談雅琴
(江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué) 215600)
數(shù)學(xué)是強(qiáng)調(diào)思維的科學(xué),培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,是數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)之一,也是新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念.如何有效培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),讓思維貫通教學(xué),讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生,是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究的重要問(wèn)題.
下面以筆者在江蘇省第9屆中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)高級(jí)論壇上開(kāi)設(shè)的一節(jié)高三復(fù)習(xí)公開(kāi)課“直線與圓的位置關(guān)系”為例說(shuō)明,授課班級(jí)是2013屆徐州三中高三(6)班.貴刊2017年第1期“思維主導(dǎo),彰顯數(shù)學(xué)教學(xué)本色——基于直線與圓的位置關(guān)系的案例分析”一文中的教學(xué)片段2,即筆者公開(kāi)課上的教學(xué)實(shí)錄,筆者贊同該文作者的觀點(diǎn).
本節(jié)課的主要復(fù)習(xí)內(nèi)容是直線與圓的位置關(guān)系及其判定方法,直線與圓中的定量分析(弦長(zhǎng)、切線長(zhǎng)、求切線方程等),初步研究有關(guān)最值問(wèn)題.采取了導(dǎo)學(xué)案的形式,設(shè)計(jì)了一個(gè)基礎(chǔ)訓(xùn)練題和三個(gè)例題,學(xué)生課前先思先做,筆者課前翻閱學(xué)生的導(dǎo)學(xué)案了解學(xué)情,并從中挑選出了典型,用于課堂上呈現(xiàn)給大家討論.在技術(shù)的支持上,采用了實(shí)物投影,將學(xué)生在導(dǎo)學(xué)案上的書(shū)寫(xiě),實(shí)時(shí)呈現(xiàn)在大家的面前,從學(xué)生的角度展開(kāi)課堂活動(dòng),更貼近于學(xué)生,充分顯示學(xué)生的主體性.
首先,數(shù)學(xué)是需要基礎(chǔ)的,缺乏基礎(chǔ)的能力是脆弱的,缺乏基礎(chǔ)的方法是脆弱的,缺乏基礎(chǔ)的教學(xué)是脆弱的.在重視基礎(chǔ)前提下的能力培養(yǎng),才是真正意義上的發(fā)展能力的教學(xué).在數(shù)學(xué)課堂上,必備知識(shí)和基礎(chǔ)知識(shí)具有其特殊的意義,重視基礎(chǔ),才能更好的發(fā)展學(xué)生的能力.
本節(jié)高三復(fù)習(xí)課,從直線與圓位置關(guān)系的基礎(chǔ)知識(shí)出發(fā),設(shè)計(jì)了一個(gè)基礎(chǔ)訓(xùn)練題(2012重慶理科改編):直線m x-y+3=0與圓C:x2+y2=16的位置關(guān)系是………….
學(xué)生得出答案并不難.重點(diǎn)是要引導(dǎo)學(xué)生:你能想到幾種判斷的方法?筆者從學(xué)生課前導(dǎo)學(xué)案上已發(fā)現(xiàn)D-R法、Δ法、直線上定點(diǎn)(0,3)在圓內(nèi)三種方法,課上進(jìn)行了實(shí)物投影展示交流.并繼續(xù)追問(wèn)學(xué)生:直線與圓有哪些位置關(guān)系?如何判斷它們的位置關(guān)系?
教師通過(guò)對(duì)學(xué)生解答的點(diǎn)評(píng),引導(dǎo)學(xué)生從幾何角度、代數(shù)角度、關(guān)注直線方程特征圖形特點(diǎn),來(lái)進(jìn)行思考?xì)w納,提煉出直線與圓的位置關(guān)系及其三種判斷思維方法,這樣的處理既來(lái)源于學(xué)生的既定思考,又層層遞進(jìn),提升了學(xué)生的思維水平.
數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué).接下來(lái)的例題設(shè)計(jì),一是沒(méi)有將重點(diǎn)放在運(yùn)算上面,在導(dǎo)學(xué)案的設(shè)計(jì)上,以相同的背景設(shè)計(jì)多題,用相同的直線m x-y+3=0和圓x2+y2=16,分別考查了位置關(guān)系的判斷、相交弦長(zhǎng)問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn),營(yíng)造了一源多枝的生生不息的生態(tài)課堂.如此,學(xué)生不必每題都頗費(fèi)周折去計(jì)算,而是重在思考問(wèn)題的關(guān)鍵,優(yōu)化了課堂結(jié)構(gòu),節(jié)省了課堂用時(shí),使得學(xué)生可以將思維解放出來(lái),在課堂上更好的實(shí)施探究,培養(yǎng)能力.二是從基本知識(shí)和方法出發(fā),逐步引申拓展,重點(diǎn)放在直線與圓的相交和相切方面的定量分析(弦長(zhǎng)、切線長(zhǎng)、求切線方程等),初步研究有關(guān)最值問(wèn)題.通過(guò)豐富的一題多解與變式訓(xùn)練,使得基礎(chǔ)知識(shí)得到鞏固,數(shù)學(xué)思想方法得以充分滲透,學(xué)生的探索能力得到進(jìn)一步提升,在學(xué)生面前打開(kāi)一扇更為豐富多彩的數(shù)學(xué)思維之窗.
