張安軍

(浙江省臺(tái)州市白云中學(xué) 318000)

2015年浙江省教育廳在《關(guān)于深化義務(wù)教育課程改革的指導(dǎo)意見》中指出，拓展性課程是指學(xué)校提供給學(xué)生自主選擇的學(xué)習(xí)內(nèi)容，明確要求，各地和學(xué)校要積極探索拓展課程的開發(fā)、實(shí)施、評(píng)價(jià)和共享機(jī)制，體現(xiàn)地域和學(xué)校特色，突出拓展性課程的興趣性、活動(dòng)性、層次性和選擇性，滿足學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)需求，初中數(shù)學(xué)拓展性課程肩負(fù)著實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育的責(zé)任和義務(wù)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)向數(shù)學(xué)教育轉(zhuǎn)變的重要途徑之一.筆者在本市組織的拓展性課程研討會(huì)上，開設(shè)了八年級(jí)數(shù)學(xué)拓展課《玩游戲?qū)W數(shù)學(xué)》，現(xiàn)將本課的教學(xué)過程及教學(xué)點(diǎn)評(píng)撰寫成文與各位同行研討.

1 教學(xué)實(shí)錄

1.1 體驗(yàn)游戲,激趣引入

師：這節(jié)課老師想和大家玩游戲，不過數(shù)學(xué)課中玩游戲，希望玩出數(shù)學(xué)味，在玩游戲[1](圖1)之前，先熟悉其規(guī)則.

(學(xué)生閱讀規(guī)則后，老師從反面提問，如圖2，三支被吹滅的蠟燭，所選的是哪一支？又從正面追問，老師用橢圓的虛線選中一支蠟燭，將被吹滅的有幾支？加深對(duì)游戲規(guī)則的理解.)

“吹蠟燭”游戲—18支 “吹蠟燭”游戲—18支

圖1

圖2

規(guī)則說明：

①甲、乙輪流任意選其中一支燃著的蠟燭，把它吹熄，同時(shí)所選的蠟燭及相鄰的兩旁都將被一起吹熄，每次輪流到只給一次吹的機(jī)會(huì)，②吹滅最后一支蠟燭者為勝。

師：同學(xué)們，你們認(rèn)為該游戲的輸贏和吹蠟燭的先后有關(guān)系嗎？

(此時(shí)，教室里非常熱鬧，一部分同學(xué)認(rèn)為游戲的輸贏對(duì)先吹者有利，有的認(rèn)為對(duì)后吹者有利，有的認(rèn)為僅與博弈者的水平有關(guān)，還有的不清楚.老師前后邀請(qǐng)幾位同學(xué)玩，這幾位同學(xué)分別代表上述前三種觀點(diǎn)，共玩了三局，在第一、三局中，先吹蠟燭者贏，在第二局中后吹蠟燭者贏.這時(shí)大家對(duì)輸贏和吹蠟燭先后的關(guān)系更是議論紛紛.)

師：既然大家意見不一，那么我們就帶著這個(gè)疑惑繼續(xù)游戲探索之旅.

點(diǎn)評(píng)：以游戲?yàn)樵掝}，點(diǎn)燃學(xué)生玩的欲望，為了更好玩游戲，老師引領(lǐng)學(xué)生解讀游戲規(guī)則，邊解讀邊提問為玩游戲作充分準(zhǔn)備.當(dāng)先吹者取勝時(shí)，后吹的挑戰(zhàn)者又贏了先吹者，此時(shí)教師不失時(shí)機(jī)提出“游戲的輸贏跟先吹或后吹有沒有關(guān)系？”，會(huì)玩更要學(xué)會(huì)思考，要玩出數(shù)學(xué)味，把真實(shí)游戲情境、操作、體驗(yàn)融入一體，真正激起學(xué)生強(qiáng)烈認(rèn)知沖突，點(diǎn)燃了學(xué)生探究的欲望.

