張立石， 張麗梅

(大連海洋大學(xué)理學(xué)院, 遼寧大連116023)

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一道線性代數(shù)題的幾種證明方法

張立石， 張麗梅

(大連海洋大學(xué)理學(xué)院, 遼寧大連116023)

給出一道線性代數(shù)題目的幾種證明方法.

行列式; 線性相關(guān)性; 矩陣的秩; 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型

1 引 言

在大學(xué)數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中，《線性代數(shù)》應(yīng)該算是一門比較難學(xué)的課程[1]，這門課的特點(diǎn)是概念多，定理多，運(yùn)算定律多，內(nèi)容抽象且相互交錯(cuò)[2]，對(duì)分散在各個(gè)章節(jié)的概念如果能有一條主線作為引導(dǎo)，把它們看成這些主線上的環(huán)節(jié)，這樣每一個(gè)概念的理解就會(huì)有的放矢.《線性代數(shù)》課程的主要概念間具有相互解釋的特點(diǎn)，如行向量組是否線性相關(guān)的實(shí)質(zhì)是以此為系數(shù)矩陣的方程組能否有多余方程；《線性代數(shù)》概念間的相互解釋性關(guān)系表現(xiàn)為：方程組?矩陣?向量組，也就是說除行列式章節(jié)外的每一個(gè)概念從這三個(gè)不同角度去理解，如

方陣A可逆?A的行向量組線性無關(guān)?A的列向量組線性無關(guān)?A的秩為n?齊次線性方程組AX=0只有零解?A的所有特征值都非零.

在教學(xué)中，教師要通過課堂內(nèi)容的講授和習(xí)題的講解強(qiáng)化這一理念，就是對(duì)每一個(gè)概念試圖找出它們在方程組、矩陣、向量組中對(duì)應(yīng)的解釋，本文我們以教材中一個(gè)重要秩的不等式為例說明這一問題.

2 秩不等式的多種證明方法

定理A為m×n階矩陣，B為n×p階矩陣，且AB=O,證明R(A)+R(B)≤n[3].

注 由于該不等式在解題中有重要的作用，我們以定理的形式來呈現(xiàn).下面從不同的角度來給出該定理的多種證明方法.

證1(分塊矩陣法1) 設(shè)R(A)=r,R(B)=s，且存在m階可逆陣P,p階可逆陣Q使

r+s=R(MTM)=R(M)≤n，

所以R(A)+R(B)≤n.

證2(分塊矩陣法2) 由AB=O,計(jì)算得

由于

都是可逆陣，從而

于是n≥R(A)+R(B)，即R(A)+R(B)≤n.

證3(秩的定義法) 設(shè)R(A)=r，則存在非零的r階子式Dr(不妨設(shè)為A的前r行和r列)

整理得

寫成矩陣形式為

由于D可逆，所以

上式說明行向量組{β1,β2,…,βr}可由行向量組{βr+1,βr+2,…,βp}線性表出，進(jìn)而得行向量組{β1,β2,…,βp}與行向量組{βr+1,βr+2,…,βp}等價(jià)，于是秩{β1,β2,…,βp}≤n-r,即R(B)≤n-r,所以R(A)+R(B)≤n.

證4(向量法) 設(shè)R(A)=r，R(B)=s且

令

證5(行列式法) 設(shè)R(A)=r,R(B)=s,則存在m×m可逆矩陣P1，n×n可逆矩陣Q1，使n×n可逆矩陣P2，p×p可逆矩陣Q2，使

進(jìn)一步計(jì)算得

于是xij=0,1≤i≤r,1≤j≤s.根據(jù)行列式的定義得

|X|=∑(-1)τ(i1i2…in)xi11xi22…xinn=∑(-1)τ(i1i2…in)xi11xi22…xiss(xis+1s+1…xinn).

假設(shè)r+s>n，則s>n-r，從而{i1,i2,…,is}?{r+1,…,n}不能成立，進(jìn)而

{i1,i2,…,is}∩{1,2,…,r}≠?.

證6(對(duì)稱矩陣標(biāo)準(zhǔn)形法) 設(shè)R(B)=r，由AB=O,得ABBT=O,由于BBT為半正定矩陣，則存在n×n正交陣P使

進(jìn)而

R(B)=R(BBT)=r,

得R(A)+R(B)≤n.