所謂“深度學(xué)習(xí)”(deeper learning),是指在真實(shí)復(fù)雜的情境中,學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的本學(xué)科知識(shí)和跨學(xué)科知識(shí),運(yùn)用常規(guī)思維和非常規(guī)思維,將所學(xué)的知識(shí)和技能用于解決實(shí)際問(wèn)題,以發(fā)展批判性思維、創(chuàng)新能力、合作精神和交往技能的認(rèn)知策略.“深度學(xué)習(xí)”與傳統(tǒng)的外部灌輸、被動(dòng)接受等“淺層學(xué)習(xí)”相比具有明顯特征.比如,深度學(xué)習(xí)具有立足于真實(shí)情境的問(wèn)題解決、側(cè)重于高階思維能力的學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)、基于綜合思維的整合性學(xué)習(xí)、突出深度思辨的思維指向等特征.
有挑戰(zhàn),有思辨,才有深度.課堂注重思維互動(dòng),可以促進(jìn)深度學(xué)習(xí),是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的有效途徑.
例題1(1)(2009江蘇18改編)直線l:mx-y+3=0被圓C:x2+y2=16截得的弦長(zhǎng)為,求直線l的方程.(2)(2009全國(guó)卷Ⅱ理科16改編)若AC和BD是圓C:x2+y2=16的兩條相互垂直的弦,垂足為E(0,3),則四邊形ABCD面積的最大值是………….
這是有關(guān)直線與圓的相交問(wèn)題.對(duì)例1(2),學(xué)生普遍得到的答案有兩種,和23.對(duì)不少學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)解,課堂上沒(méi)有置若罔聞,而是請(qǐng)學(xué)生說(shuō)出該解的思維起點(diǎn)與過(guò)程,原來(lái)是通過(guò)合情推理,猜想運(yùn)動(dòng)中的一個(gè)特殊情況獲得的.教師贊成其中合理的思維成分,比如直覺(jué)思維、合情推理,但是形缺數(shù)時(shí)少入微,結(jié)果是最大還是最小,并不能確定.之后教師請(qǐng)做對(duì)的同學(xué)展示直接做法,及時(shí)幫助學(xué)生摒棄不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)南敕?,有效避免?lèi)似問(wèn)題的再現(xiàn).
生1:①若kAC不存在,則,那么
②若kAC存在,則設(shè)lAC:y=k x+3,那么,
即k2=1即k=±1時(shí)等號(hào)成立,
故,四邊形ABCD面積的最大值是23.
生2:①同生1,
當(dāng)k=0時(shí);
生3:作OM⊥BD,ON⊥AC,令OM=a,ON=b,則a2+b2=OE2=9,
即SABCD≤23,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.
教師引導(dǎo)學(xué)生分析其中的處理細(xì)節(jié),最后發(fā)現(xiàn)錯(cuò)解原來(lái)是最小值.在完成學(xué)習(xí)任務(wù)的過(guò)程中,學(xué)生不僅獲得了正確結(jié)論,更重要的是產(chǎn)生了問(wèn)題和質(zhì)疑.通過(guò)分享、考證,解題之后的開(kāi)放性思考,思維的火花反復(fù)碰撞.在課堂教學(xué)過(guò)程中,學(xué)生是思維的主體,教師是思維的主導(dǎo),應(yīng)避免教師單純講解、單向傳授的模式,要展示師生思維過(guò)程和思考過(guò)程,進(jìn)行充分的交流與真實(shí)的碰撞.教師科學(xué)合理的引導(dǎo),學(xué)生合作互動(dòng)交流,使得課堂思維活躍,教學(xué)方式靈動(dòng),知識(shí)的展示、方法的提煉和思想的挖掘,也更加地厚重精當(dāng).更加突出學(xué)生的主體性.
數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要目的是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性和學(xué)習(xí)深度如何,主要體現(xiàn)在對(duì)學(xué)生產(chǎn)生的思維影響.深度教學(xué)應(yīng)該是基于高質(zhì)量問(wèn)題的教學(xué)、基于思辨的教學(xué)、基于微探究的研究性教學(xué).這樣才有利于培養(yǎng)問(wèn)題解決能力、批判性思維能力、深度分析的能力和創(chuàng)新能力.
