張亞東

(上海市大同中學 200011)

1 問題提出 石破天驚”

最近高三復習調(diào)研出了這樣一個填空題難倒了不少學生：

2 問題解決 “水落石出”

2．1 軌跡探究

圖1

我們知道用平面去截球面得到的截面圖形一定是圓，圓的大小取決于球心到平面的距離.

圖2

圖3

2．2 問題解決

圖4

2．3 圖像探究

圖5

3 問題生成 “再起波瀾”

意猶未盡，學生提出了新的問題：“喇叭花”函數(shù)在其它正多面體中情況如何？利用類似的研究方法同樣加以解決.

3.1 在正四面體中生長的“喇叭花”

問題2：動點P在棱長為1的正四面體A-BCD表面上運動，且|PA|=x(0

隨著半徑x從0到1的變化，動點P的軌跡形狀不盡相同，分以下三種情形：

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

3．2 正八面體中生長的“喇叭花”

點P在面TAB上的軌跡圖形是什么樣呢？為此取AB中點M，過點S作SH⊥TM，垂足為H，易證SH⊥面TAB，所以點P在面TAB上的軌跡是以H點為圓心,HE為半徑的一段圓弧.

圖12

當x=1時，TE正好與軌跡圓弧相切(圖15).

圖13

圖14

圖15

圖16

作出函數(shù)圖像(圖17)，在正八面體中，關于x的方程f(x)=m解的個數(shù)可能為0,1,2.

圖17

在正八面體中的“喇叭花”函數(shù)圖像與正四面體中的圖像形狀相似，先直線上升，然后盛開，接下來開始凋謝，所不同的是它在生長過程中始終 沒有出現(xiàn)“花蕊”，盛開得更慢一些，開得最盛時的 花朵要大一些，花期也更長一些．

運用類似的方法可以繼續(xù)研究“喇叭花”在正十二面體和正二十面體中盛開的情況，可以想象它們將會更為絢麗奪目，五彩繽紛.其實，“喇叭花”函數(shù)不僅僅可以在正多面體中盛開，對于任何多面體也存在類似的問題.

通過對“喇叭花”函數(shù)的研究，可以發(fā)揮學生的空間想象力，在問題解決過程中體悟分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想，學會把一個“可以想象卻難以言傳”的數(shù)學問題表達清楚，學會運用TI圖形計算器作出函數(shù)圖像，研究函數(shù)性質(zhì)，探究數(shù)學問題解決途徑和方法.