☉西北師范大學(xué)教育學(xué)院 張定強(qiáng) 閆佳潔

2016年全國高考試卷中“數(shù)列”試題分析

☉西北師范大學(xué)教育學(xué)院 張定強(qiáng) 閆佳潔

數(shù)列既是高中數(shù)學(xué)體系中的重要內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，常與其他數(shù)學(xué)知識緊密聯(lián)系.命題者依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡稱《課標(biāo)》）的要求，把數(shù)列作為考點(diǎn)進(jìn)行命題，以考查學(xué)生基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)聯(lián)系的掌握程度，本文對2016年全國高考數(shù)學(xué)試卷中數(shù)列試題的特點(diǎn)進(jìn)行分析，并提出了一些教學(xué)建議.

一、各地區(qū)試卷對“數(shù)列”知識考查的題型及分值分析

2016年高考數(shù)學(xué)文、理科共19套試卷，都對數(shù)列知識進(jìn)行了考查，其中7個地區(qū)自主命題（北京、天津、上海、江蘇、浙江、山東、四川文理各一套，江蘇省文理為同一套）有13套試卷，其余各地區(qū)分別使用新課標(biāo)卷I（河北、江西、安徽、福建、河南、廣東、湖南、湖北、山西、廣西）、新課標(biāo)卷Ⅱ（甘肅、吉林、寧夏、重慶、青海、西藏、黑龍江、遼寧、新疆、內(nèi)蒙古、海南、山西、貴州、云南）、新課標(biāo)卷Ⅲ（廣西）共6套試卷.2016年全國19套高考數(shù)學(xué)試卷按照題型和分值統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1：

表1 2016年高考數(shù)學(xué)各套試卷對數(shù)列考查題型及分值統(tǒng)計(jì)表

上海卷文 1 4 0 0 1 16 2 20理1 4 1 5 1 18 3 27江蘇卷文 1 5 0 0 1 16 2 21理1 5 0 0 1 16 2 21浙江卷文 1 5 0 0 1 15 2 20理1 5 1 4 1 15 2 24山東卷文 0 0 0 0 1 12 1 12理0 0 0 0 1 12 1 12四川卷文 1 5 0 0 1 12 2 17理1 5 0 0 1 12 2 17

從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來看，2016年高考數(shù)學(xué)對數(shù)列知識的考查題目個數(shù)是9套試卷1題、10套試卷2道，1套試卷3題，差異不大.從題型的角度看，選擇題僅在10套試卷中出現(xiàn)了數(shù)列題，分值是4或5分；填空題僅在4套試卷中出現(xiàn)了數(shù)列題，分值也是4或5分；除新課標(biāo)卷I理科卷外，解答題在其他試卷中都有一道數(shù)列題出現(xiàn)，分值分布在區(qū)間［12，18］內(nèi)，大多是12～13分.總之，數(shù)列方面的試題在選擇題與填空題方面出現(xiàn)題量差異較大，而在解答題的題量方面相對穩(wěn)定.

從新課標(biāo)卷和自主命題試卷來看，除新課標(biāo)Ⅰ理科卷外，數(shù)列在所有的新課標(biāo)卷的選擇題和填空題方面都沒出題；而自主命題試卷只有北京文、天津文和山東卷在數(shù)列方面沒有出填空題、選擇題.由此知道，2016年高考數(shù)學(xué)19套試卷均考查了數(shù)列知識，相比自主命題卷，新課標(biāo)卷對數(shù)列知識的考查題量較少，或者只在大題（解答題）中考查，或者只在小題中考查，而自主命題試卷則對數(shù)列知識考查題量較多，大部分自主命題地區(qū)大題小題都有.

從文理科卷來看，文科卷共有14道題，總分是152，占每套試卷分值的10.13%；理科卷共有18道題，總分170，占每套試卷分值的11.33%.足見數(shù)列知識是高考數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.

二、各地區(qū)試卷對“數(shù)列”知識考查的試題特點(diǎn)分析

分析2016年高考數(shù)學(xué)試卷中的數(shù)列試題，發(fā)現(xiàn)有如下4個方面的特點(diǎn).

