李 芳,裴道武

(浙江理工大學理學院，杭州 310018)

多重模糊蘊涵關(guān)于三角模的分配性

李 芳,裴道武

(浙江理工大學理學院，杭州 310018)

通過對模糊蘊涵進行多重迭代可以得到新的模糊蘊涵，新蘊涵保持原蘊涵的許多性質(zhì)。主要討論這些模糊蘊涵滿足相互交換律，以及一些與分配律相關(guān)的邏輯重言式，給出了這些重言式成立的充分必要條件。這些結(jié)論進一步表明了多重迭代方法生成新蘊涵的優(yōu)點，為模糊蘊涵在其它領(lǐng)域的應(yīng)用有一定的指導意義。

模糊邏輯；模糊蘊涵；多重模糊蘊涵；分配律；相互交換律

0 引 言

模糊蘊涵是模糊邏輯的重要組成部分之一，它在很多領(lǐng)域都有非常重要的作用，如圖像處理、模糊控制、數(shù)據(jù)挖掘等[1-4]。

通過對模糊蘊涵進行多重迭代或多重組合，可以得到新的模糊蘊涵。本文主要研究這些蘊涵的性質(zhì)，以及這些蘊涵關(guān)于一些邏輯重言式成立的充分必要條件。

常見的邏輯重言式有以下幾個：

I(T(x,y),z)=I(x,I(y,z))

(1)

I(S(x,y),z)=T(I(x,y),I(y,z))

(2)

I(T(x,y),z)=S(I(x,z),I(y,z))

(3)

I(x,T1(y,z))=T2(I(x,y),I(x,z))

(4)

I(x,S1(y,z))=S2(I(x,y),I(x,z))

(5)

其中：T、T1、T2為t-模，S、S1、S2為t-余模，I為蘊涵，上述5個重言式的含義請參閱Zhang等[1]的研究。

1 多重蘊涵的交換原則

本節(jié)介紹本文相關(guān)內(nèi)容的一些知識。本文中U=[0，1]。

定義1[2]如果U上的二元運算T滿足交換律、結(jié)合律、單調(diào)性，并且以1為單位元，則稱其為三角模，簡稱t-模。

定義2[2]如果U上的二元運算S滿足交換律、結(jié)合律、單調(diào)性，并且以0為單位元，則稱其為三角余模，簡稱t-余模。

t-模、t-余模有很多種，但是冪等t-模和t-余模分別只有下面介紹的取小運算TM和取大運算SM：

TM(x,y)=min(x,y)，SM(x,y)=max(x,y)。

更多性質(zhì)可參閱Klement等[2]的研究。

定義3[3]如果U上的二元運算I關(guān)于第一變元不增，關(guān)于第二變元不減，并且滿足以下邊界條件：

I(0,0)=I(0，1)=I(1，1)=1，I(1，0)=0，

則稱其為模糊蘊涵，簡稱為蘊涵。

一些特殊類型的蘊涵I和J，還滿足以下一些性質(zhì)：

a)左單位元(NP)：I(1，y)=y，y∈U；

b)交換原則(EP)：I(x，I(y,z))=I(y，I(x，z))，x、y、z∈U；

c)相互交換律(ME)：I(x,J(y,z))=J(y,I(x,z))，x、y、z∈U。

相互交換律(ME)是交換原則(EP)的推廣。關(guān)于具有上述性質(zhì)的模糊蘊涵的進一步研究可參閱Vemuri等[4]的研究。

因為模糊蘊涵關(guān)于第一變量遞減，所以關(guān)于第二變量遞增可以證得以下結(jié)論。

定理1[1]設(shè)I為模糊蘊涵，則對任意x、y、z∈U，以下結(jié)論成立：

a) I(min(x,y),z)=max(I(x,z),I(y,z))；

b) I(x,min(y,z))=min(I(x,y),I(x,z)).

受Vemuri等[5]的啟發(fā)，本文通過多個蘊涵逐次迭代生成新的蘊涵，即有定義4。

定義4 設(shè){I1，I2，…，In}為n個模糊蘊涵構(gòu)成的集合，對其進行n重組合，得到的算子稱為由{I1，I2，…，In}生成的多重模糊算子，即：JI1,I2,…,In(x,y)=I1(x,I2(x,I3(x,…,In(x,y)…)))， x、y∈U.