1.2 合作交流，探究游戲

游戲2：有兩行數(shù)量相等的撲克牌，甲、乙輪流在其中任意一行取撲克牌(每次取牌數(shù)量不限，但不能不取)，規(guī)定：誰取到最后一張牌者為勝.這個(gè)游戲的輸贏和取牌的先后有關(guān)系嗎？ 為什么？[2]

圖3

(老師和學(xué)生一起解讀游戲規(guī)則中的關(guān)鍵詞并提出問題，如，你是怎樣理解“任意一行取牌”？如果甲在第一行中取牌，那么乙能否再在第一行取牌？當(dāng)所有學(xué)生全部理解游戲規(guī)則后，然后分組玩游戲，讓學(xué)生在玩耍中驗(yàn)證自己的猜想.玩了4分鐘左右，有的小組認(rèn)為該游戲?qū)ο热∨普哂欣?，有的認(rèn)為對(duì)后取牌者有利，有的認(rèn)為與博弈者的水平有關(guān).)

師：大家對(duì)游戲的輸贏與取牌的先后關(guān)系，意見不一，那么到底誰對(duì)呢？

生(眾)：各自比試一下吧！

師：一開始時(shí)，我給每組分發(fā)20張，兩行各10張撲克牌；現(xiàn)在我減少每行撲克牌的數(shù)量至8張，是否符合要求呢？

生(眾)：符合要求.

師：那么每行還可以是幾張？帶著這樣問題繼續(xù)觀看和思考幾組的比試.

(老師讓不同觀點(diǎn)的同學(xué)比試，其它同學(xué)仔細(xì)觀戰(zhàn)；每局老師有意變化牌的數(shù)量，從多到少，隨著局?jǐn)?shù)的增多，后取牌者除了一次失誤外，如圖4，其余都贏.觀看的同學(xué)慢慢地從中發(fā)現(xiàn)其中的奧秘.)

圖4

師：剛才共觀看三局，第一局每行8張，先取者贏；第二局每行5張，后取者贏；第三局每行3張，后取者贏.

師：如果第四局，每行都只有1張牌時(shí)，要想獲得游戲勝利，你會(huì)選擇先取還是后取？

生1:我會(huì)選擇后取，因?yàn)橄热≌卟还茉鯓尤∨?，總?huì)留下1張牌給后取者.

師：當(dāng)每行2張牌時(shí)，又如何呢？

生1：我還堅(jiān)持后取，如果先取牌者在某一行中取1張，我在另一行也取1張，這時(shí)，兩行都變成各1張，就轉(zhuǎn)化為上述問題后取牌者有利；如果在某一行中取2張，我也取2張.總之，對(duì)后取牌者有利.

師：剛才第三局，每行3張牌，先取者取2張，后取者也取2張，這樣轉(zhuǎn)化為每行都只有1張牌，導(dǎo)致后取牌者贏；如果先取牌者取走1張，后取牌者應(yīng)取幾張，才能獲勝.

生2：后取牌者也取1張.

師：為什么？

生2：當(dāng)后取牌者也取1張時(shí)，就變成每行2張，由上述游戲解決知，后取牌者能贏.

師：兩行數(shù)量分別為1、2、3張，這個(gè)游戲都對(duì)后取牌者有利，是否推廣到任意數(shù)量相等的兩行撲克牌呢？

生3：兩行只要數(shù)量相等，這個(gè)游戲?qū)笕≌咭欢ㄓ欣?

師：如圖4所示，第一局每行8張，后取牌者為什么會(huì)輸?shù)裟兀?/p>

生3：是因?yàn)楹笕∨普呤д`了才輸?shù)?

師：失誤在哪一步呢？

生3：先取牌者第一次取了5張后，后取牌者應(yīng)該取5張，而他因失誤取了4張.

師：為什么后取牌者也要取5張.

生3：因?yàn)楫?dāng)后取牌者也取5張，這時(shí)兩行都剩下3張牌，又轉(zhuǎn)化每行都為3張牌.

師：剛才同學(xué)們很好地把數(shù)學(xué)中的化歸思想遷移到游戲中來，對(duì)于兩行任意數(shù)量相等的撲克牌，如果后取牌者要獲勝，應(yīng)如何取牌？

生4：后取牌者只要和先取牌者每次保持對(duì)稱地取牌.

