☉江蘇省海門實(shí)驗(yàn)學(xué)校 嚴(yán)敏娟

注重反思 不斷總結(jié)
——例談函數(shù)值域的求法

☉江蘇省海門實(shí)驗(yàn)學(xué)校 嚴(yán)敏娟

求函數(shù)值域是近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn).能熟練掌握函數(shù)值域（最值）的求法就顯得十分重要.筆者旨在通過對(duì)典型例題的講解來歸納函數(shù)值域（最值）的求法，希望在我們求函數(shù)值域（最值）時(shí)有所幫助.

一、判別式法求函數(shù)值域

判別式法是高中求分式函數(shù)值域的常用方法.但由于對(duì)此方法的原理不很清楚，許多學(xué)生在解題過程中對(duì)一些條件不能正確的處理，從而導(dǎo)致解題出錯(cuò).通過下面例題說明判別式法的原理，以及在使用過程中一些要注意的地方.

解析：由已知得yx2+2xy-3y=x2-2x+3，即（y-1）x2+ 2（y+1）x-3（y+1）=0.

當(dāng)y≠1時(shí)，Δ=4（y+1）2+12（y+1）（y-1）=8（2y-1）（y+ 1）≥0，y≥或y≤-1.

例2求函數(shù)（x∈R且x≠-3，x≠1）的值域.

解析：由已知得yx2+2xy-3y=2x2+4x+1，即（y-2）x2+ 2（y-2）x-（3y+1）=0.

（1）當(dāng)y=2時(shí)，得-9=0，x不存在.因此，y=2不是函數(shù)值.

（2）當(dāng)y≠2時(shí)，Δ=4（y-2）（4y+1）≥0，有y＞2或

對(duì)于函數(shù)值域中遇到的問題，只有清楚題目的來龍去脈，搞清原理，才能避免胡亂套用，從容應(yīng)對(duì)各種類型的變化.只有這樣，才算是真正掌握這種方法了.

二、變量代換法求函數(shù)值域

代換就是用一個(gè)廣義數(shù)學(xué)式（可以是字母、式子、函數(shù)等）在相等條件下代替一個(gè)數(shù)或廣義數(shù)學(xué)式，代換須保域，即代換前后的數(shù)學(xué)式取值范圍不變，代換將改變問題的結(jié)構(gòu)形式，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.

例3求函數(shù)的值域.

解法一：（三角代換）由5≤x≤8，保持原函數(shù)中x的取值范圍，以一三角式代換變量x，設(shè)x=5+3sin2θ，θ∈得由θ-得故函數(shù)的值域?yàn)?/p>

解法二：（雙變量代換）注意到與的關(guān)系，又可作雙變量代換，設(shè)則3u2+v2=9（u≥ 0，v≥0），y=u-v.如圖1，在直角坐標(biāo)系uOv中，由直線u-v-y=0與橢圓弧3u2+v2=9（u≥0，v≥0） 有公共點(diǎn)時(shí)，y∈［-3，故所求函數(shù)值域?yàn)?/p>

圖1

變量代換關(guān)鍵要抓住式子的特征和結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

三、構(gòu)造向量求函數(shù)的值域

對(duì)于一類無理函數(shù)的值域問題，若能靈活運(yùn)用向量知識(shí)，則可非常順利地求解.避免心理上的畏懼感.下面從一個(gè)例題出發(fā)，從向量的角度談?wù)勥@類無理函數(shù)的值域的處理，期望得到一個(gè)統(tǒng)一方法.

例4求函數(shù)的值域.

解析：因?yàn)闃?gòu)造向量a=（1，1），b=（s，t）=我們不妨把向量a，b的起點(diǎn)設(shè)在坐標(biāo)原點(diǎn)，那么向量b的終點(diǎn)軌跡方程是2+t2=1，它的軌跡是s2+t2=1 s≥0，t≥0），在第一象限及坐標(biāo)軸上的圓?。ㄈ鐖D2）.由則y=a·b=|a||b|cos=圖易知，當(dāng)向量a與向量b同向時(shí)，a與b的夾角最小，ymax=當(dāng)向量b=（1，0）或b=（0，1）時(shí)，向量a與向量b的夾角最大，ymin=a·b=2×1+0×1=1.所以

圖2

（2）兩個(gè)被開方數(shù)之和為正常數(shù)，即（x+b）+（c-x）=k（k為大于0的常數(shù)）.

