張銀蒲

（唐山學(xué)院 信息工程系，河北 唐山063000）

圖像傳輸是現(xiàn)代通信的重要內(nèi)容之一，但是圖像中常常不可避免地混雜著一定的噪聲干擾，這些噪聲又一定程度上影響著圖像的質(zhì)量，從而不利于圖像的進(jìn)一步分析和傳輸。評(píng)價(jià)圖像質(zhì)量好壞的性能指標(biāo)有兩個(gè)：一是圖像逼真度，即被噪聲污染的圖像與原圖像相比的近似度；一是圖像讀懂度，即通過被噪聲干擾的圖像而獲取到的信息量。

對(duì)圖像進(jìn)行去噪處理可以進(jìn)一步提高圖像的質(zhì)量，圖像降噪的過程就是在抑制噪聲和保留原始圖像之間作權(quán)衡。因圖像的非平穩(wěn)性特性，在圖像降噪技術(shù)中小波變換比傅立葉變換更有優(yōu)勢(shì)，所以在混合傅立葉——小波降噪算法中，一般是以小波變換為主，傅立葉變換技術(shù)為輔。

1 降噪算法原理

混合圖像降噪技術(shù)原理［1］：（1）在傅立葉域中小幅度降噪，在原始圖像扭曲較小的情況下，使噪聲的水平降低。（2）在小波域中進(jìn)一步去除在傅立葉域中未能清除的噪聲。

在傅立葉域中進(jìn)行維納濾波器濾波，然后在小波域中，濾除掉傅立葉域中未能清除的有色噪聲。混合圖像降噪技術(shù)的核心，即研究有色噪聲小波變換系數(shù)的特征。

1.1 小波變換系數(shù)［2］

由于小波是很多運(yùn)算的近似特征函數(shù)，因此有色噪聲的小波變換系數(shù)特點(diǎn)如下：（1）有色噪聲在每一子帶中的小波系數(shù)相關(guān)性很快消失。（2）小波系數(shù)在不同的子帶之間相關(guān)性很小。

第二個(gè)特點(diǎn)還可以這樣來解釋：圖像信號(hào)經(jīng)時(shí)域向小波域的映射過程相當(dāng)于通過了帶通濾波器，不同子帶中的小波系數(shù)與不同頻率段的信號(hào)相對(duì)應(yīng)，因此小波變換系數(shù)在不同子帶之間的相關(guān)性很弱，有色噪聲的小波變換系數(shù)，在每一個(gè)子帶中幾乎是白噪聲。不同子帶上的小波變換系數(shù)互不相關(guān)，而且噪聲的方差也不同，因此可知，他們的互相關(guān)性很弱。以上結(jié)論不僅可以分析一維信號(hào)，也可以應(yīng)用于二維信號(hào)分析。

1.2 混合圖像降噪算法分析

假設(shè)含有噪聲的圖像為y，則

其中x為原始圖像，n為高斯白噪聲，且當(dāng)高斯白噪聲均值為零時(shí)，其方差為σn2。

而維納濾波器是基于最小平均平方誤差的濾波器，需事先知道原始圖像以及噪聲的功率譜密度。維納濾波器在傅立葉變換域中進(jìn)行降噪，傳遞函數(shù)為［1］：

2011年5月，天津農(nóng)墾積極響應(yīng)國家農(nóng)業(yè)“走出去”號(hào)召，在保加利亞投資成立全資子公司——天津農(nóng)墾集團(tuán)保加利亞公司（以下簡稱“保加利亞公司”），主要從事國際貿(mào)易并租賃土地進(jìn)行農(nóng)產(chǎn)品種植項(xiàng)目。2014年1月，在習(xí)近平總書記“一帶一路”倡議指引下，天津食品集團(tuán)再次投資，以保加利亞公司收購100%股權(quán)的形式，接收了保加利亞一農(nóng)場。農(nóng)場擁有自有土地5.1萬畝，租賃土地8.6萬畝，以及與之配套的倉儲(chǔ)、農(nóng)機(jī)和運(yùn)輸設(shè)備。

其中，S（ω）為原始圖像的功率譜密度，N（ω）為噪聲的功率譜密度。假設(shè)干擾噪聲是均值為零的高斯白噪聲，因此其功率譜密度N（ω）為常數(shù)σn2。摻雜了噪聲的圖像y的傅立葉變換為Y（ω）。假設(shè)功率譜密度S（ω）在每一個(gè)頻率點(diǎn)處的和鄰近頻率點(diǎn)處的相等，則對(duì)單個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)Y（ω），可以在一個(gè)局部方形區(qū)域W（ω）上按下式估計(jì)S（ω）：

W（ω）作為方形窗口區(qū)域，傅立葉系數(shù)共M個(gè)，將x的最小功率譜密度設(shè)為a。為了原始圖像不扭曲，則保守維納濾波器公式如下［2］：

經(jīng)傅立葉反變換，就可以得到傅立葉變換域中的濾波結(jié)果：

其中x′為不含噪聲的圖像，n′是未去除掉的有色噪聲，x′的正交小波系數(shù)用X′（k）表示，z的小波變換系數(shù)可表示為［1］：

其中n′的小波系數(shù)為N′（k），因?yàn)?N′，N′（k）均為有色噪聲，而N′（k）的自相關(guān)性會(huì)很快消失掉，同時(shí)在不同的子帶之間，小波變換系數(shù)的相關(guān)性很小或基本不相關(guān)。在任何子帶中，小波變換系數(shù)N′（k）基本為白噪聲，其方差σn2可根據(jù)下式計(jì)算得出：

其中子帶中位于k的小波函數(shù)為Ψk，有色噪聲n′的自相關(guān)函數(shù)為r，這是｜H（ω）｜2σ2的傅立葉反變換，所以σ能夠通過數(shù)值Ψ來計(jì)算得到。