師：你這里所謂對(duì)稱地取牌，是否指先取者在其中一行取牌，后取者一定要在另外一行相應(yīng)的位置取相同數(shù)量的牌，也就是說后取者和先取者在形和數(shù)量上都要保持對(duì)稱.

生4：是的.

師：還有不同的方法嗎？

生5：后取牌者只要和先取牌者在另一行每次保持相等數(shù)量取牌，就可以，不必位置相同.

師：生5在生4的基礎(chǔ)上，提出后取者和先取者只要保持?jǐn)?shù)量相等就可以.其實(shí)游戲規(guī)則誰最后有牌取就贏，最終跟取牌的數(shù)量有關(guān).因此生5把生4的想法推向更一般.

師：能否用數(shù)學(xué)的符號(hào)來描述兩行數(shù)量相等撲克牌的取牌呢？

還真是報(bào)應(yīng)，我在前一秒對(duì)那個(gè)女孩表示了鄙視之后，下一秒就看到那個(gè)和她眉目傳情的家伙就是，我的男朋友，秦明。不過已經(jīng)無所謂，因?yàn)橄乱豢?，他就?huì)被我稱作，前男友。我在最后一刻還是犯了所有小女人都犯的矯情的毛病——我要和他在我們最初見面的地方說分手。

(學(xué)生一時(shí)理不出頭緒，不知如何用符號(hào)化來表述問題，這時(shí)老師提示游戲中兩行數(shù)量相等的撲克牌，這里撲克牌數(shù)量相等是不是一個(gè)具體的數(shù)呢？如何表示這個(gè)數(shù)呢？又如何表示每次取撲克牌的數(shù)量呢？在老師的這一啟發(fā)下，學(xué)生想到用字母表示數(shù)，若設(shè)每行牌為a張，a為正整數(shù)，先取牌者第i次取ai張，后取牌者第j次取bj張，當(dāng)i=j時(shí)，有ai=bj.)

師：剛才這個(gè)游戲?qū)笕≌哂欣敲茨芊褚該淇伺茷楸尘霸O(shè)計(jì)一個(gè)游戲，對(duì)先取牌者利.

生6：如圖5所示，一行5張，另一行7張，游戲規(guī)則不變.

圖5

圖6

師：說說你的理由？

生6：在圖5所示的撲克牌中取走第二行中多余的2張牌，就化為兩行數(shù)量相等，先取者就變成游戲2中的后取者.

師：還有不同的設(shè)計(jì)嗎？

生7：一行5張，另一行6張，游戲規(guī)則不變.

師：先取者第一次應(yīng)取幾張牌？

師：剛才這兩位同學(xué)分別給出兩行為5、7張和5、6張，能否推廣更一般呢？如“兩行數(shù)量不等的撲克牌”，游戲規(guī)則不變，是否對(duì)先取者有利呢？

師：“兩行數(shù)量不等的撲克牌”和剛才這兩位同學(xué)分別給出兩行為5、7張和5、6張，這兩者有什么關(guān)系？

生(眾)：是一般和特殊關(guān)系？

師：你們認(rèn)為“兩行數(shù)量不等的撲克牌”最特殊、最簡單的是哪一種情形？

生(眾):一行1張，另一行2張.

師：對(duì)于這種情況，先取者應(yīng)如何取牌？

生(眾):在一行2張牌中先取1張，化成二行各為1張(如圖6).

師：對(duì)于一般情況，先取者又如何取牌呢？

生(眾)：先取者在較多數(shù)量的一行中取走一些牌，使剩下的牌和較少一行數(shù)量保持相等，這樣就轉(zhuǎn)化為游戲2.

師：在上述兩行數(shù)量相等或不等的撲克牌游戲中，你有什么收獲或體會(huì)呢？

生7：當(dāng)兩行牌數(shù)量相等時(shí)，頭緒比較亂，取一行撲克牌數(shù)量為1張，另一行為1張，這樣有利于獲得結(jié)論.

