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        數(shù)學(xué)問題解答

        2017-01-09 01:11:24
        數(shù)學(xué)通報 2017年9期
        關(guān)鍵詞:兩圓內(nèi)切圓延長線

        2017年8月號問題解答

        (解答由問題提供人給出)

        2376某委員會開了40次會議,每次有10人出席,而且委員會任兩個成員都未在一起出席過一次以上的會議,證明:該委員會成員一定至少有82人.

        (浙江省富陽市第二中學(xué) 許康華 311400;浙江省富陽市永興中學(xué) 段春炳 311400)

        證明設(shè)該委員會有n成員,用n個頂點u1,u2,…,un表示這n個成員,用40個頂點v1,v2,…,v40表示40次會議,如果成員ui出席會議vj則在頂點ui與頂點vj之間連一條邊,否則,在其他兩頂點之間都不連邊,這樣得到一個二部圖G,則圖G的頂點集為U∪V,其中U={u1,u2,…,un},V={v1,v2,…,v40},邊數(shù)為400.因此有.

        對于任意的頂點ui∈U,與ui相鄰的頂點對有個.由于任兩個成員都未在一起參加過兩次不同的會議,所以圖G中沒有四邊形,因此,當(dāng)ui在U中變化時,所有的頂點對都是互不相同的,否則,點對分別在中被計算,那么ui,vk,uj,vl就組成一個四邊形.所以

        由柯西不等式,有

        23 77 設(shè)橢圓的長軸為A1A2,短軸為B1B2,焦點為F1和F2,P為橢圓上異于其頂點的任意一點,Q為線段F1F2上異于其端點的任意一點,ω1,ω2分別為△F1PQ和△F2PQ的外接圓,M,N分別為直線PQ與ω1,ω2的兩條外公切線的交點,求證:.

        (河南省輝縣市一中 賀基軍 453600)

        證明如圖1,設(shè)兩圓ω1,ω2的圓心分別為O1,O2,兩圓的公共弦PQ與直線O1O2的交點為R,點M所在的外公切線與兩圓ω1,ω2的切點分別為M1,M2.

        圖1

        根據(jù)對稱性可知,直線O1O2同時為線段PQ和線段MN的垂直平分線,其垂足為R.

        故MM1=MM2,M為線段M1M2的中點.

        連接PO1,PO2和QO1.

        又同理得 ∠PO2O1=∠PF2F1,

        故△PO1O2∽△PF1F2,

        因點P異于橢圓的頂點,故PF1≠PF2,這里不妨假設(shè)PF1<PF2,從而有PO1<PO2,即圓ω1的半徑小于圓ω2的半徑.

        連接O1M1,O2M2,則O1M1⊥M1M2,O2M2⊥M1M2,四邊形M1O1O2M2為直角梯形.作該梯形的高O1H及中位線MK,如圖2所示.

        圖2

        因O1H⊥M2O2,O1O2⊥MR,

        又MK∥M2O2,∠O1O2H=∠MKR,

        故R t△O1O2H∽Rt△MKR,

        因O1H=M1M2,2MR=MN,

        根據(jù)橢圓的定義及性質(zhì)得

        另一方面,注意到

        2378設(shè)正實數(shù)x1,x2,…,xn滿足x1+x2+…+xn=s,且p≥1,求證:

        (天津水運高級技工學(xué)校 黃兆麟 300456)

        證明由冪平均不等式,當(dāng)p≥1時有

        由不等式(1)的全對稱性,不失一般性,可設(shè)

        又設(shè)不等式(1)左右之差為M且左右平均分配作差,那么可得

        至此,表達(dá)式M中共有n個差項,且前m個差項分子均非負(fù)且遞減,后n-m個差項分子均非正且遞減,雖然又有非負(fù)項又有非正項,但它們可同向放縮!即有

        (注意此時分母中s-xm為常量)

        故不等式(1)成立.

        2379 如圖,在四邊形ABCD中,DA、CB分別和圓O相切,切點A、B,AC交BD于H,F(xiàn)、E分別為DA、CB中點,當(dāng)FE切圓O于G時,求證:GH延長線平分AB.

        (江西師范高等??茖W(xué)校 王建榮 335000;溫州私立第一實驗學(xué)校 劉沙西 325000)

        證明設(shè)GH延長線交AB于I;BD、AC分別交EF于M、N,連接AG、BG分別交BD、AC于K、R,由梅涅勞斯定理:

        同理

        同理

        由∠DAB=∠CBA,

        由AF=FG=DF,BE=EG=E C,

        故GH延長線平分AB.

        2380在△ABC中,M是邊BC上任意一點,若△ABC、△ABM與△ACM的內(nèi)切圓半徑分別為,求證:為定值.

        (浙江省慈溪市慈溪實驗中學(xué) 華漫天 315300)

        證明如圖,設(shè)I、I1、I2分別為△ABC、△ABM、△ACM的內(nèi)心,點F為△ABC的內(nèi)切圓在邊BC上的切點,作I1P⊥BC于P,I2Q⊥BC于Q,連結(jié)F I1、F I2、I1I2、I1M、I2M,

        所以PF=MQ,

        易知△PI1M∽△QM I2,

        又由∠I1PF=∠FQI2=90°,

        故△PI1F∽△QFI2,

        設(shè)a、b、c為△ABC三邊長,s表示△ABC的半周長,

        相乘得

        2017年9月號問題

        (來稿請注明出處——編者)

        2381設(shè)△ABC的三邊長,對應(yīng)邊上的中線長,角平分線長,高線長,半周長,外接圓及內(nèi)切圓半徑分別為a,b,c,ma,mb,mc,wa,wb,wc,ha,hb,hc,s,R,r,

        (天津水運高級技工學(xué)校 黃兆麟 300456)

        2382如圖,在△ABC中,AB=BC,D是AB延長線上的一點,E是BC延長上的一點,且CE=AD.延長AC交DE于F,F(xiàn)G∥BE交CD于G,F(xiàn)H∥AD交AE于H.

        求證:(1)FG=FH;(2)A F⊥GH.

        (濮陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 紀(jì)保存 457000)

        2383n是大于3的奇數(shù),證明:n!+1與(n!-n)!+1中至少有一個是合數(shù).

        (浙江溫州市區(qū)馬鞍池東路1-408 陳克瀛 325000)

        2384設(shè)a,b,c分別表示△ABC三內(nèi)角A,B,C所對的邊長,求證:

        (河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467000)

        2385如圖,⊙O與⊙O1內(nèi)切于點A,⊙O與⊙O2內(nèi)切于點B,且⊙O1與⊙O2相交于點C、D,AB交CD于點T.求證:S△TOO1=S△TOO2.

        (重慶市合川太和中學(xué) 袁安全 401555)

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