梅正陽

(華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，武漢430074)

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諸葛亮“選老板”的數(shù)學(xué)模型

梅正陽

(華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，武漢430074)

東漢末年，諸葛亮為什么出山輔佐劉備？基于網(wǎng)絡(luò)層次分析法，獲得相關(guān)權(quán)值，建立模糊綜合評價數(shù)學(xué)模型，得到不同政治軍事集團的綜合得分，解釋諸葛亮出山的原因.

諸葛亮； 網(wǎng)絡(luò)層次分析法； 比較判斷矩陣； Super Decision 軟件； 模糊綜合評價

1 引 言

諸葛亮的人生道路選擇是人們津津樂道的話題.熟悉三國歷史[1,2]的人都知道，東漢末年，群雄并起，曹操“挾天子以令諸侯”，稱霸北方；孫權(quán)繼承父兄基業(yè)，雄踞江東；劉表、劉璋等劉姓宗族，家業(yè)雄厚、地廣人多.劉備，雖漢室宗親，“文有孫乾糜竺之輩，武有關(guān)張趙云之流”，奮斗拼搏多年，卻屢換雇主，長期寄人籬下.讀過《三國志》[1]或看過《三國演義》[2]的人都有一個疑問：足智多謀的諸葛亮為什么選擇追隨窮途末路的劉備呢？本文試圖從數(shù)學(xué)角度來解讀.

我們首先建立諸葛亮“選老板”層次結(jié)構(gòu)體系，然后采用網(wǎng)絡(luò)層次分析法[3]獲得相關(guān)權(quán)值，通過查找三國資料，得到指標量化結(jié)果，建立基于網(wǎng)絡(luò)層次分析法的模糊綜合評價模型[4]，獲得不同政治軍事集團得分，從數(shù)學(xué)視角解釋諸葛亮出山的原因.

2 諸葛亮“選老板” 網(wǎng)絡(luò)層次結(jié)構(gòu)體系

網(wǎng)絡(luò)層次分析法(Analytic Network Process，簡稱ANP)是美國運籌學(xué)家T.L.Saaty 教授于1996年提出的一種靈活而又實用的多準則決策方法，主要針對較為復(fù)雜、較為定性的問題進行決策，在其本人早期提出的層次分析法AHP基礎(chǔ)上，增加指標元素間相互關(guān)聯(lián)、相互影響關(guān)系，適用于難以完全定量分析的具有網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的實際問題.

《三國志·諸葛亮傳》[1]記載劉備“三顧茅廬”時，諸葛亮對劉備的評價是“將軍既帝室之胄，信義著于四海，總攬英雄，思賢如渴，…，誠如是，則霸業(yè)可成，漢室可興矣.” 本文由此可以判斷諸葛亮“找工作”比較關(guān)注三個方面情況：旗幟——領(lǐng)導(dǎo)人情況、隊伍——集團目前狀況、成長——個人發(fā)展空間.

根據(jù)歷史文獻資料和東漢末年的社會背景，我們假設(shè)“領(lǐng)導(dǎo)人情況”主要包括：道德仁義、匡扶漢室、求賢若渴、凝聚力等四個方面；“集團目前狀況”主要包括：文臣隊伍、武將隊伍、兵力規(guī)模、擁有地盤等四個方面；“個人發(fā)展空間”主要包括：工作崗位、忠誠被信任、計謀被采納等三個方面，建立如圖1所示的網(wǎng)絡(luò)層次結(jié)構(gòu)體系圖.

由于不同的決策主體可以選擇不同的指標和層級，也可以規(guī)定網(wǎng)絡(luò)層不同元素間的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)關(guān)系，因此網(wǎng)絡(luò)層次結(jié)構(gòu)圖與決策者的價值觀和偏好相關(guān).

