張亞楠 方均斌 翟金鑫

(溫州大學 325035)

數(shù)學情境教學設(shè)計意在讓學生能夠產(chǎn)生“設(shè)身處地”的情境效應(yīng)，力圖使學生能夠有效調(diào)動各個感官參與數(shù)學思維活動，而情境教學的推行豐富了數(shù)學教學的形式，使數(shù)學教學效果得到了一定的提升.然而，實踐證明，情境教學如果沒有處理好一些關(guān)系，很可能會造成一些負面效應(yīng)，使得教學效果大打折扣.我們認為，數(shù)學教學情境設(shè)計必須處理好以下四對關(guān)系，使得教學效果更為理想.

1 傾實性與可隔性

根據(jù)我國目前的教學現(xiàn)狀，學生學習數(shù)學基本上都是在教室內(nèi)完成的.在這個“教學基本空間”——教室里，充滿著與基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學知識有著千絲萬縷聯(lián)系的情境，我們應(yīng)設(shè)身處地讓學生觀察身邊的世界而不必舍近求遠地追求“創(chuàng)設(shè)情境”，因為情境教學更多的是傾向于學習者主體的切身體驗(簡稱感知的傾實性)，但情境的創(chuàng)設(shè)則因各種原因，往往允許與學習者存在一定的距離(簡稱情境的可隔性)，因此，必須因地制宜，靈活掌握.

例1教學比賽中的“矩形”教學設(shè)計

2012年某地舉行了省級數(shù)學教學比賽，其中的一個課時是《矩形》，組織者采取“同課異構(gòu)”的手段讓教師進行觀摩.就三個示范教學的教案來看：(1)教師甲的情境創(chuàng)設(shè)是這樣的：“如圖(顯示圖形)，在6根木棒中選取其中4根，搭出一個平行四邊形.”他只是讓學生觀摩PPT上的圖像作為情境；(2)教師乙先播放一段“伸縮門的移動”視頻，然后用flash展示平行四邊形的形狀隨其中一個角的度數(shù)的變化而變化的過程，從一般形式轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€角為直角時的特殊形式.(3)教師丙設(shè)置了一個情境：“初二學生在學農(nóng)學工勞動中，看到師傅這樣做一個平行四邊形的鋁合金窗框，一邊放在地上(用投影屏幕顯示圖形)，問學生：‘為了讓這個鋁合金窗框穩(wěn)定一些，他會怎么做呢？’”

這三位教師都利用了圖片、視頻、動畫等方式設(shè)置了矩形的情境，圖文并茂，形象直觀.然而，我們在疑惑：“整個教室充滿著‘矩形’，為什么會視而不見呢？”學生面對播放多媒體的屏幕、黑板、門窗、教室的墻面、地面、桌面、書本、講臺等等，為什么我們要舍近求遠去創(chuàng)設(shè)所謂的“情境”？學生將來走向社會接觸最多的是周圍的世界，讓他們能夠“觸景生情”地采取用數(shù)學的眼光觀察周圍世界，應(yīng)該是我們設(shè)置情境教學的重要目的之一，這些舍近求遠的做法可能違背我們情境教學的初衷.其實，針對矩形的情境引入，教師只要問學生：“前面我們學習過平行四邊形，大家思考(觀察)一下，生活中哪些地方用到了平行四邊形？用得最多的平行四邊形是什么形狀的？”這樣的情境設(shè)置既真實又不用花太多的精力去制作所謂的多媒體課件，何樂而不為？

在基礎(chǔ)教育階段，很多數(shù)學模型都可以在學生的生活(尤其要關(guān)注教室這個空間)中找到，條件允許的話，教師可適當攜帶一些教學道具，盡量讓這些情境教學真實而親切，充滿真實感.

我們指出前面三位教師的設(shè)計沒有關(guān)注周圍的環(huán)境，并不是出于指責，而是提醒大家對周圍的真實世界要盡量引導(dǎo)學生進行觀察，“警示”大家不要舍近求遠.當然，一些人為創(chuàng)設(shè)的情境只要恰當?shù)匾靡矔寣W生 “別有一番滋味”.故在這里我們提出要正確處理好學生學習感知的傾實性與數(shù)學情境的可隔性之關(guān)系，即，處理好“遠”與“近”的關(guān)系：一是針對學生生活“空間”或“時間”以及興趣愛好，在可能的情況下盡量貼近學生；二是針對學生敏感性較強的“心理空間”和“生理空間”，教師要謹慎對待，有時甚至要“舍近求遠”(例如，在講解排列組合的時候，針對青春期的學生，同學之間“配對”情境就要避免)；三是不走極端，必要的時候要“遠近結(jié)合”，只要讓學生產(chǎn)生“此境生好情”或“由情促探境”即可.