由定義3可知，當{I1，I2，…，In}都是蘊涵時，對其進行多重迭代而得到的模糊算子JI1,I2,…,In也是蘊涵。

定理2 設(shè)I，I1，I2，…，In為蘊涵，則：

b) 當I1，I2，…，In兩兩都滿足(ME)時，JI1,I2,…,In滿足(EP)。

證明：對任意x、y、z∈U，

a)取n=2，當I滿足(EP)時，I(x,I(y,z))=I(y,I(x,z))，于是

b)由Vemuri等[5]的研究可知，當n=2，且I1、I2滿足(ME)時，JI1,I2滿足(EP)；

令n=3，當I1、I2、I3滿足(ME)時，

I1(x,JI2,I3(y,z))=JI2,I3(y,I1(x,z))，

JI1,I2(x,JI1,I2(y,z))=JI1,I2(y,JI1,I2(x,z))，

因此：

JI1,I2,I3(x,JI1,I2,I3(y,z))

=JI1,I2,I3(x,I1(y,JI2,I3(y,z)))

=I1(x,JI2,I3(x,I1(y,JI2,I3(y,z))))

=I1(x,I1(y,JI2,I3(x,JI2,I3(y,z))))

=I1(x,I1(y,JI2,I3(y,JI2,I3(x,z))))

=I1(y,JI2,I3(y,I1(x,JI2,I3(x,z))))

=JI1,I2,I3(y,JI1,I2,I3(x,z)).

這表明n=3時結(jié)論成立，由數(shù)學歸納法可知，當n為任意正整數(shù)時，JI1,I2,…,In也滿足(EP)?！?/p>

定義5 設(shè){I1，I2，…，In}為n個蘊涵構(gòu)成的集合，當其中任意兩個蘊涵都滿足(ME)時，稱該集合為(ME)蘊涵族。

2 多重蘊涵關(guān)于t-模及t-余模的分配性

命題1 當(ME)蘊涵族{I1，I2，…，In}關(guān)于t-模T滿足等式(1)時，蘊涵JI1,I2,…,In也滿足等式(1)。

證明：對任意x、y∈U，由Vemuri等[5]的研究可知，當n=2時，如果I1、I2關(guān)于t-模T滿足等式(1)和(ME)，則JI1,I2也滿足等式(1)；當n=3時，若(ME)蘊涵族{I1，I2，I3}關(guān)于t-模T滿足(1)式，則：

I1(x,JI2,I3(y,z))=JI2,I3(y,I1(x,z))，

JI1,I2(T(x,y),z)=JI1,I2(x,JI1,I2(y,z))，

從而：

JI1,I2,I3(T(x,y),z)

=I1(T(x,y),JI2,I3(T(x,y),z))

=I1(T(x,y),JI2,I3(x,JI2,I3(y,z)))

=I1(x,I1(y,JI2,I3(x,JI2,I3(y,z))))

=I1(x,JI2,I3(x,I1(y,JI2,I3(y,z))))

=JI1,I2,I3(x,JI1,I2,I3(y,z))，

這表明n=3時結(jié)論成立，進一步，由數(shù)學歸納法可以證得，當n為任意正整數(shù)時結(jié)論同樣成立。□

如果{I1，I2，…，In}不是(ME)蘊涵族，則命題1不再成立，反例如下。

例1 設(shè)t-模T，蘊涵I1和I2分別為：

T(x,y)=min(x,y)，

I1(x,y)=min(1,1-x+y)，

I2(x,y)=1-x+xy，

這表明JI1,I2不滿足等式(1)?！?/p>

命題2 取I1，I2，…，In為值域為U的模糊蘊涵，且關(guān)于t-模T和t-余模S滿足等式(2)，則JI1,I2,…,In滿足等式(2)的充分必要條件為T=TM且S=SM。

證明：對x、y∈U，考慮當n=2的情形。

必要性。由JI1,I2的定義及I1和I2滿足等式(2)可得：

JI1,I2(S(x,y),z)=I1(S(x,y),I2(S(x,y),z))

=I1(S(x,y),T(I2(x,z),I2(y,z)))

=T(I1(x,T(I2(x,z),I2(y,z))), I1(y,T(I2(x,z),I2(y,z))))，

T(JI1,I2(x,z),JI1,I2(y,z))

=T(I1(x,I2(x,z)),I1(y,I2(y,z))).

再由JI1,I2滿足等式(2)可得：

T(I1(x,T(I2(x,z),I2(y,z))), I1(y,T(I2(x,z),I2(y,z))))

=T(I1(x,I2(x,z)),I1(y,I2(y,z)))，

當x=y時，

T(I1(x,T(I2(x,z),I2(x,z))), I1(x,T(I2(x,z),I2(x,z))))

=T(I1(x,I2(x,z)),I1(x,I2(x,z)))，

由t-模T關(guān)于第二個變元是遞增的，I1關(guān)于第二個變元也是遞增的，所以當且僅當I1(x,T(I2(x,z),I2(x,z)))=I1(x,I2(x,z))時上式成立，因為I1關(guān)于第二個變元是遞增的，從而T(I2(x,z),I2(x,z))=I2(x,z)。取k=I2(x,z)，因為I2的值域為[0,1]，從而k∈[0,1]。綜上可得，對任意k∈[0，1]，T(k,k)=k，從而T=TM。