3 確定網(wǎng)絡(luò)層次結(jié)構(gòu)體系中指標權(quán)重

3.1 確定準則層指標權(quán)值

準則層共有3個指標，雖然彼此之間有關(guān)聯(lián)，但在諸葛亮看來基本上是獨立的.為此，建立準則層的比較判斷矩陣[4]，計算判斷矩陣最大特征值對應(yīng)的特征向量，并標準化(也可以使用Super Decisions軟件計算)，結(jié)果如表1所示

圖1 諸葛亮“找工作”ANP網(wǎng)絡(luò)層次結(jié)構(gòu)

表1 準則層判斷矩陣及權(quán)值

3.2 確定網(wǎng)絡(luò)層指標權(quán)值

ANP的關(guān)鍵在于網(wǎng)絡(luò)層元素之間的相互影響，所以要對子準則層元素間的重要程度進行比較.采用兩兩比較判斷方法，以準則層元素為準則，以下級元素為次準則，建立比較判斷矩陣.如以“領(lǐng)導(dǎo)人”為準則，以下級指標“道德仁義C11”為次準則，建立C12,C13,C14間比較判斷矩陣并計算相關(guān)權(quán)值如表2所示

表2 網(wǎng)絡(luò)層判斷矩陣及權(quán)值

類似地，“領(lǐng)導(dǎo)人”準則下，以C12為次準則，繼續(xù)建立C11,C13,C14間比較判斷矩陣等等，應(yīng)用Super Decision軟件計算，可得到網(wǎng)絡(luò)層各指標的未加權(quán)超矩陣如表3

表3 網(wǎng)絡(luò)層未加權(quán)超矩陣

使用Super Decision計算，得到控制層和網(wǎng)絡(luò)層未加權(quán)權(quán)值和極限權(quán)值如表4

表4 網(wǎng)絡(luò)層次結(jié)構(gòu)權(quán)值

4 諸葛亮“選老板”模糊綜合評價模型

為選擇心儀的“老板”，我們建立模糊綜合評價數(shù)學(xué)模型.由“隆中對”判斷諸葛亮所注重的只有曹操、孫權(quán)、劉備三個軍事集團，所以選取這三個集團作為評價對象，由[2]知，諸葛亮在第三十八回隨劉備出山，故只須對[2]中三十八回前的內(nèi)容進行分析，結(jié)合[1]，進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計和處理，建立模糊綜合評價模型.

4.1 “領(lǐng)導(dǎo)人”下級指標量化處理

網(wǎng)絡(luò)層指標“道德仁義”非常抽象，正向難以判斷某件事情是否“道德仁義”，但反向卻可以判斷某件事情“不道德仁義”，故對[1,2]中“不道德仁義”事件統(tǒng)計，計數(shù)為Mi(i=1,2,3)，如曹操有“為報父仇屠徐州”等十件不道德仁義之事，計數(shù)M1=10，其它類似.另外 “匡扶漢室”、“求賢若渴”、“凝聚力”等3項指標可以通過正向事件進行統(tǒng)計，計數(shù)分別為Ni、Pi、Qi(i=1,2,3)等，統(tǒng)計結(jié)果見表5第一列.

基于表5統(tǒng)計結(jié)果均為正整數(shù)，按照如下兩步處理，得到所需要的量化數(shù)值.

第一步，統(tǒng)計數(shù)據(jù)標準化.如指標“道德仁義”，先對集團三方統(tǒng)計結(jié)果求和M1+M2+M3=10+2+1=13，再對每方數(shù)據(jù)標準化.如曹操方“不道德仁義”標準化數(shù)據(jù)為M1/13=10/13=0.7692，其它類推.處理結(jié)果見表6.

第二步，計算模糊隸屬度.又分為兩種情況.首先，對“道德仁義”，做“不道德仁義”事件的次數(shù)越多，道德水平越差，得分越低，故取偏小型模糊隸屬度函數(shù)[4]

(1)

其中x為第一步標準化后的值.用(1)計算三方“道德仁義”隸屬度，結(jié)果見表6.

表5 “領(lǐng)導(dǎo)人”下級指標關(guān)鍵事件統(tǒng)計

對于“匡扶漢室”、“求賢若渴”、“凝聚力”等三個指標，正向事件做的越多越好，得分越高，程度越強烈，故取偏大型模糊隸屬度函數(shù)[4]

(2)

其中x為標準化后的值.對表5中指標進行標準化，用(2)計算，結(jié)果見表6.

表6 “領(lǐng)導(dǎo)人”下級指標關(guān)鍵事件數(shù)據(jù)處理結(jié)果

4.2 “集團目前現(xiàn)狀”下級指標量化處理

控制層指標“集團目前現(xiàn)狀”的下級指標包括文臣、武將、兵力和地盤等4個指標，其中“文臣”和“武將”指標，根據(jù)資料[1,2]進行統(tǒng)計，按10分制給每位文臣武將打分[5]，計數(shù)結(jié)果分別記為Ri，Si (i=1,2,3)，并合計出總分.統(tǒng)計結(jié)果見表7.

