☉江蘇省如皋市第一中學(xué) 吉俊杰

“空間運(yùn)動(dòng)”與“圓錐”的“不解之緣”
——由2016年浙江高考談“動(dòng)態(tài)”立體幾何教學(xué)建議

☉江蘇省如皋市第一中學(xué) 吉俊杰

“動(dòng)態(tài)”充滿著神奇，孕育著創(chuàng)造，動(dòng)態(tài)性問(wèn)題滲透著運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，是立體幾何的一大難點(diǎn).所謂“動(dòng)態(tài)”性立體幾何題，是指在點(diǎn)、線、面運(yùn)動(dòng)變化的幾何圖形中，探尋點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系或進(jìn)行有關(guān)角與距離的計(jì)算.［1］當(dāng)前高考“動(dòng)態(tài)”立體幾何的命題趨勢(shì)逐漸由“關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果”轉(zhuǎn)向“關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程”，更加注重與其他知識(shí)交匯融合，尤其是浙江省高考中的“動(dòng)態(tài)”立體幾何問(wèn)題，更是與“圓錐”結(jié)下了“不解之緣”.浙江省的“動(dòng)態(tài)”立體幾何問(wèn)題除考查立體幾何基本知識(shí)點(diǎn)與基本思想方法以外，更注重對(duì)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)與綜合運(yùn)用知識(shí)能力的考查.學(xué)生在解決這類問(wèn)題時(shí)，總存在著一定的心理和思維方面的困惑或障礙，下面筆者就結(jié)合近幾年高考的命題趨勢(shì)，談?wù)劥祟悊?wèn)題的教學(xué)建議.

一、又是一年芳草綠，依然十里杏花紅

又是一年高考時(shí)，今年浙江高考數(shù)學(xué)文理卷上各有一道關(guān)于“動(dòng)態(tài)”立體幾何的題目，而且兩道題都與“圓錐”存在緊密聯(lián)系.

例1（2016年浙江高考文科第14題）如圖1，已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=∠ADC=90°.沿直線AC將△ACD翻折成△ACD′，則直線AC與BD′所成角的余弦的最大值是______.

圖1

解析：此題“動(dòng)態(tài)”十足，屬于比較常見(jiàn)的翻折問(wèn)題，但按照一般求空間角的思路，不論是利用幾何法作出空間角，還是利用坐標(biāo)法求出角，解題過(guò)程都會(huì)比較復(fù)雜.如果關(guān)注“翻折”運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)D做圓周運(yùn)動(dòng)，線段CD的運(yùn)動(dòng)軌跡構(gòu)成一個(gè)圓錐（以AC為軸）.

如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DH垂直AC于點(diǎn)H，點(diǎn)D在以H為圓心，DH為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直線AC與BD所成角為直線BD與圓面所成角的余角.因此，問(wèn)題等價(jià)于求直線BD與圓面所成角的正弦值的最大值.

圖2

例2（2016年浙江高考理科第14題）如圖3，在△ABC中，AB= BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是_______.

圖3

解析：此題“運(yùn)動(dòng)”特點(diǎn)不明顯，人們很難把它與“動(dòng)態(tài)”立體幾何聯(lián)系起來(lái)，而是把它當(dāng)作一般的求體積問(wèn)題來(lái)處理.設(shè)AD=x，然后把四面體的體積表示為x的函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.這種解題思路盡管能求出結(jié)果，但過(guò)程煩瑣，運(yùn)算復(fù)雜，“小題大做”，得不償失.

若用“運(yùn)動(dòng)變化”的視角重新審視題目條件與結(jié)論，我們對(duì)上述四面體中的點(diǎn)、線、面的關(guān)系會(huì)有新的認(rèn)識(shí)，具體如下表所示：

靜止 運(yùn)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)A、B、C 點(diǎn)P、D線 AB=BC=PB=2，AC=2 3■ PB與面ABC的夾角、DA=PD面面ABC 面BAP、面BPC、面APC

由“AB=BC=PB=2”聯(lián)想到以B為頂點(diǎn)，BA、BC、BP為側(cè)棱的三棱錐模型；“BP運(yùn)動(dòng)中長(zhǎng)度保持不變”，那么PB可以看成B為頂點(diǎn)的圓錐的母線.于是，我們就可以在四面體的基礎(chǔ)上構(gòu)造如圖4所示的圓錐模型，可以得到此題一種“特殊”（近似）解法.