假設(shè)小波系數(shù)X′（k）是方差為σ2（k）的獨(dú)立高斯變量，并且相鄰小波系數(shù)間方差的相關(guān)性很高，則可以構(gòu)建線性最小均方誤差估計(jì)器（Minimum Mean Square Error，簡稱MMSE），如下：

式中＾σ2（k）是σ2（k）的估計(jì)，則

由此可以總結(jié)出混合圖像降噪技術(shù)的方法。

在傅立葉域中：1）估計(jì)原圖像的功率譜密度可通過公式（3）來進(jìn)行；2）降噪處理可通過應(yīng)用公式（4）的維納濾波器來進(jìn)行。

在小波域中：1）σn2可通過表達(dá)式（6）在每一個(gè)子帶中進(jìn)行計(jì)算；2）應(yīng)用公式（8）估計(jì)子＾σ2（k）；3）應(yīng)用公式（7）估計(jì)＾X′（k）；4）重構(gòu)降噪后的圖像可以通過處理后的小波變換系數(shù)再進(jìn)行小波反變換而得到。

實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，在表達(dá)式（3）與表達(dá)式（4）中有兩個(gè)參數(shù)a和b需要進(jìn)行選擇，對(duì)傅立葉變換域中7×7，小波變換域中3×3的窗口，選擇a＝0．1σn2和b＝5能獲得較好的效果，而且降噪效果對(duì)需要進(jìn)行選擇的兩個(gè)參數(shù)的微小變化欠靈敏［1］。

2 實(shí)現(xiàn)混合圖像降噪技術(shù)的流程

混合傅立葉－小波降噪技術(shù)需分別在傅立葉變換域和小波變換域?qū)D像做相應(yīng)處理。在傅立葉變換域中，為了不扭曲原始圖像，先估計(jì)圖像的功率譜密度，并通過維納濾波器進(jìn)行降噪，然后在小波域中，計(jì)算有色噪聲在每一個(gè)子帶中的方差，用處理后的小波變換系數(shù)通過小波反變換重構(gòu)降噪后的圖像。程序?qū)崿F(xiàn)的流程圖如圖1。

圖1 混合圖像降噪技術(shù)流程圖

3 混合圖像降噪和傅立葉變換及小波變換降噪的對(duì)比分析

3.1 定性評(píng)價(jià)

通過對(duì)比來驗(yàn)證混合圖像降噪技術(shù)是否有效。詳見圖2。

圖2 不同降噪方法的效果圖

圖2（a）為原始圖像，圖2（b）為摻雜有色噪聲圖片，圖2（c）為經(jīng)過傅立葉變換降噪的圖像，圖2（d）為經(jīng)過混合降噪后的圖像。從圖2中可對(duì)比得出，混合降噪效果要比單純的傅立葉降噪效果好?；旌蠄D像降噪和小波圖像降噪的對(duì)比如圖3所示。

圖3 混合圖像降噪法和小波降噪法的對(duì)比

在這次圖像處理中，用小波圖像降噪方法對(duì)圖像進(jìn)行兩次降噪，并和傅立葉－小波混合降噪圖像進(jìn)行對(duì)比。經(jīng)分析得出，混合傅立葉－小波圖像降噪的效果相比單獨(dú)使用小波降噪法較好。

3.2 量化評(píng)價(jià)

峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，簡稱PSNR）是最為普遍和廣泛使用的評(píng)價(jià)畫面質(zhì)量的客觀量測(cè)方法。實(shí)踐結(jié)果表明，峰值信噪比的大小與人眼觀測(cè)到的視覺品質(zhì)無法完全一致，存在峰值信噪比高的畫面質(zhì)量感覺比峰值信噪比較低者還差的現(xiàn)象。由于人眼的視覺對(duì)誤差的敏感度并不是絕對(duì)的，使得視覺的感知結(jié)論與客觀量測(cè)方法的結(jié)論不同。

通過定性評(píng)價(jià)可以用肉眼觀察，混合傅立葉－小波降噪方法要優(yōu)于單純的傅立葉降噪或小波圖像降噪。進(jìn)一步量化地評(píng)價(jià)混合傅立葉－小波圖像降噪的效果可通過對(duì)比圖像的峰值信噪比來進(jìn)行。

在上面的程序代碼中，用out代表經(jīng)過混合圖像降噪后的圖像，xF則為經(jīng)傅立葉域變換降噪后的圖像，X2為經(jīng)過兩次小波降噪處理后的圖像，X為原始圖像。通過計(jì)算，得出PSNR＝2536443，PSNR1＝23．1272，PSNR2＝20．8981。由于PSNR值越大，說明圖像失真越少，所以量化評(píng)價(jià)上，混合傅立葉－小波圖像降噪的效果要優(yōu)于其他兩種算法。

4 小結(jié)

通過使用小波技術(shù)對(duì)圖像進(jìn)行降噪，分別使用傅立葉變換和小波變換對(duì)圖像進(jìn)行處理，并針對(duì)兩種算法的不同特性，提出了混合傅立葉——小波圖像降噪的方法，這種算法綜合了以上兩種算法的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)對(duì)降噪效果進(jìn)行了定性和量化的評(píng)價(jià)，證明混合降噪方法有著較為理想的降噪效果。

［1］ 姜三平，郝曉劍．應(yīng)用小波系數(shù)GSM統(tǒng)計(jì)模型的混合傅里葉－小波圖像降噪［J］．2009，14（3）：448－451．

［2］ 姜三平．混合傅立葉－小波圖像降噪及激光測(cè)速靶信號(hào)處理［D］．太原：中北大學(xué)，2008．