四、直接平方法求函數(shù)值域

當(dāng)兩個(gè)根式的平方和為定值時(shí)，可以采用直接平方，將變量集中到一個(gè)根式中.

例5求函數(shù)的值域.

分析：本題用三角換元的主要原因是兩個(gè)根式的平方和為定值，換個(gè)角度——直接平方就可以使變量都集中到一個(gè)根式中，即這樣就轉(zhuǎn)化為了我們熟知的一元二次函數(shù)值域的問題（具體解法略），當(dāng)然用此法時(shí)事先要能控制y的符號(hào).

五、通過有理化求函數(shù)值域

若兩個(gè)根式求值域時(shí)，直接平方無法達(dá)到升冪的效果，可以考慮對(duì)函數(shù)有理化.

例6求函數(shù)的值域.

分析：本題直接平方不能使變量都集中在根號(hào)中，也無法通過以上的手段達(dá)到升冪的效果，此時(shí)就從函數(shù)的性質(zhì)角度思考，有理化后可直觀發(fā)現(xiàn)此函數(shù)有單調(diào)性在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，再求定義域，根據(jù)單調(diào)性解決.

六、數(shù)形結(jié)合或式子的幾何意義求函數(shù)值域

這類求解的式子具有明顯的幾何意義或特定的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)函數(shù)圖像、性質(zhì)能較容易得出值域（最值）的簡(jiǎn)單函數(shù).

例7已知p（x，y）是圓x2+y2=4上的點(diǎn)，試求t=x2+y2-3xy的值域.

分析：在三角函數(shù)章節(jié)中我們學(xué)過sin2α+cos2α=1，注意到x2+y2=4可變形為sinα，α∈［0，2π），則t=4-3×2cosα×2sinα=4-6sin2α.又2α∈［0，4π），即sin2α∈［-1，1］，故t∈［-2，10］.

例8求函數(shù)的值域.

分析：看到該函數(shù)的形式，我們可想到已知兩點(diǎn)求直線的斜率的公式將原函數(shù)視為定點(diǎn)（2，3）到動(dòng)點(diǎn)（cosx，sinx）的斜率，又知?jiǎng)狱c(diǎn)（cosx，sinx）滿足單位圓的方程，從而問題就轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)（2，3）到單位圓連線的斜率問題，作出圖形（如圖3），觀察易知最值在直線和圓上點(diǎn)的連線和圓相切時(shí)取得.設(shè)切線方程為y-3=k（x-2），即kx-y+3-2k= 0，從由于原點(diǎn)（0，0）到切線的距離等于半徑1，則有1=解得所以y∈

點(diǎn)評(píng)：本題從函數(shù)本身的形式入手，引入直線的斜率，結(jié)合圖形，從而使問題得到巧解.

圖3

七、通過線性規(guī)劃求函數(shù)值域

例8求函數(shù)y=的值域.

解析：（數(shù)形結(jié)合法）由x∈［-3，1］，令u=則在平面直角坐標(biāo)系uOv中，作出圓弧u2+v2=4（u≥0，v≥0）和直線y= u+v，（u≥0，v≥0），如圖4所示，故得最大值為最小值為2.

通過教學(xué)思想方法的運(yùn)用，突出了函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)，值域，讓學(xué)生領(lǐng)悟了函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.解題教學(xué)不應(yīng)重視一招一式，而應(yīng)注重方法的自然性、普適性，以及解題后的反思、提煉.因此，解題教學(xué)中，教師的主要職能在于怎樣幫助學(xué)生做好解題后的反思，充分挖掘例題本身的功能，做到“授之以漁”.特別是解題后在知識(shí)方法方面進(jìn)行分析、比較、反思、提煉的過程，使這個(gè)例題的解題思維成為一種能力，而并不是只注重這個(gè)題的步驟是什么，這個(gè)思維的突破要是自然的，有普適性，最后讓這些解題的思維方法、意識(shí)留在學(xué)生的腦海中，這樣的例題教學(xué)才是有效的.

圖4