圖4

要使四面體PBCD體積最大，需要高與底面S△PCD最大；當(dāng)面ABC與底面垂直時(shí)高取得最大值1，此時(shí)AP⊥PC，如圖5所示，設(shè)∠PAD=α，由DA=PD得∠DPA=α，則所以所以D是 AC的中點(diǎn)，此時(shí)滿足因此要使S△PCD最大，只需S△PAC最大.顯然，當(dāng)PA=PB時(shí)，S△PAC取到最大值為此時(shí)所以VB-PCD的最大值為

圖5

構(gòu)造圓錐模型的最大好處就是容易確定動(dòng)點(diǎn)P的位置及運(yùn)動(dòng)軌跡，容易發(fā)現(xiàn)隱含的幾何性質(zhì)，從而使解題過(guò)程得到優(yōu)化.

二、千歌百舞不可數(shù)，就中最愛(ài)霓裳舞

無(wú)獨(dú)有偶，2015年的浙江數(shù)學(xué)高考文、理也各有一道“動(dòng)態(tài)”立體幾何題，而且也都與“圓錐”有關(guān).

例3（2015年浙江高考文科第7題）如圖6，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動(dòng)點(diǎn)P滿足∠PBA=30°，則點(diǎn)P的軌跡是（ ）.

圖6

A.直線 B.拋物線

C.橢圓 D.雙曲線的一支

解析：如圖7，P點(diǎn)的軌跡為以斜線段AB為旋轉(zhuǎn)軸，母線與AB所成的角為30°的圓錐面，因直線AB與平面α所成的角為60°，故平面沿垂直于母線AD方向去截，截得的截面顯然為橢圓.

圖7

例4（2015年浙江高考理科第8題）如圖8，已知△ABC，D是AB的中點(diǎn)，沿直線CD將△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為α，則（ ）.

A.∠A′DB≤α B.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤α D.∠A′CB≥α

圖8

解析：對(duì)于選擇題而言，用特殊位置法也能得到答案，但無(wú)法觸及問(wèn)題本質(zhì).事實(shí)上，過(guò)A點(diǎn)作AP⊥DC，垂足為P，延長(zhǎng)AP交BC與點(diǎn)R，連接A′P，則∠A′PR為二面角A′-CD-B的平面角，△A′CD繞直線CD轉(zhuǎn)動(dòng)，由此可以構(gòu)造圓錐模型，如圖9，A′點(diǎn)在共底面圓錐C-P、D-P的底面上轉(zhuǎn)動(dòng)，在等腰△PAA′中，易知∠A′PR=2∠PAA′=α；在等腰△DAA′中，∠A′DB=2∠A′AD.因?yàn)锳D＞AP，所以等腰△DAA′的腰長(zhǎng)比等腰△PAA′的長(zhǎng)，根據(jù)大邊對(duì)大角，可知∠A′AD＞∠PAA′，所以∠A′DB≥α.

圖9

通過(guò)構(gòu)造圓錐模型，我們不僅圓滿地解決了問(wèn)題，并且還發(fā)現(xiàn)“D是線段AB的中點(diǎn)”的條件其實(shí)是多余的，沒(méi)有這個(gè)條件結(jié)論照樣成立.

縱觀近10年的浙江數(shù)學(xué)高考試卷（如下表所示），不難發(fā)現(xiàn)幾乎每年都有關(guān)于“動(dòng)態(tài)”立體幾何的題目，其中很多題目都與“圓錐模型”存在著“不解之緣”，只要“圓錐模型”一出手，問(wèn)題的本質(zhì)就暴露無(wú)遺.

