浙江省義烏市江濱小學(xué) 楊凱明

算法多樣化的思考與實(shí)踐

浙江省義烏市江濱小學(xué) 楊凱明

小學(xué)數(shù)學(xué)改革的重要目標(biāo)是改變學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生積極開展“算法多樣化”的活動(dòng)，積極鼓勵(lì)不同學(xué)生采取不同的解決問題的策略，為學(xué)生提供數(shù)學(xué)交流的機(jī)會(huì)，有利于促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng),提高數(shù)學(xué)思維能力。由于積極提倡算法多樣化，不同的學(xué)生常常有不同的解題策略，讓學(xué)生運(yùn)用自己的方法解決問題，使學(xué)生對(duì)解決數(shù)學(xué)問題有更深切的體會(huì)。算法多樣化是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》所倡導(dǎo)的新理念，它要求學(xué)生在研究數(shù)的基本運(yùn)算方法的同時(shí)，形成解決問題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，達(dá)到發(fā)展思維、培養(yǎng)創(chuàng)新精神的目的。這也意味著計(jì)算教學(xué)的改革，意味著課堂教學(xué)中把思考還給學(xué)生，意味著學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。

一、計(jì)算方法推導(dǎo)的多樣化

以分?jǐn)?shù)除法計(jì)算法則的推導(dǎo)為例。

1.依據(jù)“歸一問題”的解題思路

師：從下面的情境圖中你能得到哪些數(shù)學(xué)信息？

生：淘氣一共騎了9千米。

師：非常了不起，從分?jǐn)?shù)的意義解釋出了小時(shí)行9千米的含義。那么淘氣1小時(shí)行多少千米？請(qǐng)你列出算式。

生：我是畫圖算出來的。

師：你們都很有想法，推導(dǎo)的過程非常清晰，真棒！其實(shí)分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法就是這樣推導(dǎo)出來的，9÷=9÷3×4=9××4=9×。

師小結(jié)：其實(shí)除以一個(gè)數(shù)就等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

【評(píng)析：學(xué)生根據(jù)路程、時(shí)間與速度之間的關(guān)系，列出算式9÷后，教師著重啟發(fā)學(xué)生搞清“小時(shí)行9千米”的含義，通過線段圖，學(xué)生很容易想到，只要先求出3份中的1份是多少，再求4份是多少，即9÷3×4，進(jìn)一步推導(dǎo)出分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法是除以一個(gè)數(shù)等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。所以，推導(dǎo)過程與筆算過程及實(shí)際應(yīng)用的心算一致?！?/p>

2.依據(jù)除法的運(yùn)算意義

師：同學(xué)們，前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)乘法，回憶一下分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則是什么？

生：分子與分子相乘，分母與分母相乘。

生：那如果分子、分母不能整除怎么辦？

師：這位同學(xué)很會(huì)思考，這是一個(gè)很有價(jià)值的問題。我們一起來探究一下，我們可以舉個(gè)分子、分母不能整除的例子，比如說，同學(xué)們?cè)囋嚳矗?/p>

師：也就是說，我們還是可以用分子除以分子，分母除以分母的方法計(jì)算？

生：老師，我有個(gè)疑問，剛才這個(gè)算式中兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母是相同的，相除分母就是1，那如果分母不相同呢？

生：可以通分。

【評(píng)析：通過復(fù)習(xí)乘法，重溫乘法計(jì)算法則，利用除法是乘法的逆運(yùn)算，用特殊的數(shù)據(jù)誘導(dǎo)學(xué)生想到“反其道而行之”，即“分子與分子相除，分母與分母相除”。在學(xué)生嘗試解決時(shí)自然會(huì)產(chǎn)生疑問：分子、分母不能整除怎么辦？此時(shí)順勢(shì)設(shè)計(jì)兩道“過渡題”讓學(xué)生嘗試，至此，分?jǐn)?shù)除法的“另類”算法“先通分，再分子相除”已經(jīng)出來了。教師欲歸結(jié)為常規(guī)算法也很簡(jiǎn)單，只要引導(dǎo)學(xué)生將改寫成，分?jǐn)?shù)除法的算法同樣一目了然。】

3.依據(jù)商不變的規(guī)律

師：請(qǐng)你快速口算出下列各題，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的乘積等于1。

生：除數(shù)是1的，商等于被除數(shù)。

【評(píng)析】在口算練習(xí)中，教師有意識(shí)安排幾道“積是1”、“除數(shù)是1”的乘除法的計(jì)算題，深化“除數(shù)是1的，商等于被除數(shù)”的道理。引導(dǎo)學(xué)生思考“除數(shù)不是1，有辦法把除數(shù)轉(zhuǎn)化成1嗎？”運(yùn)用除法的基本性質(zhì)把除數(shù)轉(zhuǎn)化為1，使商不變，完成推導(dǎo)。

4.依據(jù)等式的基本性質(zhì)

【評(píng)析：這樣推導(dǎo)的列式基于“逆運(yùn)算”，推導(dǎo)的依據(jù)是“等式的基本性質(zhì)”，便于統(tǒng)一解決某些實(shí)際問題的思路?！?/p>

