戴中林

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充637002)

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一元四次整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解法

戴中林

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充637002)

僅對(duì)一元四次整系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域內(nèi)分解問(wèn)題進(jìn)行了研究，根據(jù)分解后其系數(shù)應(yīng)為二次代數(shù)整數(shù)的特點(diǎn)，以及導(dǎo)出的二次方程判別式的完全平方性質(zhì)，得出了一元四次整系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域內(nèi)能分解成兩個(gè)二次因式乘積的條件及方法，從而解決了一元四次整系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域內(nèi)的因式分解問(wèn)題.

整系數(shù)多項(xiàng)式； 完全平方數(shù)； 因式分解； 實(shí)數(shù)域； 二次代數(shù)整數(shù)

1 引 言

對(duì)于一般高次方程的解法，相關(guān)教材上已有介紹[1-3].三次方程可用卡當(dāng)公式求解，而四次方程

x4+ax3+bx2+cx+d=0,

(1.1)

則可由費(fèi)拉利法求解.其方法是先引入?yún)?shù)y將(1.1)式配成平方差，再由二次式的完全平方性質(zhì)，令其判別式等于零，可得一個(gè)關(guān)于參數(shù)y的整系數(shù)三次方程

y3-by2+(ac-4d)y-[(a2-4b)d+c2]=0.

(1.2)

當(dāng)此方程求出一個(gè)整數(shù)解y后，則四次方程(1.1)可由下式分解

(1.3)

一般情況下，三次方程(1.2)中的常數(shù)項(xiàng)數(shù)值較大，求解較為麻煩.例如分解四次方程(文中例5)

x4+8x3+18x2+116x-26=0.

首先由公式(1.2)得到三次方程

y3-18y2+1032y-13664=0.

由于方程中常數(shù)項(xiàng)因數(shù)較多，可用長(zhǎng)除法求其一個(gè)整根.即用常數(shù)項(xiàng)決定的所有的一次因式去逐一試除, 可得y=14.此解法雖然繁瑣但是可行的，故應(yīng)用費(fèi)拉利法解四次方程的難點(diǎn)也就在于此.然后將整數(shù)解y=14代人(1.3)式即得分解式

對(duì)多項(xiàng)式而言，如果一個(gè)四次整系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域內(nèi)是可約的，理論上我們只須用待定系數(shù)法將其分解成兩個(gè)二次因式的乘積，并通過(guò)系數(shù)方程組求出這兩個(gè)二次因式的所有待定系數(shù)即可.但實(shí)際上要僅由系數(shù)方程組直接求出這些待定系數(shù)是根本辦不到的.通過(guò)研究得到，如果能通過(guò)多項(xiàng)式在不同范圍分解后其系數(shù)的特點(diǎn)，則該四次多項(xiàng)式分解問(wèn)題即可解決.關(guān)于一元四次有理系數(shù)多項(xiàng)式在其域內(nèi)的因式分解問(wèn)題，已在文[4]以及近年一些刊物發(fā)表的方法即文[5-8]進(jìn)行了研究探討，給出了一些解決的方法.而本文僅對(duì)四次整系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域內(nèi)分解問(wèn)題進(jìn)行了研究，根據(jù)分解后其系數(shù)應(yīng)為二次代數(shù)整數(shù)的特點(diǎn)，以及導(dǎo)出的二次方程判別式的完全平方性質(zhì)，得出了一元四次整系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域內(nèi)能分解成兩個(gè)二次因式乘積的條件及方法, 從而解決了一元四次整系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域內(nèi)的因式分解問(wèn)題.

2 主要結(jié)果

2.1 一元四次多項(xiàng)式在有理數(shù)域上的因式分解[4]

定理1一元四次多項(xiàng)式在有理數(shù)域上可分解成

f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d=(x2+A1x+B1)(x2+A2x+B2)

的必要條件是在常數(shù)項(xiàng)d中存在因數(shù)B1,B2，使得代數(shù)式T=a2-4b+4(B1+B2)為完全平方數(shù).

由定理1可得一元四次多項(xiàng)式在有理數(shù)域上的因式分解法：

(i) 在常數(shù)項(xiàng)d=B1B2中確定一組因數(shù)B1,B2，使得代數(shù)式T=a2-4b+4(B1+B2)為完全平方數(shù)，設(shè)平方根為t≥0;

(iii) 確定An,Bn(n=1,2)，使其滿足A1B2+A2B1=c, 則四次多項(xiàng)式的分解式就能唯一確定.

例分解四次多項(xiàng)式 f(x)=x4-11x3+27x2-39x+18.

解由定理1

t2=a2-4b+4(B1+B2)=13+4(B1+B2)≥0，

有B1+B2≥-3.又由B1B2=18，當(dāng)取B1=±1,±2,±3, 則B2=±18,±9,±6, 故有B1+B2=19,11,9.僅當(dāng)B1+B2=9時(shí)，有t=7；由公式

且當(dāng) A1=-2，A2=-9，B1=3，B2=6時(shí)，有A1B2+A2B1=-39=c成立.故分解式為

f(x)=(x2-2x+3)(x2-9x+6).

