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        讓思維貫通教學讓學習真正發(fā)生
        ——以“直線與圓的位置關系”高三復習課為例

        2017-01-09 01:11:14談雅琴
        數(shù)學通報 2017年9期
        關鍵詞:切線例題直線

        談雅琴

        (江蘇省梁豐高級中學 215600)

        數(shù)學是強調(diào)思維的科學,培養(yǎng)學生的思維能力,是數(shù)學教育的重要目標之一,也是新課程標準的基本理念.如何有效培養(yǎng)學生的思維能力、提升數(shù)學核心素養(yǎng),讓思維貫通教學,讓學習真正發(fā)生,是數(shù)學課堂教學研究的重要問題.

        下面以筆者在江蘇省第9屆中學數(shù)學教學高級論壇上開設的一節(jié)高三復習公開課“直線與圓的位置關系”為例說明,授課班級是2013屆徐州三中高三(6)班.貴刊2017年第1期“思維主導,彰顯數(shù)學教學本色——基于直線與圓的位置關系的案例分析”一文中的教學片段2,即筆者公開課上的教學實錄,筆者贊同該文作者的觀點.

        本節(jié)課的主要復習內(nèi)容是直線與圓的位置關系及其判定方法,直線與圓中的定量分析(弦長、切線長、求切線方程等),初步研究有關最值問題.采取了導學案的形式,設計了一個基礎訓練題和三個例題,學生課前先思先做,筆者課前翻閱學生的導學案了解學情,并從中挑選出了典型,用于課堂上呈現(xiàn)給大家討論.在技術的支持上,采用了實物投影,將學生在導學案上的書寫,實時呈現(xiàn)在大家的面前,從學生的角度展開課堂活動,更貼近于學生,充分顯示學生的主體性.

        1 立足基礎,注重能力導向的學習型課堂建設

        首先,數(shù)學是需要基礎的,缺乏基礎的能力是脆弱的,缺乏基礎的方法是脆弱的,缺乏基礎的教學是脆弱的.在重視基礎前提下的能力培養(yǎng),才是真正意義上的發(fā)展能力的教學.在數(shù)學課堂上,必備知識和基礎知識具有其特殊的意義,重視基礎,才能更好的發(fā)展學生的能力.

        本節(jié)高三復習課,從直線與圓位置關系的基礎知識出發(fā),設計了一個基礎訓練題(2012重慶理科改編):直線m x-y+3=0與圓C:x2+y2=16的位置關系是………….

        學生得出答案并不難.重點是要引導學生:你能想到幾種判斷的方法?筆者從學生課前導學案上已發(fā)現(xiàn)D-R法、Δ法、直線上定點(0,3)在圓內(nèi)三種方法,課上進行了實物投影展示交流.并繼續(xù)追問學生:直線與圓有哪些位置關系?如何判斷它們的位置關系?

        教師通過對學生解答的點評,引導學生從幾何角度、代數(shù)角度、關注直線方程特征圖形特點,來進行思考歸納,提煉出直線與圓的位置關系及其三種判斷思維方法,這樣的處理既來源于學生的既定思考,又層層遞進,提升了學生的思維水平.

        數(shù)學教學是數(shù)學思維活動的教學.接下來的例題設計,一是沒有將重點放在運算上面,在導學案的設計上,以相同的背景設計多題,用相同的直線m x-y+3=0和圓x2+y2=16,分別考查了位置關系的判斷、相交弦長問題等知識點,營造了一源多枝的生生不息的生態(tài)課堂.如此,學生不必每題都頗費周折去計算,而是重在思考問題的關鍵,優(yōu)化了課堂結構,節(jié)省了課堂用時,使得學生可以將思維解放出來,在課堂上更好的實施探究,培養(yǎng)能力.二是從基本知識和方法出發(fā),逐步引申拓展,重點放在直線與圓的相交和相切方面的定量分析(弦長、切線長、求切線方程等),初步研究有關最值問題.通過豐富的一題多解與變式訓練,使得基礎知識得到鞏固,數(shù)學思想方法得以充分滲透,學生的探索能力得到進一步提升,在學生面前打開一扇更為豐富多彩的數(shù)學思維之窗.

