☉河南省淮陽第一高級中學 高鵬

例談含絕對值的二次函數(shù)的最值問題

☉河南省淮陽第一高級中學 高鵬

最值問題是高考數(shù)學中常見的題型也是重要的考點，而近幾年的高考中絕對值與二次函數(shù)的綜合成了函數(shù)題的熱點．因此，筆者結(jié)合近幾年的教學實踐談?wù)労^對值的二次函數(shù)的最值問題，以期提高函數(shù)復(fù)習的實效性．

例1已知函數(shù)f（x）=x|2x-a|，x∈［0，2］，求f（x）的最大值．

所以f（x）max=max

（2）當a=0時，f（x）在R上遞增，f（x）max=f（2）=8．

所以f（x）max=f（2）=8-2a．

綜上所述，f（x）max=

方法二：當a≤0時，當x∈［0，2］時，f（x）=2x2-ax，對稱軸為，所以函數(shù)f（x）在［0，2］上單調(diào)遞增，所以f（x）max=f（2）=8-2a．

當a≥4時，當x∈［0，2］時，f（x）=-2x2+ax，對稱軸為

所以f（x）max=f（2）=2a-8．

綜上所述，f（x）max=

由此可見，數(shù)形結(jié)合、分類討論是數(shù)學中的基本思想，然而上述兩種解題思路側(cè)重點確有所不同，方法一所側(cè)重的是由形到數(shù)，整個解題思路是先作圖（或描述單調(diào)性），再討論區(qū)間；但作為含有絕對值的二次函數(shù)如何討論作圖是該方法的關(guān)鍵，我們也不難發(fā)現(xiàn)，含有絕對值的二次函數(shù)本身就是由二次函數(shù)演變而來，我們在研究其圖像時，討論的關(guān)鍵點就是對稱軸在不在所研究的區(qū)間內(nèi)，與本題的思路也是吻合的，而一旦單調(diào)性問題解決，整道題也就迎刃而解了.方法二所側(cè)重的是由數(shù)到形，整個解題思路是先去絕對值，整道題討論的關(guān)鍵點是先去絕對值，再研究單調(diào)性，把含有絕對值的二次函數(shù)變成二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題.相比較而言，方法一比較簡潔，更側(cè)重圖形，而方法二比較容易掌握，但在解決具體問題時，需要具體情況具體分析.

例2已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），記M（a，b）是|f（x）|在區(qū)間［-1，1］上的最大值.

（1）證明：當|a|≥2時，M（a，b）≥2；

（2）當a，b滿足M（a，b）≤2，求|a|+|b|的最大值.

（2015浙江省高考數(shù)學理科試題第18題）

所以，f（x）在［-1，1］上單調(diào)，從而可知M（a，b）= max｛|f（1）|，|f（-1）|｝.

當a≥2時，f（1）-f（-1）=2a≥4，得max｛f（1），-f（-1）｝≥2，即M（a，b）≥2；

當a≤-2時，f（-1）-f（1）=-2a≥4，得max｛f（-1），-f（1）｝≥2，即M（a，b）≥2.

綜上所述，當|a|≥2時，M（a，b）≥2.

（2）方法1：由M（a，b）≤2，得|1+a+b|=|f（1）|≤2，|1-a+ b|=|f（-1）|≤2，從而|a+b|≤3，|a-b|≤3.

當a=2，b=-1時，|a|+|b|=3，且|x2+2x-1|在［-1，1］的最大值為2；

②當a=-2，b=-1時，|a|+|b|=3，且|x2-2x-1|在的最大值為2.

因此|a|+|b|的最大值為3.

這是一道在定區(qū)間上求二次函數(shù)中含雙參數(shù)絕對值的最值問題，方法2利用了反解系數(shù)表示法求解一類含絕對值函數(shù)的最值問題.筆者通過此題的解答揭示這類最值問題的背景及內(nèi)涵，并發(fā)現(xiàn)其中蘊含的規(guī)律和方法，就可以達到觸類旁通、舉一反三的效果，真正讓學生從題海中解放出來.再如下面例題：

例3若函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），對一切x∈［0，1］，恒有|f（x）|≤1.（1）對所有這樣的f（x），求|a|+|b|+|c|可能的最大值；（2）試給出一個這樣的f（x），使|a|+|b|+|c|確實取到上述最大值.

（2）取a=8，b=-8，c=1，

則f（x）=8x2-8x+1=8

f（x）在［0，1］上確實有|f（x）|≤1，且|a|+|b|+|c|=17．

對于二次函數(shù)中多參數(shù)絕對值最大值問題，反解系數(shù)表示法比較容易解決．

例4設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若|f（0）|≤1，|f（1）|≤ 1，|f（-1）|≤1，試證明：對于任意-1≤x≤1，有|f（x）

證明：因為f（-1）=a-b+c，f（1）=a+b+c，f（0）=c，所以

對于這類二次函數(shù)中與系數(shù)有關(guān)的二次函數(shù)的絕對值最值問題，此類問題對稱軸處的函數(shù)值的絕對值比端點函數(shù)值的絕對值要大，此類問題用反解系數(shù)表示法來處理較好．

例5函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），對一切x∈［-1，1］，都有|f（x）|≤1，證明：對一切x∈［-2，2］，都有|f（x）|≤7．

解：因為f（-1）=a-b+c，f（1）=a+b+c，f（0）=c，

由已知，對一切x∈［-1，1］，都有|f（x）|≤1所以，當-2≤x≤-1時，

綜上可知，對一切x∈［-2，2］，都有|f（x）|≤7．

此題中題設(shè)條件從“若|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1”改變?yōu)椤皩σ磺衳∈［-1，1］，都有|f（x）|≤1”．要證“區(qū)間從［-1，1］變換到［-2，2］”，但在對稱軸處的函數(shù)值的絕對值比端點函數(shù)值的絕對值要小，此類解法頗有新意．

例6函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），x∈［-1，1］，|f（x）|的最大值為M，證明

證明：因為|f（1）|=|1+a+b|≤M，|f（-1）|=|1-a+b|≤M，|f（0）|=|b|≤M，

所以4M≥|f（1）|+|f（-1）|+2|f（0）|≥|f（1）+f（1）-2f（0）|= |1+a+b+1-a+b-2b|=2，則

進一步：改為函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），x∈［-m，

證明：因為|f（m）|≤M，|f（-m）|≤M，|f（0）|≤M，所以4M≥|f（m）+f（-m）-2f（0）|=2m2，則

此題涉及二次函數(shù)中絕對值的最大值的最小值問題，可用絕對值不等式|a±b|≤|a|+|b|，構(gòu)造出常數(shù)進行求解．

二次函數(shù)與絕對值不等式既是高考的熱點，又是高考的難點．把給定區(qū)間上二次函數(shù)含絕對值最值問題列為專題進行復(fù)習，可提高學生的綜合解題能力，培育學生的數(shù)學核心素養(yǎng)．