“兵力”指標，文獻[1]記載劉表治理下荊州“帶甲十萬”，劉備在荊州借住6年，治理新野有成績，結(jié)合諸葛亮出山后的赤壁之戰(zhàn)情況，估計當時兵力在1.5萬左右；東吳在被晉所滅時，孫皓投降兵力23萬[1]，投降時地盤約為赤壁之戰(zhàn)時地盤的3倍，結(jié)合赤壁之戰(zhàn)時孫權(quán)給周瑜的兵力，推算赤壁之戰(zhàn)前的東吳總兵力約7萬；曹魏兵力數(shù)據(jù)缺記載，根據(jù)司馬昭討諸葛誕時上表所稱“今諸軍可五十萬”，且上表時曹魏土地面積比赤壁之戰(zhàn)前增加了約1/3，且穩(wěn)定地發(fā)展了幾十年，結(jié)合赤壁之戰(zhàn)情況，推算赤壁之戰(zhàn)前曹魏總兵力在30萬左右.統(tǒng)計結(jié)果見表7倒數(shù)第二行.

“地盤”指標，通過資料[6]判斷：赤壁之戰(zhàn)時，荊州和東吳所轄面積基本相同，曹魏所轄地域相當于荊州東吳面積之和，故可設(shè)東吳地盤為1個單位，則曹魏地盤為2個單位，從“隆中對”不難發(fā)現(xiàn)諸葛亮已經(jīng)把荊州計算給了劉備，但為了增加可信度，在此不妨設(shè)劉備地盤為0.5個單位，統(tǒng)計結(jié)果見表7最后一行.

表7 “集團目前現(xiàn)狀”下級指標統(tǒng)計結(jié)果

對表7數(shù)據(jù)進行標準化處理，數(shù)值結(jié)果如下表8所示.

表8 “集團目前現(xiàn)狀”下級指標數(shù)據(jù)處理結(jié)果

4.3 “發(fā)展空間”下級指標量化處理

清朝學(xué)者趙翼[7]將三國政治軍事集團領(lǐng)導(dǎo)人用人策略總結(jié)為：“曹操以權(quán)術(shù)相馭，劉備以性情相契，孫氏兄弟以意氣相投”.曹操集團是臣屬參與型，曹操身為董事長兼總經(jīng)理，對臣僚是利用關(guān)系，與信任無關(guān)，荀彧、楊修就是例子；孫權(quán)當時比較年輕，決策方式是領(lǐng)導(dǎo)參與型，諸葛亮也說孫權(quán)“能賢亮而不能盡量”，所以只能部分地信任和采納臣僚意見；劉備則完全放權(quán)，他選諸葛亮就是選CEO，劉備屬全權(quán)委托型領(lǐng)導(dǎo)，但考慮到劉備個人水平和諸葛瑾在東吳效力，諸葛亮被信任程度應(yīng)該會受到影響.綜合上述情況，結(jié)合[1,2]，對各指標在[0,1]區(qū)間內(nèi)打分，結(jié)果如表9所示，評分越高，個人發(fā)展空間越大，采用偏大型隸屬度函數(shù)(2)計算，隸屬度值結(jié)果見表9.

表9 發(fā)展空間指標數(shù)據(jù)處理結(jié)果

4.4 模糊綜合評價模型

由表8數(shù)據(jù)構(gòu)成矩陣R2，由表6、表9數(shù)據(jù)得到二個模糊隸屬度矩陣R1和R3

由表4知網(wǎng)絡(luò)層指標未加權(quán)權(quán)值

U1=[0.4774 0.2794 0.1445 0.0988]，

U2=[0.1369 0.1136 0.4101 0.3394]，

U3=[0.1094 0.5815 0.3090]，

模糊評價Ki=Ui°Ri(i=1,2,3)中模糊關(guān)系運算“°”采用內(nèi)積型(+,·)運算，得到

由表4知控制層指標權(quán)值為W=[0.5278 0.1396 0.3325]，則模糊綜合評價模型及結(jié)果為

f=W°K=[0.2845 0.5716 0.6700].