2 求實性與可虛性

在教育過程中，我們往往要求數(shù)學教學與實際情況相吻合(即教育要求具有求實性)，而一些數(shù)學情境在創(chuàng)設(shè)的時候往往允許虛構(gòu)(可虛性).這種“實”與“虛”的關(guān)系源于數(shù)學與實際之間的關(guān)系，從某個角度上講，數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的一門科學，但它不是現(xiàn)實世界的簡單“境面反射”，而是經(jīng)過人們抽象思考后的產(chǎn)物.這種抽象過程必須正確處理“虛”與“實”的關(guān)系，如果處理不好，很可能會面臨著“錯”與“對”的問題.

例2一元一次方程的應(yīng)用教學設(shè)計[1]

這是浙教版教材七年級上冊 “5.3：一元一次方程的應(yīng)用”創(chuàng)設(shè)的一個“2002年釜山亞運會的情境”,甲說：“2002年釜山亞運會上，我國獲得150枚金牌，比1994年亞運會我國獲得的金牌數(shù)的2倍少38枚.”乙在思考：“1994年亞運會我國獲得幾枚金牌？”其實，這里面數(shù)據(jù)有誤(1994年亞運會我國獲得125塊金牌，1986年才是94塊[2]).

就數(shù)學而言，情境設(shè)計是為了讓學生建立具體的數(shù)學模型去解決實際問題，只要不影響建模的過程，一般人是不太會懷疑數(shù)據(jù)來源的真實性.這就給我們提出一個警示：提供原始的數(shù)據(jù)必須真實可靠！否則，經(jīng)過第二道程序——數(shù)學建模處理后的結(jié)論很可能會在具體應(yīng)用過程中產(chǎn)生誤導(dǎo)甚至產(chǎn)生不良的后果！

對于基礎(chǔ)教育階段的學生，他們對數(shù)學情境的要求往往只是在具體的情境中學會如何建立數(shù)學模型以及由這個模型產(chǎn)生數(shù)學結(jié)論，還很少觸及真正的實際應(yīng)用，只要這個過程不要對學生產(chǎn)生誤導(dǎo)即可.例如，一道經(jīng)典的數(shù)學名題——“雞兔同籠”，這樣的情境是否真實無從考究，但不影響這是一道“數(shù)學名題”，即便有人諷刺：“只要對著籠子數(shù)一下，何必動腦筋？！學數(shù)學的人真傻！”其實，這道題的真正價值在于人們的數(shù)學思考過程及其數(shù)學模型，至于情境是否真實無關(guān)重要.

關(guān)于數(shù)學情境的“虛”與“實”，我們的理解是：(1)要看數(shù)學情境的創(chuàng)設(shè)意圖.如果只是對學生進行數(shù)學建模訓(xùn)練，適度的虛擬是可以的.而如果需要解決實際問題，數(shù)據(jù)應(yīng)該真實，不打馬虎眼；(2)數(shù)學情境創(chuàng)設(shè)，還兼顧著人文教育的目的，不能對學生的教育產(chǎn)生負面效應(yīng)甚至是誤導(dǎo).例如，我們上面所舉的例子，如果讓學生誤知我國在亞運會上的金牌數(shù)，絕對是對學生不負責的做法，另外，出現(xiàn)了一些諸如“年齡失真”[3]、“濃度失實”[4]等“低級錯誤”也會讓學生對數(shù)學的良好印象打折；(3)對學生所感興趣的話題盡量讓學生有真實感.但對虛擬的情境我們也不應(yīng)排斥；(4)要關(guān)注“虛”“實”之間的合理運用.例如，對于具備“實境”條件的問題，可以先用“虛境”提高學生的想象力，然后再“務(wù)實”.而無法做到“實境”的數(shù)學情境問題，有時未必一定要“務(wù)實”，適度“務(wù)虛”也是可以的，關(guān)鍵是要看學生情況及教學意圖.