師：生7說得很好，為了簡化問題，取特殊值，數(shù)學(xué)中把這種思想方法叫做特殊化思想.對(duì)于特殊化思想華羅庚曾說“ 善于退,足夠的退,退到最原始而不失重要的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.”從中用數(shù)學(xué)的眼光看：做游戲和做數(shù)學(xué)題一樣，都要善于特殊化.還有其它的感悟嗎？

生8：做游戲和做數(shù)學(xué)題一樣，都要善于轉(zhuǎn)化，把陌生的游戲轉(zhuǎn)化成熟悉的游戲.

生9：這些游戲的秘訣都是一方破壞數(shù)量相等，另一方重新建立新的數(shù)量相等從而達(dá)到新的平衡，使自己立于不敗之地.

師：同學(xué)們都?xì)w納得很好，當(dāng)數(shù)量較多時(shí)首先要特殊化，首先把復(fù)雜問題簡單化；其次學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，把陌生的游戲轉(zhuǎn)化成熟悉的游戲，這是最經(jīng)濟(jì)實(shí)效的方法；第三要用平衡的對(duì)稱的思想去取牌.

點(diǎn)評(píng)：在學(xué)生充分理解游戲規(guī)則后，學(xué)生自主探究游戲.由于學(xué)生領(lǐng)會(huì)能力不一樣，教師讓各種不同觀點(diǎn)的同學(xué)到講臺(tái)上進(jìn)行操作演練，其它同學(xué)仔細(xì)觀察并進(jìn)行分析.為了讓其它同學(xué)發(fā)現(xiàn)奧秘，老師有意控制牌的數(shù)量，慢慢的減少牌的數(shù)量，學(xué)生從中領(lǐng)悟到其中的奧秘.在解密“數(shù)量相等的撲克牌”游戲后，為了增強(qiáng)學(xué)生問題意識(shí)和培養(yǎng)提出問題的能力，教師讓學(xué)生利用撲克牌自主設(shè)計(jì)“先下手有利，后下手不利”的游戲規(guī)則，很好地培養(yǎng)了學(xué)生提出問題能力.每一個(gè)游戲結(jié)束后，教師又注重對(duì)游戲操作過程的反思，學(xué)生在重復(fù)操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中，思維經(jīng)歷了從模糊到朦朧，從朦朧到清晰，學(xué)生做游戲的過程就是從無意識(shí)盲目地取牌到有點(diǎn)方法(特殊化)取牌，從有點(diǎn)方法取牌到有策略性地取牌，在重復(fù)操作和反思總結(jié)中不斷優(yōu)化學(xué)生的思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法.

1.3 游戲變式，深入探究

游戲3：如圖7，用12張撲克牌擺成如下圖所示的一個(gè)圓圈，甲、乙輪流從中取1張或2張牌，如果取走的是2張，這2張必須相鄰，規(guī)定：取走最后一張牌者為勝.這個(gè)游戲的輸贏和取牌的先后有關(guān)系嗎？ 為什么？

圖7

(在學(xué)生熟悉游戲規(guī)則后，然后分組演練，幾分鐘后，各小組的意見不一，在新的情景游戲中許多學(xué)生未能很好遷移上述游戲中解決的策略，如特殊化思想、化歸思想、對(duì)稱思想.教師通過比較上述游戲中的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，從而啟發(fā)學(xué)生解決問題的策略)

師：這個(gè)游戲跟以上我們剛剛玩過的有類似嗎？

生(齊)：有.

師：那些類似呢？

生10：都是取最后一張牌者為勝.

生11：不同點(diǎn)是這一次取牌僅取1張或2張，取2張時(shí)，這2張必須是相鄰的，而上述游戲每次在一行中可以任意取多少張.

師：這兩位同學(xué)都從游戲規(guī)則上加以總結(jié)，還能否從其它角度去思考嗎？比如從取牌的策略和方法上.

師：上述游戲2用到哪些數(shù)學(xué)思想方法？

生12：從特殊到一般，轉(zhuǎn)化思想，對(duì)稱地取牌

思想等.