2014年4月教育部印發(fā)《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》,啟動(dòng)了以核心素養(yǎng)為指向的新一輪課程改革,研究制定了各學(xué)段學(xué)生發(fā)展的核心素養(yǎng)體系.就數(shù)學(xué)學(xué)科而言,研究表明,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等六個(gè)方面.核心素養(yǎng)離不開(kāi)知識(shí)和技能,但單純的知識(shí)和技能又不等于素養(yǎng),只有在復(fù)雜的開(kāi)放性情境中,運(yùn)用知識(shí)和技能解決實(shí)際問(wèn)題,才是核心素養(yǎng).學(xué)科教學(xué)活動(dòng)是學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的主要途徑.
例題2(2010江蘇9)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓x2+y2=4上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是________.思考:你能改編該問(wèn)題的條件,重新編幾個(gè)題目嗎?并嘗試解答.
生:例2的處理,要先畫(huà)個(gè)圖,畫(huà)圓和直線.
師:畫(huà)哪條直線?
生:先畫(huà)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線12x-5y=0,這條直線符合題意.
師:怎么說(shuō)明是符合的?能夠找到這四個(gè)點(diǎn)嗎?
生:可以,作與直線12x-5y=0距離為1的兩條平行線,與圓的四個(gè)交點(diǎn)即是.
師:還有哪些直線是符合題意的?你怎么找?
生:把直線平移,因?yàn)閷?duì)稱(chēng),所以在一側(cè)平移,看直線平移到哪里,開(kāi)始不符合題意.
引導(dǎo)學(xué)生觀察定圓與動(dòng)直線的位置關(guān)系變化,利用圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知與認(rèn)識(shí),借助幾何直觀和空間想象,幫助理解題意解決問(wèn)題.素養(yǎng)中的直觀想象,在這里的表現(xiàn)形式有:利用圖形描述數(shù)學(xué)問(wèn)題、利用圖形理解數(shù)學(xué)問(wèn)題、利用圖形探索問(wèn)題.這正是核心素養(yǎng)之直觀想象的教學(xué)方式體現(xiàn).數(shù)學(xué)家徐利治提到“重視直觀”,指出“只有當(dāng)我能把直觀含義和直觀思路弄明白了,我才認(rèn)為真正懂了”.
接下來(lái)沒(méi)有對(duì)例題提出具體的變式給學(xué)生練習(xí)與糾錯(cuò),而是拋出了較為靈活的問(wèn)題:“你能改變問(wèn)題的條件,重新編幾個(gè)題目嗎?”.當(dāng)學(xué)生直接將條件的說(shuō)法改變一下:“有且僅有3個(gè)點(diǎn)、2個(gè)點(diǎn)、1個(gè)點(diǎn)、0個(gè)點(diǎn)”,筆者并沒(méi)有就此作罷,而是引導(dǎo)學(xué)生再去改直線和圓.比如學(xué)生改成動(dòng)圓定直線,改編題如下:
1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓x2+y2=r2上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+39=0的距離為1,則半徑r的取值范圍是…………….
2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓(x-1)2+(y-2)2=r2上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+39=0的距離為1,則半徑r的取值范圍是…………….
如此,學(xué)生的思維被發(fā)散,自信心被激活,通過(guò)生生交流、討論,學(xué)生的探究熱情被極大地激發(fā),思維的廣度與深度、直觀想象和邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng)得到了提高.
例題3(1)(必修2P102例2改編)自直線x-y+4=0上的點(diǎn)P(2,6)作圓C:x2+y2=4的切線,求切線方程,并求出切線長(zhǎng).(2)自直線x-y+4=0上任意一點(diǎn)P(x,y)作圓C:x2+y2=4的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,以此為條件,有哪些問(wèn)題可以研究?請(qǐng)你把問(wèn)題編寫(xiě)完整,并嘗試解答.
例3是組織學(xué)生編題的一個(gè)范例,組織學(xué)生從多角度編擬新題,讓學(xué)生體會(huì)到編擬數(shù)學(xué)試題的思維樂(lè)趣.把命題的編制過(guò)程納入到數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,這是一個(gè)大膽創(chuàng)新,對(duì)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)具有特殊的現(xiàn)實(shí)意義,也是數(shù)學(xué)思維教學(xué)方式的有益嘗試.
