圖形的描述、模型的展示、實(shí)物的形象特征將抽象的概念、定理用直觀的思路去表達(dá)證明。希爾伯特(Hilbert)在《直觀幾何》中提到，圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)描述研究的問(wèn)題，可以幫助我們尋求解決問(wèn)題的思路，可以幫助我們直觀形象地理解得到的結(jié)果[3]。

就像《標(biāo)準(zhǔn)》在知識(shí)與技能里提到的，在具體的情境中去理解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義，根據(jù)具體實(shí)物和模型辨認(rèn)長(zhǎng)方形、正方形等幾何體，通過(guò)一些實(shí)例了解線段射線直線等，雖然數(shù)與代數(shù)在前，圖形與幾何在其后，但實(shí)際上，數(shù)與代數(shù)內(nèi)容相對(duì)較多，學(xué)習(xí)時(shí)間約占整個(gè)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間的三分之二。初中數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的知識(shí)有著符號(hào)化、抽象化且邏輯性強(qiáng)的特性，對(duì)于在小學(xué)階段養(yǎng)成從具體活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中思考問(wèn)題的初中生來(lái)說(shuō)，一時(shí)是難以掌握的，直觀的幾何圖形可以化解代數(shù)知識(shí)的抽象性，以便學(xué)生理解掌握。

1.幾何直觀與空間觀念

在數(shù)學(xué)研究中有兩種傾向，抽象的傾向和直觀的傾向，前者是在錯(cuò)綜復(fù)雜的材料中提煉出其內(nèi)在的邏輯關(guān)系，后者是通過(guò)直觀的圖像實(shí)物去分析解決問(wèn)題，更直接地掌握所研究的對(duì)象，了解他們之間關(guān)系的具體意義。

空間觀念指物體的形狀、大小、位置、距離等一些形象在人腦中的映像，是空間知覺(jué)經(jīng)過(guò)加工的表象，想象出所描述的實(shí)際物體及之間的位置關(guān)系以及描述圖形的運(yùn)動(dòng)變化、依據(jù)等[1]?？臻g觀念偏向于抽象性，從對(duì)象上來(lái)說(shuō)，它不僅涉及根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體，還涉及由想象而出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系以及描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化等能力，這個(gè)比較抽象。幾何直觀更強(qiáng)調(diào)的是圖形的直觀背景，是在直觀感知的基礎(chǔ)之上[4]。

2.幾何直觀與幾何直覺(jué)

直覺(jué)，一般是指不經(jīng)過(guò)分析，不經(jīng)過(guò)邏輯推理去認(rèn)識(shí)事物的過(guò)程而直接快速地進(jìn)行判斷或者認(rèn)識(shí)事物的一種能力[4]。幾何直覺(jué)是學(xué)習(xí)者具有的感性認(rèn)識(shí)，有猜測(cè)成分和經(jīng)驗(yàn)感性的成分在內(nèi)，比較偏向于直覺(jué)猜測(cè)，跟著直覺(jué)去解決幾何問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)幾何定理[3]。幾何直觀主要是通過(guò)豐富的直觀幾何圖形、直觀的模型、直觀的語(yǔ)言等形象描述來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生的一切感官認(rèn)識(shí)以及通過(guò)具體的實(shí)踐探究活動(dòng)使學(xué)生直接感知客觀世界的事物、現(xiàn)象，從而掌握知識(shí)獲得感性經(jīng)驗(yàn)形成能力，其次它可能會(huì)與個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)經(jīng)歷有關(guān)。學(xué)習(xí)者通過(guò)圖形的直觀可從一個(gè)層次看到更為深刻的本質(zhì)。從描述的對(duì)象來(lái)看，直觀的對(duì)象一定是可以看得見(jiàn)的比如矩形，而直覺(jué)的對(duì)象卻不一定是可以看得見(jiàn)的[5]。

3.幾何直觀和數(shù)形結(jié)合

可能會(huì)有人將幾何直觀和數(shù)形結(jié)合相混淆。在小學(xué)課程內(nèi)容中，運(yùn)用得比較多的是用“形”來(lái)解決“數(shù)”的問(wèn)題，這是幾何直觀和數(shù)形結(jié)合的共同之處，所以不加以區(qū)分，但事實(shí)上，這兩者之間還是有區(qū)別的，數(shù)形結(jié)合包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”?！耙孕沃鷶?shù)”是利用“圖形”的直觀特點(diǎn)去降低“數(shù)字”的抽象度，就好比是我們遇到路程問(wèn)題用線段圖的方法來(lái)分析解決這類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的抽象部分。而“以數(shù)解形”是通過(guò)“數(shù)字”的精確性去準(zhǔn)確地讓“圖形”充分量化。好比我們建立平面直角坐標(biāo)系，用數(shù)的準(zhǔn)確性來(lái)描述圖形的變化，比如平移、旋轉(zhuǎn)、求兩點(diǎn)之間的距離之類(lèi)問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合是一種雙向通道，既可以由數(shù)到形，也可以由形到數(shù)。而幾何直觀是通過(guò)用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，或許可以這樣地理解，幾何直觀就是用幾何的一些圖形來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，雖然數(shù)學(xué)問(wèn)題可以通過(guò)圖形、數(shù)字或其他方式解決，但是如果與數(shù)形結(jié)合做個(gè)對(duì)比，那幾何直觀就是一個(gè)由“圖形”出發(fā)的單向通道[6]。