3 完善性與游散性

學生學習就是為了追求認知上的完善，即達到“認知的完善性”.完善的認知需要依據(jù)知識內(nèi)在的邏輯系統(tǒng)，然而，現(xiàn)實情境之間卻不一定有如此嚴謹?shù)南嚓P(guān)性，它們具有一定的游散性.情境的游散性與認知的完善性之關(guān)系我們稱之為“情”與“理”的關(guān)系.“情”指數(shù)學情境，而“理”是“理由”，探求數(shù)學問題產(chǎn)生的“理由”是數(shù)學教學的重要任務(wù)，也是學生認知完善的需要.時下，數(shù)學情境教學“風靡全球”，我國似乎也不例外，這與我國以往教材過于強調(diào)知識間邏輯關(guān)系有很大的不同.學生將來走向社會，會遇到各種各樣離散的情境，如果能夠形成“用數(shù)學的眼光看世界”的意識，數(shù)學學科的一個很重要的“教學目標”也就實現(xiàn)了.于是，我們老師頻繁地在課堂教學設(shè)計中設(shè)置情境，以提高學生捕捉數(shù)學信息的敏感性，這叫“頻繁‘觸景’，意在 ‘生情’”.但是，我們不能忘記學生在學習階段，所學的知識如果缺乏邏輯鏈，是不利于他們形成完善的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的.所以，我們在給學生設(shè)置數(shù)學情境的時候，其背后應(yīng)該有一條數(shù)學思想方法的支撐主線，在適當?shù)臅r候讓學生感悟到這種“背后語言”，達到“動之以‘情’，曉之以‘理’”之境界.

例3函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的情境設(shè)計

函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的教學設(shè)計一直是我們數(shù)學教師討論的一個熱門話題，經(jīng)常在教學設(shè)計、說課、上課比賽或教學觀摩中頻繁出現(xiàn).就函數(shù)單調(diào)性而言，通常都是設(shè)置一個函數(shù)實際問題(諸如氣溫隨時間變化曲線)，讓學生觀察函數(shù)的變化規(guī)律，然后指出函數(shù)單調(diào)性的直觀概念，進一步再抽象出單調(diào)性的抽象定義，在函數(shù)奇偶性的教學設(shè)計中也基本如此.這種設(shè)計我們認為很不錯，但如果能夠加上一個數(shù)學思想方法的“邏輯鏈設(shè)計”就更好了，也就是說，學完這兩個性質(zhì)后，教師對學生說：“研究函數(shù)就是研究函數(shù)的兩個變量之間的關(guān)系，核心的一個字：‘變’，即：當一個變量變化時，另一個變量是如何變化的？而變量變化經(jīng)常是‘變大’、‘變小’及‘變號’.”簡言之，即“一個變量大小變化，另一個是否與之同步？”“當一個變量變號(即變成它的相反數(shù))，那么另一個是否也跟著變號(即變成自己的相反數(shù))？”這樣，就把函數(shù)單調(diào)性、奇偶性牢牢地“鏈”在學生的“認知結(jié)構(gòu)”上.

現(xiàn)實生活情境的隨機性強，而學生學習數(shù)學則往往追求“前因后果”，探求其“理由”.“情”的“隨機性”與“理”的“確定性”是我們在數(shù)學情境教學過程中應(yīng)該正確處理好的關(guān)系，數(shù)學情境教學盡量不要讓學生“不識廬山真面目，只緣身在此山中”，而應(yīng)該讓他們對背后的數(shù)學思想有所感悟.為此，我們提這樣的幾點教學建議：(1)遇“情”思“理”.其意有二：一是教師對實際情境，要引導(dǎo)學生學會用數(shù)學去探求“理由”或形成新的數(shù)學問題；二是引導(dǎo)學生進行必要的感悟：“今天老師為什么對這個問題感興趣？”體會背后的數(shù)學思想方法.(2)由“理”探“情”：形成用“數(shù)學知識”去尋求“實際應(yīng)用”的“應(yīng)用意識”.會用所學數(shù)學去解決實際問題，鼓勵學生在學習數(shù)學的時候多思考：“所學數(shù)學在實際中有什么用？”“在什么場合下有用？”“是直接用還是間接地用？”等.(3)“情”“理”結(jié)合：關(guān)注“生活的游散情境”與“數(shù)學的嚴謹結(jié)構(gòu)”的有機結(jié)合.讓學生對數(shù)學情境和數(shù)學原理形成一種不斷反思的交互意識；有時某些“情”也能夠助“理”，即某些生活情境能夠幫助學生有效地進行數(shù)學思考.比如，兩杯不同濃度的咖啡混合，根據(jù)生活常識就可以知道混合后的濃度就介于二者之間.于是我們就可以得到不等式：