1.以考查等差、等比數(shù)列知識為主

《課標(biāo)》中明確寫道：“通過實(shí)例，理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念”，“探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式”，［1］而今年的數(shù)列考題命題者正是按照《課標(biāo)》的要求重點(diǎn)考查了等差、等比數(shù)列的相關(guān)知識；19套高考數(shù)學(xué)試卷中均有等差數(shù)列或等比數(shù)列的題目，大部分?jǐn)?shù)列的題目是以解答題形式考查了等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)知識，如通項(xiàng)公式、性質(zhì)、前n項(xiàng)和等.

例1（北京卷理12）已知｛an｝為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1=6，a3+a5=0，則S6=_______.

分析：此題給出了等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)，并且所給出的項(xiàng)都是奇數(shù)項(xiàng)，通過等差數(shù)列的性質(zhì)可得到a4=0，從而得到公差d=-2，進(jìn)而通過首項(xiàng)和公差很容易就會求得前6項(xiàng)之和為6.

例2（新課標(biāo)卷Ⅰ文17）已知｛an｝是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列｛bn｝滿足

（Ⅰ）求｛an｝的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）求｛bn｝的前n項(xiàng)和.

分析：題目給出了｛an｝是等差數(shù)列，對數(shù)列｛bn｝只給出了第一項(xiàng)和第二項(xiàng).對第一問，從已知的等式中，不難觀察出當(dāng)n=1時(shí)，等式變?yōu)閍1b2+b2=b1，容易得到｛an｝的首項(xiàng)，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式an=3n-1；聯(lián)系第一問中求得的｛an｝的通項(xiàng)公式，代入等式，化簡可找到bn與bn+1之間的關(guān)系，得到｛bn｝是等比數(shù)列，進(jìn)而可以求得前n項(xiàng)和Sn=

2.關(guān)注知識間的交叉融合性

分析高考數(shù)學(xué)試卷中數(shù)列知識的考點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)通常是與相關(guān)的知識點(diǎn)聯(lián)合考查.數(shù)列本身與相關(guān)的知識進(jìn)行融合就會命制出更多精彩的數(shù)列試題來.［2］［3］試題的交叉融合性越大，對學(xué)生的要求就越高，既需要學(xué)生清晰地掌握數(shù)列知識，又需要學(xué)生掌握與之相關(guān)知識間的聯(lián)系，把數(shù)學(xué)知識真正學(xué)“透”、學(xué)“通”，才能迎接數(shù)學(xué)思維能力和解題方法的挑戰(zhàn).就今年試題而言，發(fā)現(xiàn)數(shù)列與不等式、集合、極限、充要條件、二次函數(shù)性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、三角函數(shù)性質(zhì)、雙曲線性質(zhì)，以及幾何中三角形的邊和面積知識點(diǎn)等相融合的綜合試題較多.

例3（上海卷理17）已知無窮等比數(shù)列｛an｝的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，且下列條件中，使得2Sn

A.a1>0，0.6

C.a1>0，0.7

分析：這道題目給出的是一個無窮等比數(shù)列，與極限知識綜合考查，要求根據(jù)給出的條件判斷a1和q的范圍.從已知條件和2Sn

例4（天津卷文18）已知｛an｝是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），且

（Ⅰ）求｛an｝的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若對任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中項(xiàng)，求數(shù)列｛（-1）nb2｝的前2n項(xiàng)和.

n

分析：本題看似是常規(guī)題，重點(diǎn)考查等差、等比數(shù)列及數(shù)列求和，但在第二問中將對數(shù)運(yùn)算與數(shù)列知識巧妙地結(jié)合在一起，得到數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式過渡自然，內(nèi)涵豐富.

3.試題中植入創(chuàng)新因子，體現(xiàn)創(chuàng)新意識

《課標(biāo)》中的具體目標(biāo)之一就是“發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識”.［1］縱觀2016年的所有數(shù)列考題，就會發(fā)現(xiàn)，對于一些數(shù)列知識的考查，命題者會利用一些數(shù)學(xué)知識進(jìn)行內(nèi)涵挖掘和外延拓展，如自定義數(shù)列，命制一些符合某些特殊條件的數(shù)列讓考生進(jìn)行研究，既能考查數(shù)列的某些性質(zhì)與判定，又能夠與其他部分的知識聯(lián)動考查，真正考查學(xué)生的創(chuàng)新能力.［4］

例5（新課標(biāo)卷Ⅱ文17）等差數(shù)列｛an｝中，a3+a4=4，a5+a7=6.