二、幾何直觀的表現(xiàn)形式

史寧中、孔凡哲從義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)角度說(shuō)明，幾何直觀可以分為以下四種具體表現(xiàn)形式：實(shí)物直觀、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀、圖形直觀和替代物直觀。馮崇和將其分為符號(hào)直觀表示、實(shí)物直觀表示、模型直觀表示、圖形直觀表示。從幾何直觀中的幾種表現(xiàn)形式進(jìn)行詳細(xì)地解釋。

1.實(shí)物直觀

建立在實(shí)物層面的直觀即進(jìn)行數(shù)學(xué)直觀形象的思考，從而得到結(jié)論。如通過(guò)易拉罐來(lái)認(rèn)識(shí)柱體，通過(guò)鉛筆盒來(lái)認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體。通過(guò)實(shí)物直觀地演示，把抽象的問(wèn)題利用圖形的直觀形象將其描述得更清楚，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生去感受基本圖形的特征。

2.符號(hào)直觀

3.圖形直觀

由幾何圖形來(lái)描述分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，如學(xué)習(xí)乘法的分配率時(shí)，就可以用求兩個(gè)拼接成的長(zhǎng)方形用兩個(gè)面積和等于大長(zhǎng)方形面積的形式；學(xué)習(xí)圓柱的側(cè)面積時(shí)，可以將易拉罐側(cè)面的商標(biāo)剪開(kāi)來(lái)觀察分析側(cè)面的圖形以及分別對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)和寬。此處還可以借助單位圓來(lái)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，利用數(shù)軸研究一些無(wú)理數(shù)的長(zhǎng)度位置，借助扇形圖、條形圖、直方圖對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析描述等，借助形象的幾何圖形來(lái)分析解決問(wèn)題。

4.替代物直觀

可以是一種直觀圖形，簡(jiǎn)約的符號(hào)實(shí)物直觀或者兩者合并的模型，從而去分析解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。如學(xué)習(xí)進(jìn)位加減法26+9的計(jì)算時(shí)，可以借助小木棒來(lái)計(jì)算；在學(xué)習(xí)雞兔同籠問(wèn)題時(shí)，可以用“圓圈”和“腿”的形式來(lái)表示。

解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)遵循一個(gè)原則，即解決某個(gè)問(wèn)題在不損害其核心的基礎(chǔ)上盡量簡(jiǎn)化，即使是討論最抽象的問(wèn)題也絕不脫離基本的直觀?？傊?，幾何直觀是用圖形符號(hào)語(yǔ)言的直觀方法分析問(wèn)題，從而培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。

[1]中華人民共和國(guó)教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]徐利治.談?wù)勎业囊恍?shù)學(xué)治學(xué)經(jīng)驗(yàn)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2000(5).

[3]D·希爾伯特，S·康福森.直觀幾何(下冊(cè))[M].王聯(lián)芳，譯.北京：高等教育出版社，2013.

[4]孔凡哲,史寧中.關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式——對(duì)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)[J].課程·教材·教法,2012(7).

[5]劉心怡.初三學(xué)生“幾何直觀”現(xiàn)狀的調(diào)查研究[D].南京：南京師范大學(xué)，2014.

[6]顧志能.對(duì)”幾何直觀”概念的幾點(diǎn)辨析[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)，2012(12).

〔責(zé)任編輯：錢(qián)曉玲〕

A Literature Review on the Concepts and Forms of Geometric Visualization

LI Ying

(College of Education and Physical Education, Bohai University, Jinzhou 121000, China)

MathematicsCurriculumStandardforFull-timeCompulsoryEducation(2011Edition), it put forward ten core concepts, space and geometry into graphics and geometry. “Geometric intuition” is a new concept after re-revised one of the core concepts, with the help of geometric intuition, can help students from the visual intuition of a more vivid learning mathematics. Geometric intuition is a capability. Not only can exercise students to use physical to solve practical problems, but also for students to mathematical thinking penetration.

geometric intuition; geometric intuition; space concept; combination of number and form

10.3969/j.issn.1008-6714.2017.01.037

2016-10-26

李穎(1992—)，女，遼寧錦州人，從事學(xué)科教學(xué)(數(shù)學(xué))研究。

G633.6

1008-6714(2017)01-0079-02