2.2 一元四次整系數(shù)多項(xiàng)式的在實(shí)域內(nèi)的因式分解

定義1若數(shù)ξ滿足一個(gè)首項(xiàng)系數(shù)為1的n次整系數(shù)(或有理系數(shù))代數(shù)方程f(x)=0，則稱ξ為一個(gè)n次代數(shù)整數(shù)(或代數(shù)數(shù)).

證因ξ為二次代數(shù)整數(shù)，由定義1，設(shè)數(shù)ξ滿足二次整系數(shù)方程x2+2ax+b=0，故由求根公式

引理2任意兩個(gè)二次代數(shù)整數(shù)乘積為整數(shù)的充要條件是這兩數(shù)應(yīng)為二次共軛代數(shù)整數(shù).

為整數(shù).又m,s均為不含平方因數(shù)的非零整數(shù)，故僅當(dāng)s=m以及p1α2+p2α1=0時(shí)，有A1A2的整數(shù)性質(zhì)成立.

當(dāng)s=m時(shí)

當(dāng)p1α2+p2α1=0時(shí)，取p2=p1，則有α2=-α1，這時(shí)

故兩實(shí)數(shù)應(yīng)為

引理3若一元四次整系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域內(nèi)可分解成

f(x)=x4+2ax3+bx2+cx+d=(x2+A1x+B1)(x2+A2x+B2)，

則其中系數(shù)分別為兩組共軛代數(shù)整數(shù)

證由待定系數(shù)法，可得系數(shù)方程組

由(2.1)，(2.2)式知Ai(i=1,2)滿足整系數(shù)二次方程

A2-2aA+[b-(B1+B2)]=0.

由定義1及引理1，引理2有

為一組二次共軛代數(shù)整數(shù)；同理由(2.2)，(2.4)式知

為另一組二次共軛代數(shù)整數(shù).

將上述任一組結(jié)果代入(2.3)式有

即

因m，s均不含平方因數(shù)的非零整數(shù)，故當(dāng)s=m時(shí)，則上式整數(shù)性質(zhì)成立.故

又

定理2一元四次整系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域內(nèi)可以分解成

f(x)=x4+2ax3+bx2+cx+d=(x2+A1x+B1)(x2+A2x+B2)

的必要條件是存在正整數(shù)k，使得代數(shù)式T=k4+(a2-b)k2+d為完全平方數(shù).

由(2.6)式和(2.7)式消去m，得到關(guān)于未知量q的二次方程

q2-2k2q=(p2-b)k2+d.

即

(q-k2)2=k4+(p2-b)k2+d.

有

因q為整數(shù)，故存在正整數(shù)k，使得代數(shù)式 T=k4+(a2-b)k2+d為完全平方數(shù).

由定理2可得四次整系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)域內(nèi)的因式分解法：

(i) 在代數(shù)式T=k4+(a2-b)k2+d中確定正整數(shù)k，使其為完全平方數(shù)，設(shè)平方根為正整數(shù)t;

(iii) 確定An，Bn(n=1,2)，使其滿足 A1B2+A2B1=c,則四次多項(xiàng)式的分解式就能唯一確定.

本定理需要說(shuō)明幾點(diǎn)，一是當(dāng)四次多項(xiàng)式中三次項(xiàng)系數(shù)不為偶數(shù)2a時(shí)；或T不為完全平方數(shù)時(shí)；或系數(shù)方程組(Ⅰ)無(wú)整數(shù)解時(shí)，則該四次多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域內(nèi)就不可約.二是當(dāng)m<0時(shí)，則分解式中的待定系數(shù)An，Bn的范圍將從實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域.三是當(dāng)k取正有理數(shù)時(shí)定理2也是成立的.四是定理2中多項(xiàng)式系數(shù)也可推廣到有理數(shù)域.

3 例 子

例1分解四次多項(xiàng)式f(x)=x4+6x3+16x2+54x-23.

解由定理2

p=a=3， t2=k4+(a2-b)k2+d=k4-7k2-23≥0，

當(dāng)取k=4時(shí)，t=11；則 q=k2-t=5， m=(a2-b)+2q=3，故

故分解式為

例2分解四次多項(xiàng)式f(x)=x4+10x3+34x2+42x+21.

解由定理2 ，p=5；t2=k4-9k2+21≥0，當(dāng)取k=2時(shí)，t=1；則

q=k2-t=3， m=p2-b+2q=-3，

故待定系數(shù)

例3分解四次多項(xiàng)式f(x)=x4+8x3+18x2+116x-26.

則

q=k2+t=7， m=(a2-b)+2q=12.

故有

[1] 余介石， 陸子芬.高等方程式論[M].北京：商務(wù)出版社，1951：21-35.

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A Quartic Polynomial Decomposition Method in the Real Domain Factod

DAIZhong-lin

(School of Mathematics and Information, China West Normal University, Nanchong Sichuan 637002, China)

Integral coefficient quartic polynomial in the real domain decomposition sometimes derived and related to a yuan quadratic equation discriminant type integer nature, gives the integral coefficient quartic polynomial of a factor decomposition method to solve the integral coefficient quartic polynomial in the real domain factorization problem.

quartic polynomial of integer coefficient; square number；factoring; real number field; conjugate algcbraic nuber

2016-05-14

戴中林(1949-),男，學(xué)士，副教授，從事微分方程方向研究.Email:dzl47519@126.com

O151.1

C

1672-1454(2016)06-0101-05