（Ⅰ）求｛an｝的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)bn=［an］，求數(shù)列｛bn｝的前10項(xiàng)和，其中［x］表示不超過x的最大整數(shù)，如［0.9］=0，［2.6］=2.

分析：本題第一問是常規(guī)題，考查通性通法；第二問數(shù)列｛bn｝是自定義數(shù)列，解決這一創(chuàng)新問題，就要從新的定義中找到數(shù)列｛bn｝的本質(zhì)，如果學(xué)生對｛bn｝的定義出現(xiàn)的取整理解偏差，把握不準(zhǔn)確，在解決問題的過程中就會出現(xiàn)錯誤，如果正確理解，就能順利解決這個問題，得｛bn｝的前10項(xiàng)和為1×3+2×2+3×3+4×2=24.

例6（上海卷文22）對于無窮數(shù)列｛an｝與｛bn｝，記A=｛x|x=a，n∈N*｝，B=｛x|x=bn，n∈N*｝，若同時(shí)滿足條件：①｛an｝，｛bn｝均單調(diào)遞增；②A∩B=?且A∪B=N*，則稱｛an｝與｛bn｝是無窮互補(bǔ)數(shù)列.

（1）若an=2n-1，bn=4n-2，判斷｛an｝與｛bn｝是否為無窮互補(bǔ)數(shù)列，并說明理由；

（2）若an=2n且｛an｝與｛bn｝是無窮互補(bǔ)數(shù)列，求數(shù)列｛bn｝的前16項(xiàng)的和；

（3）若｛an｝與｛bn｝是無窮互補(bǔ)數(shù)列，｛an｝為等差數(shù)列且a16=36，求｛an｝與｛bn｝的通項(xiàng)公式.

分析：本題給出了無窮互補(bǔ)數(shù)列的定義，第一問要判斷兩個數(shù)列是否為無窮等比數(shù)列，學(xué)生要么能夠找到一組反例不滿足無窮等比數(shù)列其中的任何一個條件，得出結(jié)果，要么能夠證明兩組數(shù)列是無窮等比數(shù)列，而這道題剛好是前者，所以降低了難度；第二問通過已知條件推導(dǎo)，自然地過渡到了數(shù)列求和的分組求和上，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)變換的奇特之美；第三問看似是常規(guī)的求數(shù)列通項(xiàng)公式的題目，實(shí)際上還考查到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，內(nèi)涵豐富.

4.不同試卷數(shù)列試題難易程度有差異性

2016年的高考數(shù)學(xué)試卷中對于數(shù)列的考查，從運(yùn)算的復(fù)雜程度和知識的綜合性與交叉性來看，文科和理科難易程度有所不同，新課標(biāo)卷與自主命題試卷難易程度也有所不同，大致呈現(xiàn)出文科較理科簡單，新課標(biāo)卷較自主命題試卷簡單的態(tài)勢.

（1）同一地區(qū)文、理科試題難度適當(dāng)有別.

今年的高考數(shù)學(xué)試卷只有江蘇卷出現(xiàn)了文理合卷的情況，其他地區(qū)是文、理科分考.文、理科試題對于數(shù)列的考查在題目個數(shù)、題型及試題難度上均有所差異；部分地區(qū)為了使文理科差異保持適度，命題的數(shù)量和題型保持一致，但理科卷比文科卷在運(yùn)算和知識交叉上較復(fù)雜，如山東卷.也有部分地區(qū)的高考題中，對數(shù)列的考查，理科卷從題目個數(shù)、題型、試題難度上均比文科卷要復(fù)雜，如北京卷.運(yùn)用曹一鳴與吳立寶例習(xí)題難度的計(jì)算方法計(jì)算，［5］發(fā)現(xiàn)同一地區(qū)文、理科試題難度適當(dāng)有別，如山東卷文科的難度值為1.56，理科的難度值為1.75；北京卷文科的難度值為1.94，理科的難度值為2.31，從數(shù)據(jù)可以看出山東卷和北京卷的理科卷難度值均大于文科卷難度值.

（2）不同地區(qū)試題難度不同.

