曹玉利， 劉長劍

(蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇蘇州215006)

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一類平面自治系統(tǒng)極限環(huán)的不存在性

曹玉利， 劉長劍

(蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇蘇州215006)

利用微分方程定性理論研究了一類平面自治系統(tǒng)的極限環(huán)數(shù)目問題，并證明了此系統(tǒng)不存在極限環(huán)，更正了《大學(xué)數(shù)學(xué)》第31卷第四期王曉靜等論文《一類非線性二維自治系統(tǒng)的兩個(gè)重合著的極限環(huán)》中的一個(gè)錯(cuò)誤.

同宿軌； 極限環(huán)； 中心

1 引 言

常微分方程定性理論是一種不解方程而直接研究方程解的性質(zhì)，在常微分方程的研究中起到重要的作用，在實(shí)際問題中也有大量應(yīng)用.國內(nèi)也已經(jīng)有很好的專著，如[1]，[2]等.近來，在文獻(xiàn)[4]中，作者們研究了[2]116頁的例5

(1)

并研究了此系統(tǒng)的一些幾何性質(zhì)：系統(tǒng)(1)有兩個(gè)不穩(wěn)定的焦點(diǎn)A(1,0)與B(-1,0)，三個(gè)鞍點(diǎn)O(0,0),C(-1.3766,1.1028),D(1.3766,-1.10283)，經(jīng)過原點(diǎn)的同宿軌

最后，作者利用計(jì)算機(jī)模擬的方法宣稱系統(tǒng)(1)圍繞A(1,0)與B(1,0)各存在一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)(它們關(guān)于原點(diǎn)對稱)，并發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)極限環(huán)具有一個(gè)奇怪的性質(zhì)：隨著模擬精度的提高，這兩個(gè)極限環(huán)的周期在不斷的增大；另外，模擬結(jié)果顯示

(2)

這里，這四個(gè)記號分別代表極限環(huán)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的最大值與最小值.

在本文中，將從理論證明文獻(xiàn)[4]關(guān)于極限環(huán)的結(jié)論不正確，正確的結(jié)果應(yīng)該是

注意，奇點(diǎn)A，B都在定理1中的區(qū)域內(nèi)，所以系統(tǒng)(1)圍繞A，B沒有極限環(huán)，從而文獻(xiàn)[4]的結(jié)論是錯(cuò)誤的.文獻(xiàn)[4]錯(cuò)誤的原因是過于相信計(jì)算機(jī)模擬的結(jié)果，計(jì)算機(jī)模擬需要做一些近似的計(jì)算，可能和真實(shí)的情形不同.在這個(gè)例子中，計(jì)算機(jī)模擬所得到的極限環(huán)應(yīng)該就是同宿軌

不同的精度對應(yīng)同宿軌的一個(gè)近似解，隨著模擬精度的提高，近似解會越來越趨向于同宿軌，而且其周期也越來越趨向于同宿軌的周期，而眾所周知，同宿軌的周期是+∞，因此模擬得到近似解的周期會越來越大，這樣就很好地解釋了文獻(xiàn)[4]觀察到的奇怪的現(xiàn)象.同時(shí)，不難驗(yàn)證式子(2)中的四個(gè)值正好是同宿軌

橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的最大值與最小值，這個(gè)事實(shí)也從側(cè)面驗(yàn)證了我們觀點(diǎn)的正確性.

2 極限環(huán)的不存在性

考慮一個(gè)相關(guān)的系統(tǒng)

(3)

系統(tǒng)(3)有三個(gè)奇點(diǎn)A(1,0)，B(-1,0)和O(0,0), 其中O是鞍點(diǎn),而A,B處的特征矩陣為

我們證明定理1的思路是將系統(tǒng)(1)的解和系統(tǒng)(3)的解做比較，這種思想來源于[3]，但是[3]中結(jié)論要求的條件較高，我們無法直接使用，必須做一些準(zhǔn)備工作.

(4)

和

(5)

證由于系統(tǒng)(4)在y=0處沒有定義，所以在(x0,0)的鄰域內(nèi)，考慮方程

不難計(jì)算，在y=0的鄰域，有展式

由反函數(shù)定理得

從而

圖1 系統(tǒng)(4)和(5)的解的圖像

矛盾.

3 結(jié) 論

[1] 張芷芬，丁同仁，黃文灶，董鎮(zhèn)喜.微分方程定性理論[M].北京：科學(xué)出版社，2006.

[2] 張錦炎，馮貝葉.常微分方程與分岔問題[M].2次修訂本.北京：北京大學(xué)出版社，2005：116-117.

[3] 丁同仁，李承志.常微分方程教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2004：84-85.

[4] 王曉靜，崔景安，葉萌，許傳青.一類非線性二維自治系統(tǒng)的兩個(gè)重合著的極限環(huán)[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2015， 31(4),64-69.

The Nonexistence of Limit Cycles of Some Planar Autonomous Systems

CAOYu-li,LIUChang-jian

(School of Mathematics, Soochow University, Suzhou Jiangsu 215006, China)

We use qualitative theory of differential equation to study a class of planar autonomous systems and prove that these systems have no limit cycles, thus correct an error in the paper ‘A class of nonlinear planar autonomous Systems with two symmetric limit cycles’ by Wang Xiao-jing and others in College Mathematics.

homoclinic orbit; limit cycle; center

2016-01-25； [修改日期]2016-09-10

國家自然科學(xué)基金(11371269)；江蘇省“青藍(lán)工程”青年骨干教師

曹玉利(1991-),女，碩士在讀，從事微分方程定性理論研究.Email:20144207005@stu.suda.edu.cn

O175

A

1672-1454(2016)06-0024-04