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        一類特殊曲線的漸近線問(wèn)題

        2013-09-27 11:48:26劉艷麗孫皆宜
        唐山學(xué)院學(xué)報(bào) 2013年3期
        關(guān)鍵詞:教學(xué)部漸近線動(dòng)點(diǎn)

        劉艷麗,孫皆宜

        (唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部,河北 唐山063000)

        1 漸近線的定義

        定義1 若曲線D上的動(dòng)點(diǎn)P沿著曲線無(wú)限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P與某定直線L的距離趨于0,則稱直線L為曲線D的漸近線。[1]

        由以上定義可以得到三個(gè)常用的漸近線的定義:

        (3)若函數(shù)y=f(x)滿足x→C(x→C+或x→C-),有f(x)→∞,則曲線y=f(x)有垂直漸近線x=C。

        2 y=xsin和y=x2sin的漸近線

        2.1 曲線y=xsin的漸近線x

        由定義1易知:

        所以,曲線有一條水平漸近線y=1.

        用Matlab軟件驗(yàn)證如下:

        M-文件:

        畫圖

        2.2 曲線y=x2sin的漸近線

        由定義1求得

        圖1 y=xsin1的水平漸近線x

        3 y=x3sin的漸近線

        對(duì)于y=xnsin曲線族討論n=3的情況。

        可以發(fā)現(xiàn),在x→-∞時(shí)上述各極限也成立,所以不妨將定義2擴(kuò)展成以下定義。

        (3)如果曲線y=f(x)既存在負(fù)方向Pn漸近線又存在正方向Pn漸近線且兩漸近線相同時(shí),就說(shuō)曲線y=f(x)存在Pn漸近線。

        有了這一定義,就可以準(zhǔn)確地說(shuō)y=x3sin存在Pn漸近線,且為P2漸近線,即。

        4 需進(jìn)一步研究的問(wèn)題

        考慮n=1,n=2時(shí)y=xnsin1x的漸近線,可以發(fā)現(xiàn)在這兩種情況下的漸近線實(shí)際上也可以歸為Pn漸近線,n=1時(shí)存在的水平漸近線,即為P0漸近線,方程為yP0=1;n=2時(shí)存在的斜漸近線,即為P1漸近線,方程為yP1=x;而當(dāng)n=3時(shí),存在P2漸近線,方程為yP2=x2-16。

        綜上可知,曲線族y=xnsin在n≤3時(shí)存在Pn 漸近線,且Pn漸近線的冪次與函數(shù)y=xnsin中的冪次相比降低一次。那么,當(dāng)n≥4 曲線族是否還存在Pn 漸近線?如果存在又具有哪些特點(diǎn)?這些漸近線能否用統(tǒng)一的形式表示出來(lái)?這些問(wèn)題還有待于進(jìn)一步探討。

        [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.?dāng)?shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2007:64-65.

        [2] 劉仕田.Pn-漸近線[J].高師理科學(xué)刊,2009(3):10-12.

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