2017年8月號(hào)問(wèn)題解答

（解答由問(wèn)題提供人給出）

2376某委員會(huì)開了40次會(huì)議，每次有10人出席，而且委員會(huì)任兩個(gè)成員都未在一起出席過(guò)一次以上的會(huì)議，證明：該委員會(huì)成員一定至少有82人.

（浙江省富陽(yáng)市第二中學(xué) 許康華 311400；浙江省富陽(yáng)市永興中學(xué) 段春炳 311400）

證明設(shè)該委員會(huì)有n成員，用n個(gè)頂點(diǎn)u1，u2，…，un表示這n個(gè)成員，用40個(gè)頂點(diǎn)v1，v2，…，v40表示40次會(huì)議，如果成員ui出席會(huì)議vj則在頂點(diǎn)ui與頂點(diǎn)vj之間連一條邊，否則，在其他兩頂點(diǎn)之間都不連邊，這樣得到一個(gè)二部圖G，則圖G的頂點(diǎn)集為U∪V，其中U=｛u1，u2，…，un｝，V=｛v1，v2，…，v40｝，邊數(shù)為400.因此有.

對(duì)于任意的頂點(diǎn)ui∈U，與ui相鄰的頂點(diǎn)對(duì)有個(gè).由于任兩個(gè)成員都未在一起參加過(guò)兩次不同的會(huì)議，所以圖G中沒(méi)有四邊形，因此，當(dāng)ui在U中變化時(shí)，所有的頂點(diǎn)對(duì)都是互不相同的，否則，點(diǎn)對(duì)分別在中被計(jì)算，那么ui，vk，uj，vl就組成一個(gè)四邊形.所以

由柯西不等式，有

23 77 設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸為A1A2，短軸為B1B2，焦點(diǎn)為F1和F2，P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，Q為線段F1F2上異于其端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，ω1，ω2分別為△F1PQ和△F2PQ的外接圓，M，N分別為直線PQ與ω1，ω2的兩條外公切線的交點(diǎn)，求證：.

（河南省輝縣市一中 賀基軍 453600）

證明如圖1，設(shè)兩圓ω1，ω2的圓心分別為O1，O2，兩圓的公共弦PQ與直線O1O2的交點(diǎn)為R，點(diǎn)M所在的外公切線與兩圓ω1，ω2的切點(diǎn)分別為M1，M2.

圖1

根據(jù)對(duì)稱性可知，直線O1O2同時(shí)為線段PQ和線段MN的垂直平分線，其垂足為R.

故MM1=MM2，M為線段M1M2的中點(diǎn).

連接PO1，PO2和QO1.

又同理得 ∠PO2O1=∠PF2F1，

故△PO1O2∽△PF1F2，

因點(diǎn)P異于橢圓的頂點(diǎn)，故PF1≠PF2，這里不妨假設(shè)PF1＜PF2，從而有PO1＜PO2，即圓ω1的半徑小于圓ω2的半徑.

連接O1M1，O2M2，則O1M1⊥M1M2，O2M2⊥M1M2，四邊形M1O1O2M2為直角梯形.作該梯形的高O1H及中位線MK，如圖2所示.

圖2

因O1H⊥M2O2，O1O2⊥MR，

又MK∥M2O2，∠O1O2H=∠MKR，

故R t△O1O2H∽R(shí)t△MKR，

因O1H=M1M2，2MR=MN，

根據(jù)橢圓的定義及性質(zhì)得

另一方面，注意到

2378設(shè)正實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn滿足x1+x2+…+xn=s，且p≥1，求證：

（天津水運(yùn)高級(jí)技工學(xué)校 黃兆麟 300456）

證明由冪平均不等式，當(dāng)p≥1時(shí)有

由不等式（1）的全對(duì)稱性，不失一般性，可設(shè)

又設(shè)不等式（1）左右之差為M且左右平均分配作差，那么可得

至此，表達(dá)式M中共有n個(gè)差項(xiàng)，且前m個(gè)差項(xiàng)分子均非負(fù)且遞減，后n-m個(gè)差項(xiàng)分子均非正且遞減，雖然又有非負(fù)項(xiàng)又有非正項(xiàng)，但它們可同向放縮！即有

（注意此時(shí)分母中s-xm為常量）

故不等式（1）成立.

2379 如圖，在四邊形ABCD中，DA、CB分別和圓O相切，切點(diǎn)A、B，AC交BD于H，F(xiàn)、E分別為DA、CB中點(diǎn)，當(dāng)FE切圓O于G時(shí)，求證：GH延長(zhǎng)線平分AB.

（江西師范高等專科學(xué)校 王建榮 335000；溫州私立第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校 劉沙西 325000）

證明設(shè)GH延長(zhǎng)線交AB于I；BD、AC分別交EF于M、N，連接AG、BG分別交BD、AC于K、R，由梅涅勞斯定理：

同理

同理

由∠DAB=∠CBA，

由AF=FG=DF，BE=EG=E C，

故GH延長(zhǎng)線平分AB.

2380在△ABC中，M是邊BC上任意一點(diǎn)，若△ABC、△ABM與△ACM的內(nèi)切圓半徑分別為，求證：為定值.

（浙江省慈溪市慈溪實(shí)驗(yàn)中學(xué) 華漫天 315300）

證明如圖，設(shè)I、I1、I2分別為△ABC、△ABM、△ACM的內(nèi)心，點(diǎn)F為△ABC的內(nèi)切圓在邊BC上的切點(diǎn)，作I1P⊥BC于P，I2Q⊥BC于Q，連結(jié)F I1、F I2、I1I2、I1M、I2M，

所以PF=MQ，

易知△PI1M∽△QM I2，

又由∠I1PF=∠FQI2=90°，

故△PI1F∽△QFI2，

設(shè)a、b、c為△ABC三邊長(zhǎng)，s表示△ABC的半周長(zhǎng)，

相乘得

2017年9月號(hào)問(wèn)題

（來(lái)稿請(qǐng)注明出處——編者）

2381設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)邊上的中線長(zhǎng)，角平分線長(zhǎng)，高線長(zhǎng)，半周長(zhǎng)，外接圓及內(nèi)切圓半徑分別為a，b，c，ma，mb，mc，wa，wb，wc，ha，hb，hc，s，R，r，

（天津水運(yùn)高級(jí)技工學(xué)校 黃兆麟 300456）

2382如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)上的一點(diǎn)，且CE=AD.延長(zhǎng)AC交DE于F，F(xiàn)G∥BE交CD于G，F(xiàn)H∥AD交AE于H.

求證：（1）FG=FH；（2）A F⊥GH.

（濮陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 紀(jì)保存 457000）

2383n是大于3的奇數(shù)，證明：n！+1與（n！-n）！+1中至少有一個(gè)是合數(shù).

（浙江溫州市區(qū)馬鞍池東路1-408 陳克瀛 325000）

2384設(shè)a，b，c分別表示△ABC三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)，求證：

（河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467000）

2385如圖，⊙O與⊙O1內(nèi)切于點(diǎn)A，⊙O與⊙O2內(nèi)切于點(diǎn)B，且⊙O1與⊙O2相交于點(diǎn)C、D，AB交CD于點(diǎn)T.求證：S△TOO1=S△TOO2.

（重慶市合川太和中學(xué) 袁安全 401555）