        2 立足互動,注重引發(fā)深度學習的課堂建設

        所謂“深度學習”(deeper learning),是指在真實復雜的情境中,學生運用所學的本學科知識和跨學科知識,運用常規(guī)思維和非常規(guī)思維,將所學的知識和技能用于解決實際問題,以發(fā)展批判性思維、創(chuàng)新能力、合作精神和交往技能的認知策略.“深度學習”與傳統(tǒng)的外部灌輸、被動接受等“淺層學習”相比具有明顯特征.比如,深度學習具有立足于真實情境的問題解決、側重于高階思維能力的學習評價、基于綜合思維的整合性學習、突出深度思辨的思維指向等特征.

        有挑戰(zhàn),有思辨,才有深度.課堂注重思維互動,可以促進深度學習,是培養(yǎng)學生思維能力的有效途徑.

        例題1(1)(2009江蘇18改編)直線l:mx-y+3=0被圓C:x2+y2=16截得的弦長為,求直線l的方程.(2)(2009全國卷Ⅱ理科16改編)若AC和BD是圓C:x2+y2=16的兩條相互垂直的弦,垂足為E(0,3),則四邊形ABCD面積的最大值是………….

        這是有關直線與圓的相交問題.對例1(2),學生普遍得到的答案有兩種,和23.對不少學生出現(xiàn)的錯解,課堂上沒有置若罔聞,而是請學生說出該解的思維起點與過程,原來是通過合情推理,猜想運動中的一個特殊情況獲得的.教師贊成其中合理的思維成分,比如直覺思維、合情推理,但是形缺數(shù)時少入微,結果是最大還是最小,并不能確定.之后教師請做對的同學展示直接做法,及時幫助學生摒棄不嚴謹?shù)南敕?,有效避免類似問題的再現(xiàn).

        生1:①若kAC不存在,則,那么

        ②若kAC存在,則設lAC:y=k x+3,那么,

        即k2=1即k=±1時等號成立,

        故,四邊形ABCD面積的最大值是23.

        生2:①同生1,

        當k=0時;

        生3:作OM⊥BD,ON⊥AC,令OM=a,ON=b,則a2+b2=OE2=9,

        即SABCD≤23,當且僅當a=b時,等號成立.

        教師引導學生分析其中的處理細節(jié),最后發(fā)現(xiàn)錯解原來是最小值.在完成學習任務的過程中,學生不僅獲得了正確結論,更重要的是產(chǎn)生了問題和質疑.通過分享、考證,解題之后的開放性思考,思維的火花反復碰撞.在課堂教學過程中,學生是思維的主體,教師是思維的主導,應避免教師單純講解、單向傳授的模式,要展示師生思維過程和思考過程,進行充分的交流與真實的碰撞.教師科學合理的引導,學生合作互動交流,使得課堂思維活躍,教學方式靈動,知識的展示、方法的提煉和思想的挖掘,也更加地厚重精當.更加突出學生的主體性.

        數(shù)學教學的一個重要目的是發(fā)展學生的數(shù)學思維.數(shù)學課堂教學的有效性和學習深度如何,主要體現(xiàn)在對學生產(chǎn)生的思維影響.深度教學應該是基于高質量問題的教學、基于思辨的教學、基于微探究的研究性教學.這樣才有利于培養(yǎng)問題解決能力、批判性思維能力、深度分析的能力和創(chuàng)新能力.

        3 立足創(chuàng)新,注重學科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的課堂建設

        2014年4月教育部印發(fā)《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》,啟動了以核心素養(yǎng)為指向的新一輪課程改革,研究制定了各學段學生發(fā)展的核心素養(yǎng)體系.就數(shù)學學科而言,研究表明,數(shù)學核心素養(yǎng)包含數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等六個方面.核心素養(yǎng)離不開知識和技能,但單純的知識和技能又不等于素養(yǎng),只有在復雜的開放性情境中,運用知識和技能解決實際問題,才是核心素養(yǎng).學科教學活動是學科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的主要途徑.