從所有高考試卷中數(shù)列題目來看，大部分自主命題試卷對數(shù)列的要求高于新課標(biāo)卷的要求，尤其是在運(yùn)算的復(fù)雜程度、知識的交叉性與綜合性、創(chuàng)新性上較為突出，如北京、天津、上海、江蘇、四川和浙江.用同樣的計(jì)算方法可知，不同地區(qū)試題難度不同，如新課標(biāo)卷Ⅱ理科難度值為2.215，北京卷理科難度值為2.31，四川卷理科難度值為2.327，顯然，北京卷理科和四川卷理科的難度值要大于新課標(biāo)卷Ⅱ理科的難度值.

三、高中數(shù)學(xué)“數(shù)列”教學(xué)的三點(diǎn)建議

根據(jù)以上分析，不難發(fā)現(xiàn)，高考試題對數(shù)列的考查集中在對等差、等比數(shù)列的考查，大部分試題與其他方面的知識相結(jié)合，對學(xué)生創(chuàng)新意識與能力的考查不斷加強(qiáng)，在教學(xué)中：

1.緊扣考綱，打好基礎(chǔ)

2016年高考數(shù)學(xué)試題中的數(shù)列部分，緊扣考綱考查基本概念，重點(diǎn)考查等差、等比數(shù)列相關(guān)概念的性質(zhì)、求公差和公比、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和等方面的知識，雖然試題千變?nèi)f化，但都以基礎(chǔ)知識、基本能力、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ).所以在教學(xué)中，要以課標(biāo)為基礎(chǔ)，圍繞教科書，緊扣考綱，對重點(diǎn)內(nèi)容，如上述所提的知識點(diǎn)要重點(diǎn)復(fù)習(xí)，夯實(shí)基礎(chǔ)知識，訓(xùn)練學(xué)生靈活思維方式，特別是與其他知識相融合后處理問題的方式方法，以提高學(xué)生應(yīng)對高難度試題的能力.

2.注重?cái)?shù)列與其他知識的綜合性復(fù)習(xí)

綜合分析近幾年高考數(shù)學(xué)試卷中關(guān)于數(shù)列的試題，大部分試題都是與其他數(shù)學(xué)知識相關(guān)聯(lián)而命題的，體現(xiàn)了知識之間的融合性，所以在教學(xué)中，要創(chuàng)設(shè)多種途徑，如用畫思維導(dǎo)圖、專題講座等形式不斷溝通數(shù)列與三角函數(shù)、二次函數(shù)、指對冪函數(shù)、三角形邊角關(guān)系、不等式、極限等知識之間的聯(lián)系，通過例題、習(xí)題、檢測等方式來強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識之間的相互聯(lián)系，讓學(xué)生在解決問題的過程中靈活運(yùn)用數(shù)列相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法及解決問題模型，體會這些思想方法在解決綜合問題中的力量.

3.精細(xì)化創(chuàng)設(shè)問題情景以提高學(xué)生的創(chuàng)新意識

分析這幾年的高考試題，創(chuàng)新意識在高考試題中逐步彰顯，也成為命制數(shù)列試題的一大亮點(diǎn)；這就要求在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要不斷創(chuàng)設(shè)問題情景，圍繞問題型、方法型、命題型情境創(chuàng)設(shè)，重點(diǎn)基于生活情境、科學(xué)情境、文化情境、思維情境形成數(shù)列方面的情景場域，使學(xué)生的學(xué)習(xí)高效，便于理解、詮釋、反思、探究、創(chuàng)造的深入，更好地理解數(shù)列方面的核心概念、掌握數(shù)學(xué)思想方法，盤活資源，激活思維，提高學(xué)生的創(chuàng)新思維，使學(xué)生能夠較好地應(yīng)對一些創(chuàng)新試題，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，形成創(chuàng)新意識.

1.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.劉會金.2014年高考“數(shù)列”專題分析［J］.中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2014（7-8）.

3.劉會金.2012年高考“數(shù)列”專題分析［J］.中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2012（7-8）.

4.高慧明，高宇.全國高考數(shù)學(xué)“壓軸題”分類研析——以“數(shù)列”為主體［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2013（3）.

5.曹一鳴，吳立寶.初中數(shù)學(xué)教材難易程度的國際比較研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015（4）.