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        橢圓與雙曲線焦點三角形面積的兩個性質(zhì)

        2017-01-04 12:27:06潘劍儒
        數(shù)學(xué)通報 2017年4期
        關(guān)鍵詞:中垂線雙曲線分母

        潘劍儒

        (成都師大一中高中部 610303)

        數(shù)學(xué)教學(xué)以傳授與培養(yǎng)思想方法進而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力為根本目的,以不同的角度去探究熟悉的數(shù)學(xué)問題往往會有更精彩的方法或更新的發(fā)現(xiàn).本文以“離心角”(參變量)為路徑探索關(guān)于焦點三角形面積與外接圓半徑R,內(nèi)切圓半徑r的關(guān)系.分別得到關(guān)于橢圓與雙曲線焦點三角形面積的奇異性質(zhì).本文所用方法簡單自然,結(jié)論奇異而且拓展空間大.

        1 橢圓焦點三角形面積的性質(zhì)

        F1(-c,0),F2(c,0)分別是左右焦點,r1,r2分別為焦半徑PF1,PF2的長.

        又由線段PF2的中垂線方程

        由圓錐曲線統(tǒng)一定義知

        r1=a+ccosθ,r2=a-ccosθ,

        最后分母用均值不等式得

        性質(zhì)1證畢.

        2 雙曲線焦點三角形面積的性質(zhì)

        因線段PF2的中垂線方程為

        由圓錐曲線統(tǒng)一定義知

        r1=csecθ+a,r2=csecθ-a,

        則r1r2=c2(1+tan2θ)-a2=b2+c2tan2θ,

        ⑤與⑥式相乘得r1r2=2(1+secθ)Rr

        由⑥兩邊平方整理得

        r2(2+2secθ+tan2θ)=b2tan2θ,

        故sin∠F1PF2=sin2α=2sinαcosα

        分母用均值不等式知S≤(1+secθ)Rr

        性質(zhì)2證畢.

        正所謂所行道路不同,則欣賞的風(fēng)景不同,本文以“離心角”為路徑,得到如此有趣的性質(zhì).從本文證明過程不難看出上述③、④、⑦、⑧等式也是橢圓與雙曲線的有用性質(zhì),用這些性質(zhì)可以得到相關(guān)更多奇異結(jié)論.作為拋磚引玉,最后給出下例兩個問題,有趣的讀者可根據(jù)本文的相關(guān)結(jié)論或推導(dǎo)思路解決.

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