        例題2(2010江蘇9)在平面直角坐標系xOy中,已知圓x2+y2=4上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1,則實數(shù)c的取值范圍是________.思考:你能改編該問題的條件,重新編幾個題目嗎?并嘗試解答.

        生:例2的處理,要先畫個圖,畫圓和直線.

        師:畫哪條直線?

        生:先畫經(jīng)過原點的直線12x-5y=0,這條直線符合題意.

        師:怎么說明是符合的?能夠找到這四個點嗎?

        生:可以,作與直線12x-5y=0距離為1的兩條平行線,與圓的四個交點即是.

        師:還有哪些直線是符合題意的?你怎么找?

        生:把直線平移,因為對稱,所以在一側平移,看直線平移到哪里,開始不符合題意.

        引導學生觀察定圓與動直線的位置關系變化,利用圖形的形象關系產(chǎn)生對數(shù)量關系的直接感知與認識,借助幾何直觀和空間想象,幫助理解題意解決問題.素養(yǎng)中的直觀想象,在這里的表現(xiàn)形式有:利用圖形描述數(shù)學問題、利用圖形理解數(shù)學問題、利用圖形探索問題.這正是核心素養(yǎng)之直觀想象的教學方式體現(xiàn).數(shù)學家徐利治提到“重視直觀”,指出“只有當我能把直觀含義和直觀思路弄明白了,我才認為真正懂了”.

        接下來沒有對例題提出具體的變式給學生練習與糾錯,而是拋出了較為靈活的問題:“你能改變問題的條件,重新編幾個題目嗎?”.當學生直接將條件的說法改變一下:“有且僅有3個點、2個點、1個點、0個點”,筆者并沒有就此作罷,而是引導學生再去改直線和圓.比如學生改成動圓定直線,改編題如下:

        1.在平面直角坐標系xOy中,已知圓x2+y2=r2上有且僅有四個點到直線12x-5y+39=0的距離為1,則半徑r的取值范圍是…………….

        2.在平面直角坐標系xOy中,已知圓(x-1)2+(y-2)2=r2上有且僅有四個點到直線12x-5y+39=0的距離為1,則半徑r的取值范圍是…………….

        如此,學生的思維被發(fā)散,自信心被激活,通過生生交流、討論,學生的探究熱情被極大地激發(fā),思維的廣度與深度、直觀想象和邏輯推理等學科素養(yǎng)得到了提高.

        例題3(1)(必修2P102例2改編)自直線x-y+4=0上的點P(2,6)作圓C:x2+y2=4的切線,求切線方程,并求出切線長.(2)自直線x-y+4=0上任意一點P(x,y)作圓C:x2+y2=4的兩條切線,切點分別為A,B,以此為條件,有哪些問題可以研究?請你把問題編寫完整,并嘗試解答.

        例3是組織學生編題的一個范例,組織學生從多角度編擬新題,讓學生體會到編擬數(shù)學試題的思維樂趣.把命題的編制過程納入到數(shù)學教學過程中,這是一個大膽創(chuàng)新,對高考數(shù)學復習具有特殊的現(xiàn)實意義,也是數(shù)學思維教學方式的有益嘗試.