當T=TM時，由定理1可得S=SM。

充分性。當T=TM，S=SM時，由定理1可知，

JI1,I2(S(x,y),z)=JI1,I2(max(x,y),z)

=min(JI1,I2(x,z),JI1,I2(y,z))

=T(JI1,I2(x,z),JI1,I2(y,z))，

因此等式(2)當n=2時成立。由JI1,I2,…,In的結(jié)構(gòu)形式可知，當n為一般正整數(shù)時，等式(2)也成立?！?/p>

當t-模不是TM(x,y)=min(x,y)時，命題1不一定成立，反例如下。

a)當TM(x,y)=min(x,y)，SM(x,y)=max(x,y)時，

故JI1,I2滿足等式(2)。

b)當TM(x,y)=xy，SM(x,y)=max(x,y)時，

因此JI1,I2不滿足等式(2)。

命題3 設(shè)T為t-模，S為t-余模，I1，I2，…，In為關(guān)于T和S滿足等式(3)的值域為U的模糊蘊涵，則JI1,I2,…,In滿足等式(3)的充分必要條件是T=TM且S=SM。

證明：對x、y∈U，考慮n=2的情形。

必要性。由JI1,I2的定義及I1，I2滿足等式(3)可得：

JI1,I2(T(x,y),z)=I1(T(x,y),I2(T(x,y),z))

=I1(T(x,y),S(I2(x,z),I2(y,z)))

=S(I1(x,S(I2(x,z),I2(y,z))), I1(y,S(I2(x,z),I2(y,z))))，

S(JI1,I2(x,z),JI1,I2(y,z)) =S(I1(x,I2(x,z)),I1(y,I2(y,z)))，

再由JI1,I2滿足等式(3)可得：

S(I1(x,S(I2(x,z),I2(y,z))), I1(y,S(I2(x,z),I2(y,z))))

=S(I1(x,I2(x,z)),I1(y,I2(y,z))).

當x=y時，

S(I1(x,S(I2(x,z),I2(x,z))),

I1(x,S(I2(x,z),I2(x,z))))

=S(I1(x,I2(x,z)),I1(x,I2(x,z))).因此t-余模S關(guān)于第二個變元遞增，I1關(guān)于第二個變元也是遞增的，所以當且僅當I1(x,S(I2(x,z),I2(x,z)))=I1(x,I2(x,z))時上式成立，再由I1關(guān)于第二個變元是遞增的，可知，S(I2(x,z),I2(x,z))=I2(x,z)。取k=I2(x,z)，因為I2的值域為[0,1]，故k∈[0,1]，綜上可得對任意k∈[0，1]，有S(k,k)=k，從而S=SM，

當S=SM時，由定理1可得T=TM。

充分性。當T=TM且S=SM時，由定理1可知，

JI1,I2(T(x,y)z)=JI1,I2(min(x,y),z)

=max(JI1,I2(x,z),JI1,I2(y,z))

=S(JI1,I2(x,z),JI1,I2(y,z))，

因此等式(3)當n=2時成立，由JI1,I2,…,In的結(jié)構(gòu)形式可知，當n為一般正整數(shù)時，等式(3)也成立?！?/p>

定理3[1]a)設(shè)T1和T2為t-模，若模糊蘊涵I滿足(NP)，且關(guān)于t-模T1和T2滿足等式(4)，則T1=T2；

b)設(shè)S1和S2為t-余模，若模糊蘊涵I滿足(NP)，且關(guān)于t-余模S1和S2滿足等式(5)，則S1=S2。

若模糊蘊涵滿足(NP)，則等式(4)、(5)分別具有下述形式：

I(x,T(y,z))=T(I(x,y),I(x,z))

(6)

I(x,S(y,z))=S(I(x,y),I(x,z))

(7)

下面分析等式(6)和(7)的情形。

命題4 若模糊蘊涵I1，I2，…，In關(guān)于t-模T滿足等式(6)(n大于1)，則JI1,I2,…,In關(guān)于t-模T也滿足等式(6)。

證明：對任意x、y、z∈U，當n=2時，由I1，I2關(guān)于t-模T滿足等式(6)可知：

JI1,I2(x,T(y,z))=I1(x,I2(x,T(y,z)))

=I1(x,T(I2(x,y),I2(x,z)))

=T(I1(x,I2(x,y)),I1(x,I2(x,z)))

=T(JI1,I2(x,y),JI1,I2(x,z))，

這表明n=2時結(jié)論成立。進一步，如果命題結(jié)論當n=k時成立，則：

JI1,I2,…,Ik(x,T(y,z))

=T(JI1,I2,…,Ik(x,y),JI1,I2,…,Ik(x,z))，

因此當n=k+1時，

JI1,I2,…,Ik,Ik+1(x,T(y,z))

=JI1,I2,…,Ik(x,Ik+1(x,T(y,z)))

=JI1,I2,…,Ik(x,T(Ik+1(x,y),Ik+1(x,z)))

=T(JI1,I2,…,Ik,Ik+1(x,y),JI1,I2,…,Ik,Ik+1(x,z)).

