李偉健

（安徽省滁州中學(xué)，239000）

文[1]提出的1720號數(shù)學(xué)問題內(nèi)容如下：△ABC中，以BC為軸（長軸或短軸均可）作一橢圓交AB于E，交AC于F.設(shè)M、N分別是點E、F關(guān)于直線BC的對稱點，EN交FM于D.求證：AD⊥BC.文[2]給出了證明方法，之后文[3]、文[4]進行了大篇幅的討論分析，得出的結(jié)論極富美感，但兩者推理過程由于計算過于繁瑣而稍顯不和諧，筆者從極點、極線出發(fā)簡化文[4]的證明；另外文[4]對文[3]的推廣工作并不徹底，本文對文[4]補充完善，并徹底推廣了文[3]的工作；此外，回歸原問題，在思考1720號問題的結(jié)構(gòu)過程中，得到了一個有趣性質(zhì)，并以此為基礎(chǔ)，解釋了文[5]作者趙忠華老師利用幾何畫板發(fā)現(xiàn)的一個有趣現(xiàn)象.

1 文[4]推理過程的簡化

文[3]對1720號問題開展分析討論，得出兩個結(jié)論，即為：

結(jié)論1以△BC中的BC為長軸（實軸）的橢圓（雙曲線）交此三角形的另兩邊AB、AC分別于點E、F.設(shè)M、N分別是點E、F關(guān)于直線BC的對稱點，G、H分別是E、F在x軸上的射影，連EN交FM于D，連EH交FG于K，連BF交CE于Q，過點E、F分別作橢圓（雙曲線）的切線交于點P，則A、P、Q、K、D五點共線.

文[4]同樣對數(shù)學(xué)問題17 20試圖對結(jié)論1進行推廣，探究得到的4個結(jié)論，概括地來說，即為如下結(jié)論：

結(jié)論2設(shè)A，B，C，D是非退化二階曲線Γ上不同的四點，連直線AC、BD交于點M，連直線AD、BC交于點N，過點A，B分別作曲線Γ的切線交于點P，過點C，D分別作曲線Γ的切線交于點Q.則M、N、P、Q四點共線.

該結(jié)論具有和諧的美感，不足之處在于論證過程過于繁瑣而失去美感，本文從極點與極線的角度，結(jié)合配極原理，予以論證，即：

證明記R=AB×CD，由于MNR是自極點三點形，直線MN為R的極線，因為PA，PB與Γ相切于點A，B，所以直線AB是P點的極線，且經(jīng)過點R，根據(jù)配極原理，點R的極線必過點P，同理直線MN也過點Q，即M、N、P、Q四點共線.

2 文[3]工作的徹底推廣

文[4]所得結(jié)論較文[3]來說，另一個不足之處在于，與文[3]相比，丟失了兩個點，實際上P、Q兩點在結(jié)論2中情形是一樣的，本文擬彌補缺失的兩個點，要想補出這兩個丟失的點，必須了解此兩點的由來，文[3]中直線EM與直線FN，交于無窮遠點，此點在位于R的極線MN上，至此，E、M與F、N的由來實際上是過R的極線上一點與曲線Γ的交點，接下來，就可以把文[4]迷失的兩點再現(xiàn)出來，即：

結(jié)論3設(shè)L為R的極線上一點，過L作兩條直線，分別交Γ于點E、M，F(xiàn)、N，且D=EN×FM，K=GF×EH，則D、K在R的極線上.

證明根據(jù)完全四點形MNF E的調(diào)和性，D必在R的極線上，且（RT，E F）=-1，（RD，HG）=-1，所以（R，T，E，F(xiàn)）（R，D，H，G），又因為公共點R自對應(yīng)，所以（R，T，E，F(xiàn)）（R，D，H，G），所以直線DT、HE、GF三點共線，即為K在R的極線上.

行文至此，在結(jié)論[2]、[3]的基礎(chǔ)上，文[3]所得的結(jié)論1徹底推廣后的一般情形如下：

定理設(shè)B、C、E、F是非退化二階曲線Γ四點，設(shè)A=BE×C F，Q=BF×CE，點P是曲線Γ在E、F處切線的交點，L為直線A Q上一點，直線LE、LF與曲線Γ另一交點分別為M、N，且D=EN×FM，G=BC×EM，H=BC×FN，K=GF×EH，則A、P、Q、K、D五點共線.

注文[3]實際上是L為無窮遠點的特殊情形.

3 1720號問題的結(jié)構(gòu)

反思文[4]的簡化證明過程，實質(zhì)上揭示了17 20號問題結(jié)構(gòu)實質(zhì)上是極點、極線.直線MN為R的極線緊緊依賴于完全四點形ABCD內(nèi)接于Γ這一事實，正是這一點導(dǎo)致M、N、P、Q四點共線，因此說這一結(jié)果是平凡的，通過對“完全四點形ABCD內(nèi)接于?！边@一條件思考，筆者發(fā)現(xiàn)，完全四點形ABCD未必需要四點A，B，C，D均與Γ接觸，事實上有兩點就可以了，即：

定理設(shè)直線BC與非退化二階曲線Γ相切于點B，直線AD與非退化二階曲線Γ相切于點A，M=AC×BD，N=BC×AD，R=AB×CD，直線AC交Γ于另一點E，直線BD交Γ于另一點F，那么直線MN為R的極線.

證明以A、B為束心與另外四點B，E，F(xiàn)，A連接，由二階曲線的基本定理知

用直線AC、BD分別截以A、B為束心的線束，

則有

所以

因此（CE，MA）=（BM，F(xiàn)D），

所以（CE，MA）=（DF，MB），

故（C，E，M，A）（D，F(xiàn)，M，B），

又因為兩點列的交點M自對應(yīng)，所以有因此DC、FE、AB三線共點，即為R.

根據(jù)完全四點形ABEF的調(diào)和性，所以點M在R的極線上，又因為R在點N的極線上，所以點N在R的極線上，所以直線MN為R的極線.

從證明過程看，DC、FE、AB三線交于點R，可以推出歐幾里得幾何學(xué)中難以解釋的現(xiàn)象變得自然，如文[5]提出的如下性質(zhì)，即為本文的推論，即：

推論1在雙曲線所在的平面內(nèi)任取一點（該點不在漸近線和雙曲線上），過此點作兩條漸近線的平行線，則這兩條直線與雙曲線交于兩點，與漸近線交于兩點，則雙曲線上兩點連線平行于漸近線上兩點連線.

這一結(jié)論放到射影空間內(nèi)就好解釋了，雙曲線的漸近線實際上是其與無窮遠直線交點處的切線，為了便于解釋，如圖所示：

雙曲線上兩點連線FE，漸近線上兩點連線DC交于無窮遠點R∞，所以二者必然平行.

注該結(jié)論屬于趙忠華老師.

從證明的結(jié)果看，直線MN為R的極線，設(shè)I=AG×BH，J=F G×EH，則有如下：

推論2M、N、I、J四點共線，此線就是R的極線，也是曲線Γ的Pascal線.

注這一圖形蘊藏著大量的共線點，有興趣的讀者不妨一試.