二、計(jì)算方法的多樣化

《數(shù)學(xué)課標(biāo)（實(shí)驗(yàn)稿）》在第一學(xué)段“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”中說：“應(yīng)重視口算，加強(qiáng)估算，提倡算法多樣化。”在第一學(xué)段“教學(xué)建議”中再次指出：“由于學(xué)生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的，教師應(yīng)尊重學(xué)生的想法，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，提倡計(jì)算方法的多樣化?！钡?，如果教師對(duì)算法只求數(shù)量上的“多”，并不考慮思維水平是否有提升，浮于形式和表面，學(xué)生喜歡哪種算法就用哪種算法，讓學(xué)生自己選擇，實(shí)際的教學(xué)效果往往不理想。

以20以內(nèi)退位減法為例，選取教學(xué)“14-9”片段。

師：婷婷、明明和小蘭三個(gè)好朋友正在玩套圈游戲，要知道“有幾個(gè)圈沒套中”，該用什么方法計(jì)算呢？

生：14-9。

師：14減9等于多少呢？你是怎樣想的？借助你手邊的學(xué)具驗(yàn)證一下你的想法是否正確，再跟你同桌的小朋友說一說你的想法。

（學(xué)生活動(dòng)，討論）

生1：因?yàn)?+5=14，所以14-9=5。

生2：14-4=10，10-5=5。

提問：為什么要用14先減4？減去4后還要減幾？你怎么知道的？（課件演示拿走小棒的過程）

師：有不同的想法嗎？

生3：10－9=1，4＋1=5。

提問：10是哪來的？為什么要用10-9？（課件演示拿走小棒的過程）

生4：14-10＝4，4+1＝5。

提問：為什么要用14－10？10從哪來的？減了10后為什么要加1？

師：還有其他方法嗎？

生5：一個(gè)一個(gè)的減，14-1-1-1-1-1-1-1-1-1=5。

師小結(jié)：剛才同學(xué)們運(yùn)用了這么多方法算出了14-9的得數(shù)，有“數(shù)數(shù)法”，有“做減想加法”，有“破十法”，“平十法”，“多減加補(bǔ)法”，真了不起！現(xiàn)在請(qǐng)你選擇你喜歡的方法算一算16-7的得數(shù)。

【評(píng)析：學(xué)生通過操作、思考等方式想出了5種算法，其實(shí)只要給學(xué)生1捆4根小棒，讓他們從中拿走9根，學(xué)生自發(fā)想到的操作方法基本上可以歸結(jié)為“破十法”和“平十法”這兩種算法，也就是說，它們是學(xué)生通過操作能夠自己得出的計(jì)算方法。然而，無論是“破十法”還是“平十法”，“多減加補(bǔ)法”，都要三步（先拆數(shù)，再兩步口算）才能完成，學(xué)困生難以內(nèi)化，一時(shí)難以真正掌握。老師們通過實(shí)踐、比較，發(fā)現(xiàn)還是“做減想加法”更適合這部分學(xué)生。 教學(xué)過程中對(duì)9+（ ）=14的題型做一些專項(xiàng)練習(xí)，熟練后，再來學(xué)習(xí)20以內(nèi)退位減法，問題就迎刃而解了?！?/p>

“一個(gè)一個(gè)的減，14-1-1-1-1-1-1-1-1-1=5”這種算法很少有學(xué)生會(huì)真正采用，在教師“還有什么方法”的一再追問下，挖空心思想出的方法，對(duì)于學(xué)生的思維發(fā)展沒有任何好處，且浪費(fèi)了更多的教學(xué)時(shí)間。

14-9的另外還有兩種算法：從14一個(gè)一個(gè)倒數(shù)法；把減數(shù)看成10轉(zhuǎn)化，14-9=（14+1）-（9+1）=15-10（自發(fā)地運(yùn)用了“被減數(shù)、減數(shù)增加相同的數(shù)，差不變”的規(guī)律）等等。

選擇不同算法需要跟進(jìn)不同的輔助練習(xí)。例如，“破十法”的輔助練習(xí)：

14-9=（ ）。

想：把14分成（ ）和（ ），

10-9=（ ） ， （ ）+4=（ ） 。再如：用想加算減的方法，就需要教師適當(dāng)延長(zhǎng)20以內(nèi)進(jìn)位加法的練習(xí)時(shí)間，以學(xué)生看到a+( )=b能很快做出正確反應(yīng)為學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

三、算法表征的多樣化

以一位數(shù)乘兩位數(shù)為例。

顯然，以上種種都只是同一種算法的不同表現(xiàn)形式。

“多樣化”源于學(xué)生的個(gè)體差異。因?yàn)橹T多因素的影響，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)常常是富有個(gè)性的，“多樣化”正是基于這種差異性，讓學(xué)生嘗試用自己的方式從不同角度解決問題，促進(jìn)學(xué)生積極思考、自主探索。但不能一味求多，竭力去思考那些低價(jià)值、原始的方法，這種為多而多的做法違背了“多樣化”，方法多些沒什么不好，就是不能把追求多種算法作為教學(xué)目的。一句話：要淡化形式，注重實(shí)質(zhì)。要注意“多樣化”是否能解決問題，“多樣化”是不是學(xué)生自己獨(dú)立思考的結(jié)果。

[1]曹培英.小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)若干問題的思考與實(shí)踐.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2012（3）-（4）.