(這時(shí)，一位同學(xué)突然有所感悟，舉手示意)

生13：這個(gè)游戲?qū)笕≌哂欣?

師：為什么？

生14：先特殊化，當(dāng)牌為2張時(shí)，如圖8所示，先取者取完2張就贏了；當(dāng)牌為4張時(shí)，如圖9，先取者只要取一張，此時(shí)后取者無論如何取1或2張牌，都留下2或1張，同樣也是先取者為贏.因此我猜想，偶數(shù)張撲克牌，先取者贏.

圖8 圖9 圖10

師：剛才這位同學(xué)利用上面玩游戲的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)牌的數(shù)量進(jìn)行特殊化，從而得出猜想對(duì)先取者有利.對(duì)生14同學(xué)的想法，其它同學(xué)有不同的想法嗎？

生15：不對(duì)，當(dāng)牌的數(shù)量為4張時(shí)，對(duì)先取者不利，當(dāng)先取者取1張時(shí)，后取者在其正對(duì)面取1張(如圖9到圖10)，留下2張，但這2張不是相鄰的牌，由于規(guī)則中“若取2張牌必須是相鄰的”，就相當(dāng)于兩行各1張牌，轉(zhuǎn)化成上述兩行數(shù)量相等，由上述游戲可知先取者輸；當(dāng)先取者取2張，后取者也取2張，總之，對(duì)先取者不利.

師：生15注重對(duì)游戲規(guī)則的解讀，并指出4張牌時(shí)，對(duì)后取者有利.現(xiàn)在牌為12張時(shí)，還是對(duì)后取者有利嗎？

生16：后取者有利，理由如下：在圖11中，當(dāng)先取者取一張牌時(shí)，后取者在其正對(duì)面也取1張，如圖12，轉(zhuǎn)化成兩行數(shù)量相等的牌；若當(dāng)先取者取2張時(shí)，后取者在其正對(duì)面也取2張，如圖13，也轉(zhuǎn)化成兩行數(shù)量相等的牌.

圖11

圖12

圖13

師：在12張圓形撲克牌中，后取者只要和先取者關(guān)于圓心對(duì)稱地取牌(如圖12)，這樣剩下的撲克牌在形式上轉(zhuǎn)化為數(shù)量相等的兩行牌，然后只要后取者保持與先取者呈對(duì)稱地取牌就可.如果把12張撲克牌改成13張撲克牌，其它不變那么還是后取牌者有利嗎？

圖14

圖15

(學(xué)生慢慢學(xué)會(huì)以退為進(jìn)，當(dāng)3張牌時(shí)，通過特殊化的方式加以猜想得到結(jié)論：“對(duì)后取者有利”；師生在特殊中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，增加牌的數(shù)量，利用上述游戲?qū)ΨQ的取牌策略，化圖14為圖15，即當(dāng)先取者取2張牌時(shí)，后取者在其正對(duì)面取1張牌，把圓形的撲克牌轉(zhuǎn)化成兩行數(shù)量相等的撲克牌.)

師：在這個(gè)游戲的玩耍中，你們又有怎樣的體會(huì)？

生17：當(dāng)你思考問題沒有頭緒時(shí)，要善于把問題簡單化、特殊化.

生18：感受最深的是要學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化，把陌生的轉(zhuǎn)化成熟悉的，把做不來轉(zhuǎn)化成已會(huì)的.

師：上述游戲的形式雖變，但解決游戲策略和方法卻沒有變.如化繁為簡的特殊化思想，化生為熟的轉(zhuǎn)化思想等，卻是解決游戲關(guān)鍵所在.