此外，在現(xiàn)實生活中，很多情境可能“一閃即逝”，如果沒有一定的“珍惜追求”意識，一些數(shù)學發(fā)現(xiàn)就這樣錯過了.例如，歐拉就根據(jù)“七橋問題”的現(xiàn)實情境開創(chuàng)了“拓撲學”，而很多人卻與之“失之交臂”！所以，在學生時代，情境教學就需要培養(yǎng)學生“見‘情’惜‘理’”的意識.顯然，外界引導(dǎo)的有效性在學生對現(xiàn)實情境的好奇心、興趣、注意的持續(xù)性等方面的體驗起著關(guān)鍵的作用，盡管我們以前也有一些學者涉獵，但我們認為還存在很多的話題值得大家進一步的研究.

4 擇取性與全息性

實際情境往往具有整體的性質(zhì)，但教師在具體教學的時候，往往有選擇地選取其中部分進行“加工”，相對于整個實際情境而言，教師的選擇就顯得有些零散.這有點像我們小時候讀過的寓言《瞎子摸象》——各執(zhí)一詞，學科分類式的培養(yǎng)也勢必導(dǎo)致?lián)袢⌒蕴幚憩F(xiàn)實情境的教學舉措，但全息性的“綜合過程”卻疏于理會！

例4第二十四屆國際數(shù)學家大會會標

針對浙江一帶的學生，他們在初中教材[5]中學習勾股定理的時候，就遇到這個標志，在高中學習基本不等式的時候也遇到這個標志[6].以同樣的一個會標作為情境，初中教師與高中教師各取所需地分別“得到”勾股定理和基本不等式.這個例子說明，同一個數(shù)學情境，由于教師的教學意圖不同所得到的數(shù)學結(jié)論也有方向上的差異.另外，遇到這個圖標，美術(shù)教師很可能會考慮色彩的問題；政治和歷史教師則會考慮愛國主義教育問題；語文教師則會寫一首贊美的詩歌；物理老師則會考慮會徽架子的受力情況；……，這種教學現(xiàn)象應(yīng)該屬于必然和正常的.但我們在思考：針對一個具有完整信息的實際情境，在教學設(shè)計的時候如何正確處理情境的全息性與教學的擇取性，即“整”(全息性)與“零”(擇取性)的關(guān)系？我們的想法是：(1)要先“整”后“零”：引導(dǎo)學生經(jīng)歷“綜合情境”的“多向討論”，即在引導(dǎo)之前給學生一個討論的機會，讓他們進行思維發(fā)散與“優(yōu)化”[7]，此時教師不宜過多干涉；(2)要多向生“零”：對學生所得到的結(jié)論不宜采取“為我所用”的“急功近利”做法，應(yīng)該允許學生“不按老師的套路走”，然后客觀地進行必要的評價和引導(dǎo)，可以采取“同學們的想法大部分都很不錯！但假如……，我們應(yīng)該如何處理？”“……同學的想法也很不錯！這個內(nèi)容我們后面會涉及，如果大家對這個想法感興趣，我建議…….”等諸如此類的語言；(3)要集“零”窺“整”：即使學生根據(jù)教師所創(chuàng)設(shè)的實際情境，采取與教師意圖幾乎一致的想法，但教師有時還得“無事生非”：“假如這個問題從另一個角度去看……，你會怎么處理？”從“多向的思考”中把握“整體的數(shù)學命脈”，促使學生數(shù)學視野的開闊：既見森林，又見樹木！

捷克教育家夸美紐斯在《大教學論》中指出：一切知識都是從感官開始的.他指出情境教學的核心是創(chuàng)設(shè)生動具體的情境，引起學生的情感體驗，以此推動學生認知活動的進行.我們所提的“四對關(guān)系的處理”就在于教師需要更好地體現(xiàn)情境教學的本質(zhì)特征，使得數(shù)學情境教學顯得自然而又體現(xiàn)數(shù)學學科的特點.