由數(shù)學(xué)模型結(jié)果可得如下結(jié)論：

第一，劉備集團綜合得分最高，孫權(quán)集團次之，曹操集團得分最低.所以，諸葛亮選擇“老板”的順序為：劉備孫權(quán)曹操.第二，第一名與第二名分數(shù)的相對誤差為(0.67-0.5716)/0.67=14.69%，第二名與第三名相對誤差為(0.5716-0.2845)/0.5716=50.23%，選擇劉備集團是最優(yōu)的，這與三國歷史事實基本相符.第三，劉備集團的綜合得分為0.67，并不太高，所以，諸葛亮出山的意愿并不堅決，是被劉備“三顧茅廬”的真誠打動了，也印證了司馬徽“臥龍雖得其主，不得其時”之言.第四，敏感性分析表明，主觀判斷的微小變化不影響最終結(jié)果，劉備是諸葛亮的第一選擇.

5 結(jié) 論

數(shù)學(xué)模型結(jié)果表明，諸葛亮“認為”軍事集團“領(lǐng)導(dǎo)人”品德是關(guān)鍵，集團“目前規(guī)?！毕鄬Σ⒉恢匾驗楸Σ欢嗫梢月心?，地盤不大可以不斷爭搶，而且相信自己的加入，能使所在集團的規(guī)模慢慢壯大，集團發(fā)展狀況會越來越好.深入分析發(fā)現(xiàn)，造成諸葛亮選擇差別的主要原因是他特別重視集團“領(lǐng)導(dǎo)人”和個人“發(fā)展空間”兩個指標.“領(lǐng)導(dǎo)人”指標確保事業(yè)的正當性、價值性，“發(fā)展空間”指標決定實現(xiàn)個人政治理想和抱負舞臺的大小，模型結(jié)果符合“隆中對”和“出師表”透露出的信息.

諸葛亮“選老板”問題的數(shù)學(xué)模型對現(xiàn)實生活也有廣泛的啟示.比如，對于準備參加工作的職場新人和正在就業(yè)的員工而言，選擇什么樣的企業(yè)、領(lǐng)導(dǎo)團隊素質(zhì)如何、企業(yè)文化是什么等，對實現(xiàn)自身價值具有重要意義；另一方面，對企業(yè)家而言，一般員工可以通過招聘獲得，中層領(lǐng)導(dǎo)通過考核獲得，高層領(lǐng)導(dǎo)只能親自溝通獲得，因此，員工的個人自身修養(yǎng)和辦事能力等是企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)關(guān)注的重點.在現(xiàn)代生活中，員工找工作和企業(yè)招聘人才，都與諸葛亮出山有著異曲同工之妙.

[1] 陳壽.三國志[M].裴松之注.北京：中華書局，1982.

[2] 羅貫中.三國演義[M].毛宗崗注.上海:上海古籍出版社，1989.

[3] 王蓮芬.網(wǎng)絡(luò)分析法(ANP)的理論與算法[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2001，3：44-50.

[4] 梅正陽，韓志斌.數(shù)學(xué)建模教程[M].北京:科學(xué)技術(shù)出版社，2012.

[5] 梅正陽.數(shù)學(xué)模型下的官渡之戰(zhàn)曹操兵力考[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2016,32(3)：35-42.

[6] 百度貼吧.三國志地圖集.http:∥tieba.baidu.com/p/2576229707.

[7] 趙翼.二十四史札記[M].王樹民校證.北京:中華書局，2005.

[8] 樊鎖海.數(shù)學(xué)模型精品課程建設(shè)的實踐和思考[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2010,26(5)：6-11.

Mathematical Model How Zhu Geliang “Searching the Boss”

MEIZheng-yang

(School of Mathematics and Statistic，HUST，Wuhan 430074, China)

At the Eastern Han Dynasty, why was Zhu Geliang coming out to help Liu Bei? Based on the ANP method, some relevant weights were obtained, fuzzy comprehensive evaluation model was established, the comprehensive score of different political and military group were gotten, and these results explained the reason why Zhu Geliang helped Liu Bei.

Zhu Geliang; Analytic Network Process; comparative judgment matrix; Decision Super software; fuzzy comprehensive evaluation

2016-07-01

華中科技大學(xué)公共選修精品課程建設(shè)項目(2014004)

梅正陽(1964-),男，博士，副教授，從事金融數(shù)學(xué)、應(yīng)用統(tǒng)計、數(shù)學(xué)模型研究.Email:zymei2007@aliyun.com

O175.1；O241.8

B

1672-1454(2016)06-0033-07