點(diǎn)評(píng)：游戲2中“從兩行數(shù)量相等”的撲克牌游戲到學(xué)生自主設(shè)計(jì)“兩行數(shù)量不等”的撲克牌游戲，再到游戲3中“偶數(shù)張”撲克牌到“奇數(shù)張”撲克牌，撲克牌排列的形狀從線性到非線性，取牌策略和思維從易到難，問題層層遞進(jìn)，后一個(gè)游戲都是前一個(gè)游戲螺旋往復(fù)上升，符合學(xué)生的認(rèn)知.通過這樣一組變式游戲訓(xùn)練，使學(xué)生重復(fù)性經(jīng)歷了相同的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并把這種同一經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)活動(dòng)應(yīng)用到不同背景的游戲中去，在這一過程中積累更一般、更有效、更抽象的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這樣用相同的經(jīng)驗(yàn)和方法去做不同的事情，是活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)上升到數(shù)學(xué)思想方法關(guān)鍵所在.

1.4 破解游戲，遷移方法

(再回到本節(jié)課的開頭吹“蠟燭游戲”，學(xué)生通過對(duì)游戲3和“蠟燭游戲”進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)“吹蠟燭游戲”其實(shí)質(zhì)是游戲3中牌的數(shù)量從12張推廣到18張，后吹者為了確保勝出，如圖16，后吹者乙只要在先吹者的對(duì)面吹滅相同數(shù)量蠟燭，圖17把它分成兩行數(shù)量相等的燃著蠟燭就轉(zhuǎn)化成游戲2.)

圖16

圖17

師：上述的諸多游戲雖精彩紛呈，但游戲背后思想方法卻是相同，如果把這種思想方法運(yùn)用到數(shù)學(xué)解題中去，那么解數(shù)學(xué)題就如同玩游戲.

點(diǎn)評(píng)：“吹蠟燭”游戲問題的提出到最后解決“吹蠟燭”游戲，前后呼應(yīng)，高潮迭起，學(xué)生在游戲2、3中重復(fù)經(jīng)歷同一活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并在反思中抽象為一種游戲的策略和數(shù)學(xué)思想方法，到最后又一次通過真實(shí)的吹蠟燭游戲體驗(yàn)，來檢驗(yàn)有效的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和游戲的策略，并同時(shí)把這種有效的數(shù)學(xué)思想方法和策略遷移到數(shù)學(xué)解題中去，在解決問題中變得更方便、更簡約、更有效，在解決問題過程中，學(xué)生不僅學(xué)會(huì)了學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)了方法，而且也品味到數(shù)學(xué)的樂趣和魅力.

2 進(jìn)一步思考的問題

(1)游戲進(jìn)一步變式

就本節(jié)課而言，游戲3還可以進(jìn)一步變式并進(jìn)行推廣.

推廣之一，游戲問題一般化，從原來的12張撲克牌變成n張牌圍成一個(gè)圓圈，例如“n張撲克牌圍成一個(gè)圓圈，甲、乙輪流從中取m(1≤m≤n)張,且這m張必須相鄰…”

推廣之二，取消m張撲克牌相鄰的位置為任意位置，其它不變.

推廣之三，改取撲克牌為放撲克牌，如“甲、乙輪流交替向一張長方形的桌子上放撲克牌,每次放一張且牌全落在桌子內(nèi)部，每張牌必須平放且不準(zhǔn)重疊.規(guī)定：放下最后一張撲克牌即為勝者.”

或許推廣后的撲克牌游戲，思維會(huì)朝向縱深處發(fā)展，學(xué)生拓展的空間和潛能會(huì)更大.

(2)游戲可進(jìn)一步抽象化

游戲2和游戲3博弈的策略是數(shù)量對(duì)稱性地取牌，還可以進(jìn)一步抽象化，例如游戲2中，可以把每一張撲克牌抽象一個(gè)點(diǎn)，設(shè)每行相等點(diǎn)的數(shù)量為n，甲、乙輪流從中取牌，設(shè)甲的取牌為a1,a2,…,am,乙的取牌為b1,b2,…,bm,游戲2中后取者乙為了獲勝，則有a1=b1,a2=b2,…am=bm,這樣就得到a1+a2+…+am=b1+b2+…+bm=n.同樣游戲3也可以抽象成數(shù).如果課堂中從數(shù)的層面領(lǐng)會(huì)取牌，更能領(lǐng)會(huì)到游戲的本質(zhì).