一個(gè)好的問(wèn)題能激發(fā)學(xué)生的思維進(jìn)階.學(xué)生思維發(fā)展的一個(gè)重要標(biāo)志,是能夠自主提出有意義有效的問(wèn)題.“以此為條件,你認(rèn)為有哪些問(wèn)題可以研究?”的提出,為學(xué)生的思維打開(kāi)了一扇更廣闊的大門(mén).學(xué)生的思維發(fā)散開(kāi)來(lái),他們要對(duì)已知信息進(jìn)行多方向、多角度的思考,不局限于既定的理解,從而提出新問(wèn)題,探索新知識(shí)或發(fā)現(xiàn)多種結(jié)果.學(xué)生要回答這樣的問(wèn)題,便要深入思考,調(diào)動(dòng)他的一切經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知,提出新的問(wèn)題,這比解題的思維層次更高.當(dāng)學(xué)生的問(wèn)題淺顯時(shí),教師引導(dǎo)學(xué)生從其他的角度再想一想,引領(lǐng)學(xué)生站在一定的高度上看問(wèn)題.在教師的引領(lǐng)下,學(xué)生提出了以下很好的問(wèn)題:
(1)求切線PA長(zhǎng)的最小值;(2)求四邊形PAOB的面積的最值;(3)求AB中點(diǎn)的軌跡;(4)求AB的方程(切點(diǎn)弦);(5)求∠APB的最大值;(6)求的最值;(7)求△PAB的外接圓的方程……
一個(gè)完整的數(shù)學(xué)思維過(guò)程是集中思維和發(fā)散思維這兩種思維方式的有機(jī)結(jié)合.在學(xué)生提出問(wèn)題后,教師又引導(dǎo)學(xué)生逐個(gè)解決問(wèn)題,這是在發(fā)散之后的集中,利于拓廣和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法,生成各種知識(shí)鏈、方法鏈、命題鏈、思維鏈,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力和邏輯推理素養(yǎng).在解決問(wèn)題的過(guò)程中,又有新的問(wèn)題被提出和解決,下課的鈴聲雖已響起,但研究的熱情還在繼續(xù)膨脹,思維還在繼續(xù),學(xué)習(xí)還在進(jìn)行.
數(shù)學(xué)的核心是問(wèn)題和解,完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)包括學(xué)“問(wèn)”與“答”兩方面,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)把發(fā)展學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和提出問(wèn)題能力,作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)與學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法.教師創(chuàng)設(shè)探討情境、精心設(shè)計(jì)問(wèn)題、引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題、提出問(wèn)題,有助于學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)方法之間的內(nèi)在聯(lián)系,明確思維方向,發(fā)展思維能力.
數(shù)學(xué)課堂要堅(jiān)持立足基礎(chǔ),注重能力導(dǎo)向;立足互動(dòng),注重引發(fā)深度學(xué)習(xí);立足創(chuàng)新,注重學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng).這樣,有助于變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí),真正實(shí)現(xiàn)自主、合作、探究的深度學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變,讓思維貫通課堂教學(xué),真正促進(jìn)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).
附:導(dǎo)學(xué)案簡(jiǎn)案
【教學(xué)目標(biāo)】
1.復(fù)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系及其判定方法、直線與圓中的定量分析(弦長(zhǎng)、切線長(zhǎng)、求切線方程等),初步研究有關(guān)最值問(wèn)題.
2.在問(wèn)題情景中,感受“數(shù)”和“形”的對(duì)立統(tǒng)一,理解運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題這一解析法的本質(zhì),同時(shí)體現(xiàn)靈活運(yùn)用圓這個(gè)圖形的幾何特征.滲透函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化化歸的思想.
3.引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流,鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題,幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心,培養(yǎng)學(xué)生的思維和創(chuàng)新意識(shí).
【教學(xué)內(nèi)容】
一、判斷位置關(guān)系
基礎(chǔ)訓(xùn)練(2012重慶理科 改編)直線m x-y+3=0與圓C:x2+y2=16的位置關(guān)系是__________.
你能想到幾種判斷的方法?請(qǐng)你都寫(xiě)下來(lái).
思考:直線與圓有哪些位置關(guān)系?如何判斷直線與圓的位置關(guān)系?
二、有關(guān)相交問(wèn)題
例題1 (1)(2009江蘇18改編)直線l:mx-y+3=0被圓C:x2+y2=16截得的弦長(zhǎng)為,求直線l的方程.
(2)(2009全國(guó)卷Ⅱ理科16改編)若AC和BD是圓C:x2+y2=16的兩條相互垂直的弦,垂足為E(0,3),則四邊形ABCD面積的最大值是…………….
例題2 (2010江蘇9)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓x2+y2=4上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是…………….
思考:你能改編該問(wèn)題的條件,重新編幾個(gè)題目嗎?并嘗試解答.
三、有關(guān)相切問(wèn)題
例題3 (1)(必修2 P102例2改編)自直線x-y+4=0上的點(diǎn)P(2,6)作圓C:x2+y2=4的切線,求切線方程,并求出切線長(zhǎng).
(2)自直線x-y+4=0上任意一點(diǎn)P(x,y)作圓C:x2+y2=4的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,以此為條件,有哪些問(wèn)題可以研究?請(qǐng)你把問(wèn)題編寫(xiě)完整,并嘗試解答.