由數(shù)學歸納法可知，命題的結(jié)論成立。□

命題5 若模糊蘊涵I1，I2，…，In關(guān)于t-余模S滿足等式(7)(n大于1)，則JI1,I2,…,In關(guān)于t-余模S也滿足等式(7)。

證明：對任意x、y、z∈U，當n=2時，由I1，I2關(guān)于t-余模S滿足等式(7)可知，

JI1,I2(x,S(y,z))=I1(x,I2(x,S(y,z)))

=I1(x,S(I2(x,y),I2(x,z)))

=S(I1(x,I2(x,y)),I1(x,I2(x,z)))

=S(JI1,I2(x,y),JI1,I2(x,z))，

這表明n=2時結(jié)論成立。進一步，如果命題結(jié)論當n=k時成立，則：

JI1,I2,…,Ik(x,S(y,z))

=S(JI1,I2,…,Ik(x,y),JI1,I2,…,Ik(x,z))，

從而當n=k+1時，

JI1,I2,…,Ik,Ik+1(x,S(y,z))

=JI1,I2,…,Ik(x,Ik+1(x,S(y,z)))

=JI1,I2,…,Ik(x,S(Ik+1(x,y),Ik+1(x,z)))

=S(JI1,I2,…,Ik,Ik+1(x,y),JI1,I2,…,Ik,Ik+1(x,z)).

由數(shù)學歸納法可知命題的結(jié)論成立?！?/p>

3 結(jié) 語

本文對由模糊蘊涵{I1，I2，…，In}進行多重迭代得到的模糊蘊涵JI1,I2,…,In的相互交換律進行了研究，并通過數(shù)學歸納法對它們在一些邏輯重言式上的性質(zhì)進行了分析，得到若干重言式成立的充分必要條件。本文的工作對模糊蘊涵在近似推理[6-7]和模糊控制等領(lǐng)域有一定的實用價值，關(guān)于其具體應(yīng)用將另做研究。

[1] ZHANG F X, LIU H W. On a new class of implication：(g, u)-implications and the distributive equations [J]. International Journal of Approximate Reasoning,2013,54(8)：1049-1065.

[2] KLEMENT E P, MESIAR R, PAP E. Triangular Norms [M]. Dordrecht：Kluwer,2000：1-13.

[3] BACZYNSKI M, JAYARAM B. Fuzzy Implications [M]. Heidelberg：Springer,2008：1-25.

[4] VEMURI N R. Mutually exchangeable fuzzy implications [J]. Information Sciences,2015,317(C)：1-24.

[5] VEMURI N R, JAYARAM B. The ○-composition of fuzzy implications：Closures with respect to properties, powers and families [J]. Fuzzy Set and Systems,2015,275：58-87.

[6] 裴道武.模糊推理的基本理論[J].高校應(yīng)用數(shù)學學報,2012,27(3)：340-350.

[7] 裴道武.基于三角模的模糊邏輯理論及其應(yīng)用[M].科學出版社,2013：220-330.

(責任編輯： 康 鋒)

Distributivity of Multiple Fuzzy Implications about Triangle Module

LIFang,PEIDaowu

(School of Sciences, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

Some new fuzzy implications can be gained by multiple iterations of fuzzy implications. The new fuzzy implications maintain many properties of original implications. In this paper, based on the multiple fuzzy implications, we mainly discuss the mutual exchange law and logical tautologies about distribution. Some necessary and sufficient conditions are given for these logical tautologies. These results will further indicate the advantages of new implications generated by multiple iterations and have certain guidance significance for application of fuzzy implications in related fields.

fuzzy logic; fuzzy implication; multiple fuzzy implication; distributive law; mutual exchange law

10.3969/j.issn.1673-3851.2017.01.016

2016-05-12

日期： 2016-12-09

國家自然科學基金項目(11171308，61379018，61472471)

李 芳(1992-)，女，安徽宿州人，碩士研究生，主要從事模糊數(shù)學方面的研究。

裴道武，E-mail: peidw@163.com

O221；F272.3

A

1673- 3851 (2017) 01- 0099- 05