        一個好的問題能激發(fā)學生的思維進階.學生思維發(fā)展的一個重要標志,是能夠自主提出有意義有效的問題.“以此為條件,你認為有哪些問題可以研究?”的提出,為學生的思維打開了一扇更廣闊的大門.學生的思維發(fā)散開來,他們要對已知信息進行多方向、多角度的思考,不局限于既定的理解,從而提出新問題,探索新知識或發(fā)現(xiàn)多種結果.學生要回答這樣的問題,便要深入思考,調(diào)動他的一切經(jīng)驗與認知,提出新的問題,這比解題的思維層次更高.當學生的問題淺顯時,教師引導學生從其他的角度再想一想,引領學生站在一定的高度上看問題.在教師的引領下,學生提出了以下很好的問題:

        (1)求切線PA長的最小值;(2)求四邊形PAOB的面積的最值;(3)求AB中點的軌跡;(4)求AB的方程(切點弦);(5)求∠APB的最大值;(6)求的最值;(7)求△PAB的外接圓的方程……

        一個完整的數(shù)學思維過程是集中思維和發(fā)散思維這兩種思維方式的有機結合.在學生提出問題后,教師又引導學生逐個解決問題,這是在發(fā)散之后的集中,利于拓廣和發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識與數(shù)學方法,生成各種知識鏈、方法鏈、命題鏈、思維鏈,培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力和邏輯推理素養(yǎng).在解決問題的過程中,又有新的問題被提出和解決,下課的鈴聲雖已響起,但研究的熱情還在繼續(xù)膨脹,思維還在繼續(xù),學習還在進行.

        數(shù)學的核心是問題和解,完整的數(shù)學學習應包括學“問”與“答”兩方面,數(shù)學教學應把發(fā)展學生的問題意識和提出問題能力,作為數(shù)學教學的重要目標與學生學習數(shù)學的重要方法.教師創(chuàng)設探討情境、精心設計問題、引導學生分析問題、提出問題,有助于學生深刻理解數(shù)學知識方法之間的內(nèi)在聯(lián)系,明確思維方向,發(fā)展思維能力.

        數(shù)學課堂要堅持立足基礎,注重能力導向;立足互動,注重引發(fā)深度學習;立足創(chuàng)新,注重學科核心素養(yǎng)培養(yǎng).這樣,有助于變被動學習為主動學習,真正實現(xiàn)自主、合作、探究的深度學習方式的轉變,讓思維貫通課堂教學,真正促進核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

        附:導學案簡案

        【教學目標】

        1.復習直線與圓的位置關系及其判定方法、直線與圓中的定量分析(弦長、切線長、求切線方程等),初步研究有關最值問題.

        2.在問題情景中,感受“數(shù)”和“形”的對立統(tǒng)一,理解運用代數(shù)方法研究幾何問題這一解析法的本質,同時體現(xiàn)靈活運用圓這個圖形的幾何特征.滲透函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結合的思想、轉化化歸的思想.

        3.引導學生獨立思考、合作交流,鼓勵學生提出問題,幫助學生提高學習數(shù)學的興趣和信心,培養(yǎng)學生的思維和創(chuàng)新意識.

        【教學內(nèi)容】

        一、判斷位置關系

        基礎訓練(2012重慶理科 改編)直線m x-y+3=0與圓C:x2+y2=16的位置關系是__________.

        你能想到幾種判斷的方法?請你都寫下來.

        思考:直線與圓有哪些位置關系?如何判斷直線與圓的位置關系?

        二、有關相交問題

        例題1 (1)(2009江蘇18改編)直線l:mx-y+3=0被圓C:x2+y2=16截得的弦長為,求直線l的方程.

        (2)(2009全國卷Ⅱ理科16改編)若AC和BD是圓C:x2+y2=16的兩條相互垂直的弦,垂足為E(0,3),則四邊形ABCD面積的最大值是…………….

        例題2 (2010江蘇9)在平面直角坐標系xOy中,已知圓x2+y2=4上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1,則實數(shù)c的取值范圍是…………….

        思考:你能改編該問題的條件,重新編幾個題目嗎?并嘗試解答.

        三、有關相切問題

        例題3 (1)(必修2 P102例2改編)自直線x-y+4=0上的點P(2,6)作圓C:x2+y2=4的切線,求切線方程,并求出切線長.

        (2)自直線x-y+4=0上任意一點P(x,y)作圓C:x2+y2=4的兩條切線,切點分別為A,B,以此為條件,有哪些問題可以研究?請你把問題編寫完整,并嘗試解答.

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