☉江蘇省灌云高級(jí)中學(xué) 施建波

以三角函數(shù)為載體的綜合題型探究
——以2015年北京高考題為例

☉江蘇省灌云高級(jí)中學(xué) 施建波

以三角函數(shù)為背景的綜合題型是高考考查的新趨勢(shì)，高考命題在三角函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行知識(shí)的綜合變式.利用三角函數(shù)的特殊性可以簡(jiǎn)化問題，在對(duì)定義域及值域的分析中可以對(duì)復(fù)合性問題進(jìn)行定性分析，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較強(qiáng)，這也是今后教學(xué)的重點(diǎn).

一、真題再現(xiàn)

試題（2015年高考數(shù)學(xué)北京卷）已知函數(shù)f（x）=xcosx-sinx

二、試題點(diǎn)撥及評(píng)析

1.思路點(diǎn)撥

（1）證明f（x）＜0，則是證明函數(shù)的最小值小于等于0，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)即可判定.

2.參考答案

當(dāng)c≤0時(shí)，g（x）=sinx-cx＞0，恒成立.

當(dāng)c≥1時(shí)，g′（x）=cosx-c＜0，此時(shí)有g(shù)（x）=sinx-cx＞0在上是單調(diào)遞減的，所以g（x）＜g（0）=0，則有g(shù)（x）=sinx-cx＜0恒成立.

3.試題評(píng)析

本題目是一道典型的結(jié)合導(dǎo)數(shù)考查三角函數(shù)的綜合題，除需要熟練使用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算之外，還需要充分地利用三角函數(shù)的基本性質(zhì).對(duì)三角函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷是解題的基礎(chǔ)，分類討論是解此類題的主要方法.三角函數(shù)是中學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)學(xué)生的基礎(chǔ)運(yùn)算能力和綜合推理能力要求較高.合理地在掌握三角函數(shù)的基礎(chǔ)上與其他知識(shí)進(jìn)行綜合是高考對(duì)三角函數(shù)內(nèi)容的考查要求.

三、試題變式與拓展

三角函數(shù)在高考題和模擬考題中出現(xiàn)的概率很高，考查的知識(shí)點(diǎn)也比較綜合，下面我們對(duì)兩道相似的題型進(jìn)行賞析.

（2）現(xiàn)給出如下3個(gè)結(jié)論，請(qǐng)分別判斷其正確性，并說明理由.

成立；

（1）求函數(shù)f（x）的最小周期和它的最小值；

上述兩題都是對(duì)三角函數(shù)的考查，求解三角函數(shù)題型都必須準(zhǔn)確地把握函數(shù)的定義域和單調(diào)性，在此基礎(chǔ)上對(duì)函數(shù)進(jìn)行值域的分析，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的特殊性有助于對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究，對(duì)于證明題，則可以對(duì)結(jié)論進(jìn)行適當(dāng)?shù)目s放和變形，在三角函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行求解.

四、教學(xué)反思

1.結(jié)合教材，對(duì)接高考

筆者對(duì)歷年高考題的研讀發(fā)現(xiàn)，高考的命題來源于教材，注重基礎(chǔ)知識(shí)，即使是綜合題也是基礎(chǔ)知識(shí)的結(jié)合.教材是教學(xué)的根本，也是思想方法培養(yǎng)的載體，高考中題型難度較大的考題也是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的組合、拓展，然后賦予了新穎的數(shù)學(xué)背景.高考題是最具有代表性、最為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目碱}，每道題都經(jīng)過了命題組的反復(fù)推敲和檢驗(yàn)，對(duì)于師生教學(xué)和學(xué)習(xí)具有極大的幫助.復(fù)習(xí)中將高考題和課本教材進(jìn)行結(jié)合使用，可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展變式思維，在不變的基礎(chǔ)知識(shí)上進(jìn)行知識(shí)的重整和拓展，為高中的復(fù)習(xí)增添新的活力，也可以提升教師的教學(xué)水平.

2.能力優(yōu)先，強(qiáng)調(diào)綜合

高考是一次選拔性的考試，在注重基礎(chǔ)的前提下也注意對(duì)學(xué)生綜合能力的考查，本題目就考查了三角函數(shù)的基本性質(zhì)以及函數(shù)求導(dǎo)的值域判斷，綜合能力較強(qiáng)，可以真正的檢驗(yàn)學(xué)生的真實(shí)水平，解題的關(guān)鍵是從基礎(chǔ)入手，從簡(jiǎn)單的變形到復(fù)雜的推理運(yùn)算，符合學(xué)生的思維變式.三角函數(shù)問題有基礎(chǔ)知識(shí)的考查，也有綜合知識(shí)點(diǎn)分析問題的考查，如果學(xué)生沒有扎實(shí)的基礎(chǔ)則會(huì)很難推進(jìn)，教學(xué)中也是一致的，必須注重學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，在扎實(shí)的基礎(chǔ)下開展綜合能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)單問題中探究基本概念和規(guī)律，然后進(jìn)行重點(diǎn)知識(shí)綜合拓展，穩(wěn)步提升學(xué)生的能力水平.

3.強(qiáng)化研究，發(fā)展變式

中學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的目的是為了使學(xué)生的思維更加活躍，培養(yǎng)自我探究能力，在興趣培養(yǎng)中提升整體素質(zhì)，教師在這個(gè)過程中是為了更好的啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生，學(xué)習(xí)的主體還是學(xué)生.教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)研究性，而不是簡(jiǎn)單地向?qū)W生灌輸知識(shí)，以三角函數(shù)為例，在對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)講授后，可以進(jìn)行多設(shè)問，定義域發(fā)生了變化導(dǎo)致函數(shù)的圖像又會(huì)如何變化.根據(jù)已知的條件，讓學(xué)生去探究未知的發(fā)展，沒有思維定式的教學(xué)才是好的教學(xué)方式，這樣既可以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，也可以在延伸拓展中獲得新知.

五、總結(jié)

三角函數(shù)問題是中學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，也是研究復(fù)雜問題的工具，與其他知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合考查是高考考查的趨勢(shì)，解決此類問題需要老師在教學(xué)過程中聯(lián)系高考真題，回歸教材，注重基礎(chǔ)，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行延伸拓展.

1.蔡罡.把握題目特征思路順利生成——以三角函數(shù)問題為例說明［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（9）.

2.劉國(guó)祥，張敏.對(duì)2016年江蘇高考?jí)狠S題的探究、溯源與啟示［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（9）.

3.葛小萍.三角函數(shù)背景下導(dǎo)數(shù)命題賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（10）.

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5.鞏松.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生思維廣度與深度思考——以“正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象”的教學(xué)為例［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（18）.F