證7(方程組法)[3]令B=(β1,β2,…,βp)由AB=O,知列向量βi(1≤i≤p)為齊次方程組AX=0的解，設(shè)R(A)=r，則齊次方程組AX=0解空間維數(shù)為n-r，則向量組{β1,β2,…,βp}可由基礎(chǔ)解系中的解向量線性表示，所以秩{β1,β2,…,βp}≤n-r.即R(B)≤n-r,所以R(A)+R(B)≤n.

證8(矩陣標(biāo)準(zhǔn)形法)[5]設(shè)R(A)=r，則存在m×m,n×n可逆矩陣P,Q使

所以

進(jìn)而Tr×p=O，于是R(B)=R(C)=R(M(n-r)×p)≤n-r，即R(A)+R(B)≤n.

注 證明7, 證明8在文獻(xiàn)[3]，[5]中都曾給出，這里為了說明多角度解題的思路，故也把他們列出來.同時(shí)我們注意到，這個(gè)定理也是結(jié)論A為m×n階矩陣，B為n×p階矩陣，R(AB)≥R(A)+R(B)-n[4]，當(dāng)AB=O時(shí)的特例.

3 結(jié) 論

對(duì)剛剛學(xué)過《高等數(shù)學(xué)》的大學(xué)生來講，《線性代數(shù)》學(xué)習(xí)的難點(diǎn)在于轉(zhuǎn)化學(xué)習(xí)思路，《高等數(shù)學(xué)》的概念是按“加細(xì)”和“拓寬”過程展開的，如函數(shù)可導(dǎo)?連續(xù)?有極限，定積分的有限區(qū)間改到無窮區(qū)間就是無窮限廣義積分，定積分被積函數(shù)有界改為無界就是瑕積分，等等.而《線性代數(shù)》概念知識(shí)中是按照方程組?矩陣?向量組的相互解釋展開的，這一點(diǎn)在學(xué)習(xí)的初期大部分同學(xué)是很難體會(huì)到的，需要教師刻意強(qiáng)調(diào)并且在學(xué)習(xí)時(shí)結(jié)合具體內(nèi)容舉例反復(fù)練習(xí)說明，這樣很多抽象的定理就會(huì)在具體意義和多角度的理解下變得易懂了.

本文中，我們針對(duì)教材中這個(gè)重要秩不等式，分別用分塊矩陣方法、秩定義方法、向量方法、行列式方法來證明，意在拋磚引玉，讓學(xué)習(xí)《線性代數(shù)》的同學(xué)們體會(huì)到本課程的學(xué)習(xí)方法，在概念的學(xué)習(xí)時(shí)充分考慮此概念在其他章節(jié)中的對(duì)應(yīng)解釋，把這一思維方式貫徹在本課程學(xué)習(xí)的始終，只有這樣才能做到真正理解這一概念.

[1] 蔣衛(wèi)華，王洪濱.線性代數(shù)教學(xué)中兩組概念的處理[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2005，25(1):120-122.

[2] 杜建衛(wèi)，蘇欣.讓線性代數(shù)課程易教易學(xué)[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27(5):179-184.

[3] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)[M].6版.北京:高等教育出版社,2014:71.

[4] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)[M].3版.北京:高等教育出版社,2003:204.

[5] 張貴海.數(shù)學(xué)(一)考研教案[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2009:237.

Some Solutions to an Example of Linear Algebra

ZHANGLi-shi，ZHANGLi-mei

(School of Science， Dalian Ocean University， Dalian Liaoning 116023, China)

Some solutions are given to an example of linear algebra.

determinant; linear dependent; rank of matrix; reduced echelon matrix

2016-05-26； [修改日期] 2016-06-26

2016年度遼寧省普通高等教育本科教學(xué)改革研究項(xiàng)目一般項(xiàng)目335；大連海洋大學(xué)精品資源共享課建設(shè)項(xiàng)目(KC2014GX08)

張立石(1964-),男，教授，從事模糊決策分析方面的研究.Email:zls@dlou.edu.cn

O151.2

C

1672-1454(2016)06-0096-05