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羅增儒教授曾說(shuō)：“以能力立意命題，利于題型設(shè)計(jì)，易形成綜合自然、新穎脫俗的試題.”給靜態(tài)的立體幾何題賦予了“動(dòng)態(tài)”的活力，使題意更加新穎、解法更加靈活、思維更加廣闊.也正因?yàn)槟承c(diǎn)、線、面位置的不確定，成為考生進(jìn)行常規(guī)思考、轉(zhuǎn)化的障礙，但又因?yàn)槠涫强勺兊?、開(kāi)放的，更有助于學(xué)生空間想象能力及綜合能力的培養(yǎng).這應(yīng)該就是“動(dòng)態(tài)”立體幾何備受青睞的原因.那么，教師該如何有效地開(kāi)展“動(dòng)態(tài)立體”幾何問(wèn)題的教學(xué)呢？

三、不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層

1.發(fā)展“直觀想象”核心素養(yǎng)

綜上可知，“動(dòng)態(tài)”立體幾何重在考查“直觀想象”核心素養(yǎng).所謂的“直觀想象”是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程.在解決“動(dòng)態(tài)”立體幾何問(wèn)題中，首先通過(guò)直觀感知數(shù)學(xué)對(duì)象的幾何屬性，初步形成判斷與理性思考，然后通過(guò)幾何直觀、動(dòng)態(tài)想象等思維過(guò)程準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)對(duì)象的全貌和本質(zhì)，從而找到問(wèn)題的突破口，實(shí)現(xiàn)“化繁為簡(jiǎn)”、“事半功倍”的效果.直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).當(dāng)然，“直觀想象”素養(yǎng)是建立在針對(duì)幾何圖形長(zhǎng)期有效的觀察和思考的基礎(chǔ)之上，既有相對(duì)豐富的經(jīng)驗(yàn)積累，也有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的理性的概括和升華，因此，在平時(shí)教學(xué)中要注重學(xué)生“直觀想象”核心素養(yǎng)的發(fā)展.

2.滲透“模型化”思想

解立體幾何“動(dòng)態(tài)”問(wèn)題的過(guò)程實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，正所謂“心中有模型，解題不用慌”.上述可知命題者對(duì)圓錐模型“情有獨(dú)鐘”，實(shí)際上，只要是幾何翻折問(wèn)題通常都可以借助圓錐模型轉(zhuǎn)化為圓周運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究.當(dāng)然，在立體幾何中，還有其他一些“重要模型”也是值得關(guān)注，比如長(zhǎng)方體模型，立體幾何中的很多概念和定理都是通過(guò)長(zhǎng)方體模型引入的，很多問(wèn)題也都可以在長(zhǎng)方體模型中找到解決方案.因此，“借幾何模型之力，破‘動(dòng)態(tài)’立體幾何之困”是非常值得推廣的解題策略.當(dāng)然，只有在平時(shí)教學(xué)中，不斷地滲透模型化思想，學(xué)生才能在解題中利用模型，做到游刃有余.

3.強(qiáng)調(diào)“動(dòng)靜結(jié)合”的辯證思想

一方面，盡管“動(dòng)態(tài)”立體幾何題中活躍著動(dòng)態(tài)的點(diǎn)、線、面、體，但在其動(dòng)態(tài)性的層面內(nèi)、動(dòng)感化的情境里與變化著的過(guò)程中，往往隱藏、蘊(yùn)含或潛伏著某些不變（靜態(tài)）的元素與形體.只要細(xì)心觀察，匠心獨(dú)運(yùn)，獨(dú)具慧眼，善于從動(dòng)態(tài)的圖形中捕捉到不變的靜態(tài)的因素，實(shí)現(xiàn)“動(dòng)中取靜，以靜制動(dòng)”之效應(yīng)；另一方面，充分感知?jiǎng)討B(tài)的變化過(guò)程，仔細(xì)觀望動(dòng)態(tài)的變化規(guī)律，及時(shí)捕捉動(dòng)態(tài)的變化軌跡，從而掌握與描繪出其動(dòng)態(tài)變化的一般趨勢(shì)乃至具體形態(tài)，使問(wèn)題變得有跡可循、清晰可辨，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)“動(dòng)中感知，以動(dòng)制動(dòng)”.這就需要教師在教學(xué)中要充分體現(xiàn)“動(dòng)靜結(jié)合”的辯證思想，使學(xué)生掌握“動(dòng)靜轉(zhuǎn)換”的方法與途徑，建構(gòu)“動(dòng)靜合一”的數(shù)學(xué)思維.

1.馬茂年，吳曉明.動(dòng)態(tài)幾何 策略引領(lǐng) 理性探索——例說(shuō)立體幾何“動(dòng)態(tài)”題型解題策略［J］.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2014（2）.